廣東省深圳市南山區(qū)南山實驗教育集團南海中學2023-2024學年上學期九年級期中考試數(shù)學試卷

南山實驗教育集團南海中學2023-2024學年第一學期九年級期中考試數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．y2+x＝1 D．+x2＝12．若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．一個不透明的袋子中裝有3個小球，其中2個紅球，1個綠球，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出兩個球，恰好都是紅球的概率為（）A． B． C． D．4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝75．根據(jù)下列表格的對應值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判斷方程x2+12x﹣15＝0必有一個根滿足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.36．如圖，若點D是線段AB的黃金分割點（AD＞BD），AB＝8，則AD的長度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+7．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）A．3 B．4 C．4.8 D．58． 如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么經過（）秒時△QBP與△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒9．如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點C在第二象限，則點C的坐標是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）10．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，點G是EF的中點，連接CG、BG、BD、DG，下列結論：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，則4S△BDG＝25S△DGF．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二．填空題（共5小題）11．若關于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是．12．已知，則＝．13．如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小藝同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為米．?14．如圖，在?ABCD中，E為AD邊上的點，AE＝2DE，連接BE交AC于點F，△AEF的面積為4cm2，則△ABC的面積為cm2．15．如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD上一點，其中AE：ED＝1：2．線段BE的垂直平分線分別交AB、BE、CD于點F，G，H，則的值為．三．解答題（共55分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣1＝4x； （2）2x2﹣7x+3＝0；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2； （4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．17．（6分）△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原點O為位似中心，在第三象限內，畫出△ABC的位似圖形△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'的相似比為1：2，并寫出A'，B'，C'的坐標．18．（6分）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，某商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，在商場大廳設置了如圖所示的兩個可以自由轉動的轉盤，在端午節(jié)當天消費的顧客可以參與轉盤活動．已知這兩個轉盤都被平均分成了3份，并在每份內均標有數(shù)字．規(guī)則如下：①分別轉動轉盤A、B；②兩個轉盤停止后，將兩個指針所指區(qū)域內的數(shù)字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉一次，直到指針指向某一區(qū)域為止），若數(shù)字之積為3的倍數(shù)則可以領取3枚粽子；若數(shù)字之積為5的倍數(shù)則可以領取5枚粽子．（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結果；（2）在端午節(jié)當天，李老師參與了轉盤活動，求李老師領取到5枚粽子的概率．19．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分線．若CF＝6，BF＝8，求DC的長．20．（8分）如圖，AD是△ABC的高，點E、F在BC邊上，點G在AC邊上，點H在BC邊上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四邊形EFGH是△ABC內接正方形，（1）△AHG與△ABC相似嗎？為什么？（2）求內接正方形EFGH邊長EF．21．（8分）某公司2月份銷售新上市的A產品20套，由于該產品的經濟適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．（1）求該公司銷售A產品每次的增長率；（2）若A產品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當?shù)慕祪r措施，經調查發(fā)現(xiàn)，A產品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產品需降價多少？22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D為BC邊上的一點．過點D作射線DE⊥DF，分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)．問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，當D為BC的中點，且DE⊥AB，DF⊥AC時，＝；（2）若D為BC的中點，將∠EDF繞點D旋轉到圖2位置時，＝；類比探究（3）如圖3，若改變點D的位置，且時，求的值，并寫出解答過程；問題解決（4）如圖3，連接EF，當CD＝時，△DEF與△ABC相似．

南海中學九年級期中參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．y2+x＝1 D．+x2＝1【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故A錯誤；B、x2+1＝0是一元二次方程，故B正確；C、y2+x＝1是二元二次方程，故C錯誤；D、+x2＝1是分式方程，故D錯誤；故選：B．2．若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A．因為＝，所以5m＝4n，不符合題意；B．因為＝，所以4m＝5n，符合題意；C．因為＝，所以5m＝4n，不符合題意；D．因為＝，所以mn＝20，不符合題意．故選：B．3．一個不透明的袋子中裝有3個小球，其中2個紅球，1個綠球，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出兩個球，恰好都是紅球的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如下：總計有6種可能結果，其中我們關注的事件兩個都是紅球的情況有2種，∴隨機摸出兩個球，恰好都是紅球的概率為：＝．故選：B．4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故選：A．5．根據(jù)下列表格的對應值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判斷方程x2+12x﹣15＝0必有一個根滿足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3【解答】解：∵x＝1.1時，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2時，x2+12x﹣15＝0.84＞0，∴1.1＜x＜1.2時，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一個解x滿足1.1＜x＜1.2，故選：B．6．如圖，若點D是線段AB的黃金分割點（AD＞BD），AB＝8，則AD的長度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+【解答】解：∵點D是線段AB的黃金分割點（AD＞BD），∴，∵AB＝8，∴AD＝，故選：B．7．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）?A．3 B．4 C．4.8 D．5【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC?BD＝24，∴×8?BD＝24，∴BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝3，故選：A．8．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么經過（）秒時△QBP與△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒【解答】解：設經過t秒時，△QBP與△ABC相似，則AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當時，△BPQ∽△BAC，即，解得：t＝2，當時，△BPQ∽△BCA，即，解得：t＝0.8，綜上所述：經過0.8s或2s秒時，△QBP與△ABC相似，故選：C．