貴州省黔南布依族苗族自治州都勻市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

貴州省黔南布依族苗族自治州都勻市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓C：的左右焦點為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為A. B.C. D.2．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.3．正數(shù)a,b滿足,若不等式對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.4．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.5．若雙曲線一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.6．函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e7．已知為偶函數(shù)，且，則___________.8．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）9．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.11．阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點，焦點、在軸上，橢圓的面積為，且離心率為，則的標準方程為（）A. B.C. D.12．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.14．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇15．若直線過圓的圓心，則實數(shù)a的值為_________.16．某班學(xué)號的學(xué)生鉛球測試成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)號12345678成績9.17.98.46.95.27.18.08.1可以估計這8名學(xué)生鉛球測試成績的第25百分位數(shù)為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面積的最大值18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且橢圓過點，離心率，為坐標原點，過且不平行于坐標軸的動直線與有兩個交點，，線段的中點為.（1）求的標準方程；（2）記直線斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點，使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.19．（12分）為增強市民的環(huán)境保護意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環(huán)境保護宣傳小組，現(xiàn)把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內(nèi)的人數(shù)為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內(nèi)的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機抽取名志愿者做環(huán)境保護知識宣講，求這名環(huán)境保護知識宣講志愿者中至少有名年齡在內(nèi)的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區(qū)為了感謝甲、乙作為環(huán)境保護知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機派發(fā)價值元、元、元的紀念品一件，求甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，已知，且當(dāng)，時，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和21．（12分）已知雙曲線中心在原點，離心率為2，一個焦點（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程22．（10分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】若△AF1B的周長為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點：橢圓方程及性質(zhì)2、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D3、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則對任意實數(shù)x恒成立，即對任意實數(shù)x恒成立，，，故選：A【點睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.4、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C5、A【解析】根據(jù)（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線，因為（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關(guān)系.6、A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，故選：A7、8【解析】由已知條件中的偶函數(shù)即可計算出結(jié)果，【詳解】為偶函數(shù)，且，.故答案為：88、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】，故選：A9、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B10、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負、正；在上應(yīng)為負.所以A選項符合.故選：A11、A【解析】設(shè)橢圓方程為，解方程組即得解.【詳解】解：設(shè)橢圓方程為，由題意可知，橢圓的面積為，且、、均為正數(shù)，即，解得，因為橢圓的焦點在軸上，所以的標準方程為.故選：A.12、C【解析】根據(jù)四種命題的關(guān)系求解.【詳解】因為否命題是否定原命題的條件和結(jié)論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡整理得，令，化簡整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：14、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.15、【解析】根據(jù)圓的求得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心為，因為圓心為在直線上，可得，解得.故答案：.16、【解析】利用百分位數(shù)的計算方法即可求解.【詳解】將以上數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，；%，則第25百分位數(shù)第項和第項的平均數(shù)，即為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）：根據(jù)正弦定理由邊化角和三角正弦和公式即可求解；（2）：根據(jù)余弦定理和均值不等式求得最大值，利用面積公式即可求解【小問1詳解】由正弦定理及，得，∵，∵，∴【小問2詳解】由余弦定理，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴的面積的最大值為18、（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】（1）由橢圓所過點及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設(shè)出點A，B坐標并列出它們滿足的關(guān)系，利用點差法即可作答；（3）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達定理求得，，再結(jié)合為等邊三角形的條件即可作答.【詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標準方程為；（2）設(shè)，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點P，由(1)知，設(shè)直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點，，因為等邊三角形，即有，，因此，，，從而得，整理得，無解，所以在y軸上不存在點，使得為等邊三角形.19、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀念品價值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：因為志愿者年齡在、、內(nèi)的頻率分別為、、，所以用分層抽樣的方法抽取的名志愿者年齡在、、內(nèi)的人數(shù)分別為、、.記年齡在內(nèi)的名志愿者分別記為、、，年齡在的名志愿者分別記為、，年齡在內(nèi)的名志愿者記為，則從中抽取名志愿者的情況有、、、、、、、、、、、、、、，共種可能；而至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的情況有、、、、、、、、，共種可能.所以至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的概率為.【小問2詳解】解：甲、乙獲得紀念品價值的情況有、、、、、、、、，共種可能；而甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的情況有、、、、、，共種可能.故甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率為.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留數(shù)列的遞推關(guān)系，根據(jù)題干提示來證明，注意證明首項不是零；（2）利用裂項求和來解決.【小問1詳解】證明：由題意，當(dāng)時，即，，整理，得，，，，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，，則，，，，，各項相加，可得，當(dāng)n=1成立，故21、（1）（2）或【解析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【小問1詳解】解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為【小問2詳解】解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當(dāng)時，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當(dāng)時，，代入雙曲線可得：，∴綜上所求直線l的方