廣東省廣州市增城區(qū)四校聯(lián)考2023-2024學年數學高二上期末經典模擬試題含解析

廣東省廣州市增城區(qū)四校聯(lián)考2023-2024學年數學高二上期末經典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數列，該數列的前2022項中有（）個奇數A.1012 B.1346C.1348 D.13502．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．已知等差數列滿足，，數列滿足，記數列的前n項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（）A. B.C. D.5．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.6．南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數為（）A.45 B.55C.90 D.1107．意大利數學家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列在物理化學等領域也有著廣泛的應用.已知斐波那契數列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.8．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢9．已知直線在兩個坐標軸上的截距之和為7，則實數m的值為（）A.2 B.3C.4 D.510．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.12．已知等比數列{an}的前n項和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線圍成的圖形的面積為_______________14．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為______.15．復數（其中i為虛數單位）的共軛復數______16．已知橢圓：的右焦點為，且經過點（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）若直線與橢圓相切于點，與直線相交于點．在軸是否存在定點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是各項均為正數的等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）數列通項公式為，求數列的前n項和.18．（12分）設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.19．（12分）已知數列和滿足，（1）若，求的通項公式；（2）若，，證明為等差數列，并求和的通項公式20．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數是歲以上人群.該病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對個病例的潛伏期(單位：天)進行調查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數為，方差為.如果認為超過天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數長期潛伏非長期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）假設潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離天，請用概率知識解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計概率，設個病例中恰有個屬于“長期潛伏”的概率是，當為何值時，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.21．（12分）某快遞公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數量的平均值和中位數；（2）在這60天中包裹件數在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應分別抽取多少件？22．（10分）已知函數，.（1）令，求函數的零點；（2）令，求函數的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由斐波那契數列的前幾項分析該數列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數列的前2022項中的奇數的個數.【詳解】由已知可得為奇數，為奇數，為偶數，因為，所以為奇數，為奇數，為偶數，…………所以為奇數，為奇數，為偶數，又故該數列的前2022項中共有1348個奇數，故選：C.2、D【解析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結合，根據函數在上的單調性可求得的取值范圍.【詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數在上單調遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題考查三角形內角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應用，考查計算能力，屬于中等題.3、B【解析】根據焦點在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關系，再結合a，b，c關系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B4、B【解析】由等差數列基本量法求出通項公式，用裂項相消法求得，求出的最大值，然后利用關于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關系求得其范圍【詳解】設等差數列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數列是遞增數列，且，∴若對于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點睛】本題考查求等差數列的通項公式，考查裂項相消法求數列的和，考查不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握不等式恒成立問題的轉化與化歸思想，不等式恒成立首先轉化為求數列的單調性與最值，其次轉化為一次不等式恒成立5、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關于、、的表達式.【詳解】故選：B.6、B【解析】根據題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達出來，第層有個球.【詳解】根據規(guī)律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據規(guī)律可知：第層有個球設第層的小球個數為，則有：故第十層球的個數為：故選：7、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.8、D【解析】根據題意將實際問題轉化為等差數列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數列，設公差為，整理上面兩個算式，得：，解得，故選：9、C【解析】求出直線方程在兩坐標軸上的截距，列出方程，求出實數m的值.【詳解】當時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C10、C【解析】根據逆否命題的定義寫出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結論作條件、否定的條件作結論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C11、A【解析】根據橢圓的性質可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點在橢圓上得，由橢圓的對稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.12、C【解析】根據等比數列的通項公式列出方程求解，直接計算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當時，，所以，當時，，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】當時，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學生分類討論思想的運用和運算求解能力.點評：解決此題的關鍵是看出所求圖形在四個象限內是相同的，然后求出在一個象限內的圖形的面積即可解決問題.14、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實軸長為2.故答案為：15、##【解析】根據共軛復數的概念，即可得答案.【詳解】由題意可知：復數（其中i為虛數單位）的共軛復數，故答案為：16、（1），；（2）存在定點，為【解析】（1）利用，，求解方程（2）設直線方程為，與橢圓聯(lián)立利用判別式等于0得，并求得切點坐標及，假設存在點，利用化簡求值【詳解】（1）由已知得，，，，橢圓的方程為，離心率為；（2）在軸存在定點，為使，證明：設直線方程為代入得，化簡得由，得，，設，則，，則，設，則，則假設存在點解得所以在軸存在定點使【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，考查切線的應用，利用判別式等于0得坐標是解決問題的關鍵,考查計算能力,是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，利用基本量運算求出公比，可得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法計算出數列的前n項和【詳解】（1）設的公比為，由題意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，則，因此，又，兩式相減得所以.【點睛】方法點睛：本題考查等比數列的通項公式，考查數列的求和，數列求和的方法總結如下：

公式法，利用等差數列和等比數列的求和公式進行計算即可；

裂項相消法，通過把數列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數列的和；

錯位相減法，當數列的通項公式由一個等差數列與一個等比數列的乘積構成時使用此方法；

倒序相加法，如果一個數列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和18、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實數a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當時，2-a＞1+2a，即a＜時，滿足題意，當時，即a≥時，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實數a的取值范圍是.19、（1）（2）證明見解析，，【解析】（1）代入可得，變形得構造等比數列求的通項公式；（2）先由已知得，先分別求出，的通項公式，然后合并可得的通項公式，進而可得的通項公式【小問1詳解】當，時，，所以，即，整理得，所以是以為首項，為公比的等比數列故，即【小問2詳解】當時，由，，得，所以因為，所以，則是以為首項，2為公差的等差數列，，；是以為首項，2為公差的等差數列，，綜上所述，所以，，故是以2為首項，1為公差的等差數列當時，，且滿足，所以20、（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【解析】（1）根據列聯(lián)表中的數據，利用求得，與臨界表值對比下結論；（2）(ⅰ)根據，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，進而得到，然后判斷其單調性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個病例中有個屬于長潛伏期，若以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，于是，則，，當時，；當時，；∴，.故當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率21、（1）平均數和中位數都為260件；（2）在的件數為，在的件數為.【解析】（1）由每組頻率乘以組中值相加即可得平均數，設中位數為，由落在區(qū)間內的頻率為0.5可得結果；（2）先得頻率分別為0.1，0.5，由分層抽樣的概念即可得結果.【詳解】（1）每天包裹數量的平均數為；設中位數為，易知，則，解得.所以公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.（2）件數在，的頻率分別為0.1，0.5頻率之比為1：5，所抽取的30件中，在的件數為，在的件數為.22、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）函數零點的個數，就是方程的解的個數，顯然是方程的一個解，再對a分類討論，即得函數的零點；（2）令，可得，得，再對二次函數的對稱軸分三種情況討論得解.【詳解】