9．如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點C在第二象限，則點C的坐標是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）【解答】解：過C作CE⊥y軸于E，過A作AF⊥y軸于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四邊形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴點C的坐標是（﹣2，4）；故選：D．10．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，點G是EF的中點，連接CG、BG、BD、DG，下列結論：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，則4S△BDG＝25S△DGF．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠F＝∠FAD，∴AD＝DF，∴BC＝DF，故①正確；∵∠BGE＝∠DGC，∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵點G為EF的中點，∴CG＝EG，∠FCG＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴BD＝BG，∴AC＝BG，∴AC：BG＝：1，故③正確；過點G作GH⊥CD于H，∵3AD＝4AB，∴設AD＝4x＝DF，AB＝3x，∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，∴S△DGF＝DF?HG＝x2，S△DGB＝DG?GB＝x2，∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正確；故選：A．二．填空題（共5小題）11．若關于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0無實數(shù)根，則k的取值范圍是k＜﹣1．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0無實數(shù)根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，故答案為：k＜﹣1．12．已知，則＝5．【解答】解：設，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴．故答案為：5．13．如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小藝同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為8米．【解答】解：由題意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗桿的高度為8米，故答案為：8．14．如圖，在?ABCD中，E為AD邊上的點，AE＝2DE，連接BE交AC于點F，△AEF的面積為4cm2，則△ABC的面積為15cm2．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∵AE＝2DE，∴AE＝AD，∴＝＝＝，∴＝，＝＝，∵S△AEF＝4（cm2），∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），故答案為：15．15．如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD上一點，其中AE：ED＝1：2．線段BE的垂直平分線分別交AB、BE、CD于點F，G，H，則的值為2．?【解答】解：過H點作HM⊥AB于M點，交BE于N，如圖，設AE＝x，ED＝2x，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝x，∵FH垂直平分BE，∴∠BGF＝90°，BG＝BE＝x，∵∠GBF＝∠ABE，∠BGF＝∠A＝90°，∴△BGF∽△BAE，∴BF：BE＝BG：BA，即BF：x＝x：3x，解得BF＝x，∴AF＝AB﹣BF＝3x﹣x＝x，∵∠HMB＝∠MBC＝∠C＝90°，∴四邊形BCHM為矩形，∴MH＝BC，HC＝BM，∴AB＝MH，∵∠NMB＝∠HGN，∠BNM＝∠HNG，∴∠MBN＝∠NHG，在△MHF和△ABE中，，∴△MHF≌△ABE（ASA），∴FM＝AE＝x，∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，∴HC＝x，∴＝＝2．故答案為：2．三．解答題（共7小題）16．解方程：（1）x2﹣1＝4x（公式法）；（2）2x2﹣7x+3＝0（配方法）；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．【解答】解：（1）（1）x2﹣1＝4x，整理，得x2﹣4x﹣1＝0，這里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝16+4＝20＞0，∴x＝＝，∴，；（2）2x2﹣7x+3＝0，2x2﹣7x＝﹣3，，，，，x＝，∴x1＝3，；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；3x（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x+x+2）＝0，x﹣2＝0或4x+2＝0，∴x1＝2，；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．[2（x+2）]2﹣（3x﹣1）2＝0，[2（x+2）+（3x﹣1）][2（x+2）﹣（3x﹣1）]＝0，（5x+3）（﹣x+5）＝0，5x+3＝0或﹣x+5＝0，∴，x2＝5．17．△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原點O為位似中心，在第三象限內，畫出△ABC的位似圖形△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'的相似比為1：2，并寫出A'，B'，C'的坐標．【解答】解：如圖，△A'B'C'即為所作．由圖可知A'（﹣2，﹣4），B'（﹣6，﹣2），C'（﹣4，﹣6）．18．隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，某商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，在商場大廳設置了如圖所示的兩個可以自由轉動的轉盤，在端午節(jié)當天消費的顧客可以參與轉盤活動．已知這兩個轉盤都被平均分成了3份，并在每份內均標有數(shù)字．規(guī)則如下：①分別轉動轉盤A、B；②兩個轉盤停止后，將兩個指針所指區(qū)域內的數(shù)字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉一次，直到指針指向某一區(qū)域為止），若數(shù)字之積為3的倍數(shù)則可以領取3枚粽子；若數(shù)字之積為5的倍數(shù)則可以領取5枚粽子．（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結果；（2）在端午節(jié)當天，李老師參與了轉盤活動，求李老師領取到5枚粽子的概率．【解答】解：（1）每次游戲可能出現(xiàn)的所有結果列表如下：轉盤B的數(shù)字轉盤A的數(shù)字4561（1，4）（1，5）（1，6）2（2，4）（2，5）（2，6）3（3，4）（3，5）（3，6）（2）（1）中表格中共有9種等可能的結果，則李老師領取到5枚粽子的結果數(shù)有三種，其概率為＝．19．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分線．若CF＝6，BF＝8，求DC的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四邊形DFBE是矩形；（2）解：由（1）可知，四邊形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝10，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝10，AB∥DC，∴∠BAF＝∠DFA，∵AF是∠DAB的平分線，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴DF＝DA＝10，∴DC＝DF+CF＝10+6＝16．20．如圖，AD是△ABC的高，點E、F在BC邊上，點G在AC邊上，點H在BC邊上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四邊形EFGH是△ABC內接正方形，（1）△AHG與△ABC相似嗎？為什么？（2）求內接正方形EFGH邊長EF．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四邊形EFGH是△ABC內接正方形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC；（2）設AD與HG的交點為M，∵△AHG∽△ABC，∴，，解得：，故內接正方形EFGH的邊長為．21．某公司2月份銷售新上市的A產品20套，由于該產品的經濟適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．（1）求該公司銷售A產品每次的增長率；（2）若A產品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當?shù)慕祪r措施，經調查發(fā)現(xiàn)，A產品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產品需降價多少？【解答】解：（1）設該公司銷售A產品每次的增長率為x