浙江省臺州市八校聯(lián)盟2022-2023學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

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高二年級數(shù)學試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可求解.

【詳解】由，可得，

所以直線的斜率為，則傾斜角為，

故選:C.

2.圓與圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓圓心距離與半徑和差的關(guān)系判斷即可.

【詳解】因為圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，

則兩圓圓心距離為，兩圓半徑之差為，兩圓半徑之和為，

因為，所以兩圓相交.

故選：B.

3.如圖，在平行六面體中，為的中點，若，則（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的分解求解.

【詳解】因為,

所以，

故選:B.

4.如果，那么直線不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可.

【詳解】由可得，,

所以直線的斜率縱截距，

所以直線經(jīng)過一、二、四象限，

故選:C

5.設(shè)，向量，且，則（）

A.B.C.3D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量的平行、垂直以及數(shù)量積的坐標表示求解.

【詳解】因為，所以，解得，所以

又因為，所以，解得，所以，

所以，則，

故選：A.

6.在兩坐標軸上的截距相等，且與圓相切的直線有（）條

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況結(jié)合點到直線的距離公式求解即可

【詳解】圓的圓心為，半徑，

由題意可知切線的斜率存在，

當截距為零時，設(shè)切線方程為，即，

所以，化簡得，

因為，

所以方程有兩個不相等的根，所以過原點的切線有兩條，

當截距不為零時，設(shè)切線方程為，即，

所以，解得或，

所以不過原點的切線為或，有2條，

綜上，在兩坐標軸上的截距相等，且與圓相切的直線有4條，

故選：D

7.已知橢圓為橢圓的對稱中心，為橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，軸，與橢圓的另一個交點為點為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意確定，進而可得，即可求橢圓的離心率.

【詳解】

如圖，不妨設(shè)，

因為點在橢圓上，所以，解得，

所以，

又因為為等腰直角三角形，所以,

即，即，所以，

解得或（舍），

故選:B.

8.已知長方體中，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則的長度的最小值為（）

A.B.6C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，由題意設(shè)，然后根據(jù)可得的關(guān)系，再換元可求得的長度的最小值,

【詳解】如圖，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則

，設(shè)，則

，

因為，所以，即，

令，則，

所以，

所以

（其中），

所以當時，取得最小值，

即的長度的最小值為，

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.

9.已知圓與直線，下列選項正確的是（）

A.圓圓心坐標為B.直線過定點

C.直線與圓相交且所截最短弦長為D.直線與圓可以相切

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心判斷A，直線恒過定點判斷B，利用垂徑定理結(jié)合圓的性質(zhì)求出最短弦長判斷C，利用直線恒過圓內(nèi)定點判斷D.

【詳解】對于A，圓的圓心坐標為，正確；

對于B，直線方程即，由可得，

所以直線過定點，正確；

對于C，記圓心，直線過定點，則，

當直線與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，

此時直線截圓所得的弦長最小，

此時弦長為，正確；

對于D，因為，所以點在圓內(nèi)，直線與圓必相交，錯誤.

故選：ABC

10.已知空間四點，則下列說法正確的是（）

A.B.

C.點到直線的距離為D.四點共面

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示公式、夾角公式，結(jié)合四點共面的性質(zhì)、點到線距離公式逐一判斷即可.

【詳解】A：因為，

所以，因此本選項不正確；

B：因為，

所以，因此本選項正確；

C：，

，

所以

所以點到直線的距離為，因此本選項不正確；

D：因為，

所以有，因此是共線向量，

所以四點共面，因此本選項正確，

故選：BD

11.已知正方體的棱長為1，是棱上的動點，則下列說法正確的有（）

A.平面B.

C.二面角的大小為D.三棱錐的體積的最大值為

【答案】BD

【解析】

【分析】假設(shè)平面，由此推出，繼而不妨取E為CD的中點，推出矛盾，判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)判斷B；取E點的一個特殊位置求出此時的二面角判斷C；利用等體積法求出三棱錐的體積的最大值判斷D.

【詳解】對于A，是棱上的動點，假設(shè)平面，而平面，故；

不妨取E為CD的中點，連接EB，由平面，平面，

得，故，

而，則，

即，即和不垂直，故與矛盾，A錯誤；

對于B，由平面，平面，得，

又，而平面，

故平面，平面，故，B正確；

對于C，是棱上的動點，不妨取E位于C點位置，

此時二面角即二面角，

設(shè)F中點，連接，由于，

故，則即為二面角的平面角，

，

又，故，

故不等于，C錯誤；

對于D，由題意知，由于是棱上的動點，

當E在C點處時，E到平面的距離最大，即最大；

連接，由平面，平面，得，

又，而平面，

故平面，平面，故，

同理證明，而平面，

故平面，

設(shè)交平面于G點，則，

即，則，

,

故，即三棱錐的體積的最大值為，D正確，

故選：BD

12.已知橢圓的左，右兩焦點分別是，其中.直線與橢圓交于兩點，則下列說法中正確的有（）

A.的周長為

B.若的中點為，則

C.若，則橢圓的離心率的取值范圍是

D.若時，則的面積是

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓定義可知的周長為，可判斷A正確；聯(lián)立直線和橢圓方程求出點的坐標，表示出斜率公式即可得，可得B正確；由易知點在以為圓心，半徑為的圓上，即可得圓與橢圓有交點，需滿足，可得離心率，可知C正確；將代入聯(lián)立的方程可得的面積，可得D正確.

【詳解】由可知，；

顯然直線過點，如下圖所示：

由橢圓定義可知的周長為，所以A正確；

設(shè)，中點；

將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去整理可得；

由韋達定理可得，所以，

代入直線方程解得，即；

所以，

可得，所以B錯誤；

根據(jù)B選項，由可得，

可得，即點在以為圓心，半徑為的圓上；

又點在橢圓上，即可得圓與橢圓有交點，

根據(jù)對稱性可知，即，所以可得離心率，即C正確；

若時，由選項B可知聯(lián)立直線和橢圓方程可得；

所以可得；

所以

易知的面積

即可得的面積是，故D正確.

故選：ACD

【點睛】方法點睛：在求解圓錐曲線與直線的位置關(guān)系時，特別是在研究跟焦點三角形有關(guān)的問題時，經(jīng)常將直線和圓錐曲線聯(lián)立并利用韋達定理求解，注意變量間的相互轉(zhuǎn)化即可.

非選擇題部分

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡相應題的橫線上.

13.畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則________________.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的標準方程求解.

【詳解】由題可知，，所以，

故答案為:4.

14.橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，若，則________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的方程分析可得、的值，計算可得的值，由橢圓的定義可得的值，在△中，通過，，，由勾股定理分析可得答案．

【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓，

其中，，

則，

點在橢圓上，若，則，

在△中，，，，

則，

則有，

故答案為．

【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，注意由橢圓的定義分析得到的值，是中檔題．

15.如圖，平行六面體中，，，則線段的長度是______.

【答案】

【解析】

【分析】由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可求解.

【詳解】由題知，

所以，

所以，即，所以線段的長度是.

故答案為：

16.已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，則的最小值為________________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】由題意知為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，

故，

故，當且僅當共線時取等號，

所以

，

當且僅當共線時取等號，

而,

故的最小值為，

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知直線.

（1）若，求實數(shù)的值；

（2）當時，求直線與之間的距離.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用直線垂直的公式列式計算即可.

（2）先利用直線平行求出a，然后代入平行直線距離公式求解即可.

【小問1詳解】

因為直線，且，

所以，所以所以.

【小問2詳解】

當時，，解得，

此時，

所以與的距離.

18.如圖，在直三棱柱中，，點是線段的中點，

（1）求證：

（2）求點到平面的距離；

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理證得，再由線面垂直得線線垂直，進而線面垂直得線線垂直；

（2）建立空間直角坐標系，利用點面距離的向量公式求解即可.

【小問1詳解】

中，，所以，

在直三棱柱中，平面，平面，所以，

又因為，平面，平面，

所以平面，平面，所以.

【小問2詳解】

由（1）知，平面，平面，平面，

所以，又，如圖建立空間直角坐標系，

則，，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，解得，令，則，

設(shè)到平面的距離為，由得.

19.已知在四棱錐中，底面是矩形，是等邊三角形，平面平面，是線段的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式計算即可.

【小問1詳解】

取中點，連，因為分別為的中點

所以，且，又因為，且，

所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，

因為平面，平面，故平面.

【小問2詳解】

取中點，連，過作交于點，

因為為正三角形，為中點，故，

又平面平面，平面平面，故平面，

又，如圖建立空間直角坐標系，

不妨設(shè)，則，

，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，所以，

令得平面的一個法向量為，

設(shè)與平面所成角為，

所以，

故與平面所成角的正弦值為.

20.在平面直角坐標系中，已知四點.

（1）求過三點的圓方程，并判斷點與圓的位置關(guān)系；

（2）過點的直線被圓截得的弦長為4，求直線的方程.

【答案】（1），在圓上

（2）或

【解析】

【分析】（1）設(shè)圓方程為，然后將三點坐標代入可求出圓的方程，再將點代入圓的方程驗證即可，

（2）由已知可求得圓心到直線距離為1，然后分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)圓方程為

把三點坐標代入可得：，

解得，

所以圓方程是

把點坐標代入可得：，故在圓上.

【小問2詳解】

由，得，

所以圓心，半徑為，

因為弦長等于4，所以圓心到直線距離為，

當直線的斜率不存在時，即方程為，圓心到直線距離為1，滿足題意

若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為

圓心到直線的距離，解得

所以過點的直線為或.

21.在斜三棱柱中，為等腰直角三角形，，側(cè)面為菱形，且，點為棱的中點，，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；

（2）利用空間向量的坐標運算求二面夾角的余弦值.

【小問1詳解】

證明：作的中點，

連

因為，所以四邊形是平行四邊形，

可得：.

是中點,

,

又平面，且交線為,

平面，即平面,

平面

平面平面；

【小問2詳解】

由（1）可得，平面，

則，

以為原點，以為軸建立空間直角坐標系，

設(shè)，則，

，

，設(shè)平面的一個法向量為，

所以，令，則，

設(shè)平面的一個法向量為，

所以，令，則，

設(shè)為二面角的平面角，

，

所以二面角余弦值為.

22.已知點與定點的距離和它到定直線的距離比是.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.

【答案】（1）

（2）是定值，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可求解；

（2）利用韋達定理結(jié)合，可得，再利用弦長公式和點到直線的距離公式表示出三角形的面積，進而可求解.

【小問1詳解】

設(shè)點坐標為，

化解可得：.

【小問2詳解】

設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，

消去可得：，

所以，即，

則，

，

，

把韋達定理代入可得：，

整理得，滿足，

又，

而點到直線的距離，

所以，

把代入，則，

可得是定值1.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；2022學年第一學期臺州八校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級數(shù)學試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）

A.B.C.D.

2.圓與圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

3.如圖，在平行六面體中，為的中點，若，則（）

A.B.

CD.

4.如果，那么直線不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.設(shè)，向量，且，則（）

AB.C.3D.

6.在兩坐標軸上的截距相等，且與圓相切的直線有（）條

A.1B.2C.3D.4

7.已知橢圓為橢圓的對稱中心，為橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，軸，與橢圓的另一個交點為點為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）

A.B.C.D.

8.已知長方體中，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則的長度的最小值為（）

A.B.6C.D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.

9.已知圓與直線，下列選項正確的是（）

A.圓的圓心坐標為B.直線過定點

C.直線與圓相交且所截最短弦長為D.直線與圓可以相切

10.已知空間四點，則下列說法正確的是（）

A.B.

C.點到直線的距離為D.四點共面

11.已知正方體的棱長為1，是棱上的動點，則下列說法正確的有（）

A.平面B.

C.二面角的大小為D.三棱錐的體積的最大值為