湖北省黃石市育英高級中學2023年高二數學第一學期期末調研模擬試題含解析

湖北省黃石市育英高級中學2023年高二數學第一學期期末調研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線的準線方程是，則拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.2．設函數，當自變量t由2變到2.5時，函數的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.113．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，4．已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數有（）A.1 B.2C.3 D.45．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.6．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知在直角坐標系xOy中，點Q(4，0)，O為坐標原點，直線l：上存在點P滿足.則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．我國古代的數學名著《九章算術》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數是（）A. B.C. D.9．已知等差數列的公差，記該數列的前項和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.19810．已知直線和互相平行，則實數（）A. B.C.或 D.或11．已知數列滿足，，數列的前n項和為，若，，成等差數列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.2212．對于函數，下列說法正確的是（）A.的單調減區(qū)間為B.設，若對，使得成立，則C.當時，D.若方程有4個不等的實根，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，橢圓C的左、右焦點分別為F1，F2，點為橢圓C的下頂點，直線MA與MB的斜率之積為.（1）求橢圓C的方程；（2）設點P，Q為橢圓C上位于x軸下方的兩點，且，求四邊形面積的最大值.14．矩形ABCD中，，在CD邊上任取一點M，則的最大邊是AB的概率為______15．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側面正方形內一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________16．某商場對華為手機近28天的日銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下數據，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數據___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的左，右焦點分別為F1（﹣，0），F2（，0），且橢圓C過點（﹣）.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設過（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求直線l的方程.18．（12分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知數列的前項和為，且．數列是等比數列，，（1）求，的通項公式；（2）求數列的前項和20．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，求證：為定值21．（12分）已知函數.（1）若與在處有相同的切線，求實數的取值；（2）若時，方程在上有兩個不同的根，求實數的取值范圍.22．（10分）已知等差數列的前項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據拋物線的準線方程，可直接得出拋物線的焦點，進而利用待定系數法求得拋物線的標準方程【詳解】準線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標準方程可設為：則準線方程為：解得：則拋物線的標準方程為：故選：D2、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.3、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.4、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉化為求圓與圓的公切線條數，判斷兩圓的位置關系，從而得公切線條數.【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數即為圓與圓的公切線條數，因為，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點睛】解答本題的關鍵是將滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數轉化為圓與圓的公切線條數，從而根據圓與圓的位置關系判斷出公切線條數.5、B【解析】根據題意，點關于直線對稱點的性質，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據題意，設點關于直線的對稱點，則，解得，即.根據橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.6、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.7、A【解析】根據給定直線設出點P的坐標，再借助列出關于的不等式，然后由不等式有解即可計算作答.【詳解】因點P在直線l：上，則設，于是有，而，因此，，即，依題意，上述關于的一元二次不等式有實數解，從而有，解得，所以實數m的取值范圍是.故選：A8、C【解析】根據等比數列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數成等比數列，設其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數為.故選：C9、A【解析】根據等差數列的公差，求得其通項公式求解.【詳解】因為等差數列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時，該數列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A10、C【解析】根據題意，結合兩直線的平行，得到且，即可求解.【詳解】由題意，直線和互相平行，可得且，即且，解得或.故選：C.11、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數列的前n項和為，再根據，，成等差數列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數列，則，即，得.故選：D.12、B【解析】函數，，，,，利用導數研究函數的單調性以及極值，畫出圖象A.結合圖象可判斷出正誤；B.設函數的值域為，函數，的值域為．若對，，使得成立，可得．分別求出，，即可判斷出正誤C.由函數在單調遞減，可得函數在單調遞增，由此即可判斷出正誤；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，由圖象即可判斷出正誤；【詳解】函數，，，，可得函數在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增,當時，，由此作出函數的大致圖象，如圖示：A.由上述分析結合圖象，可得A不正確B.設函數的值域為，函數，的值域為，對，，．，，由，若對，，使得成立，則，所以，因此B正確C．由函數在單調遞減，可得函數在單調遞增，因此當時，，即，因此C不正確；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，結合圖象可知，因此D不正確故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）【解析】（1）由斜率之積求得，再由已知條件得，從而得橢圓方程；（2）延長QF2交橢圓于N點，連接，，設直線，，.直線方程代入橢圓方程，應用韋達定理得，結合不等式的性質、函數的單調性可得的范圍，再計算出四邊形面積得結論【小問1詳解】由題知：，，，又，∴橢圓.【小問2詳解】延長QF2交橢圓于N點，連接，，如下圖所示：，∴設直線，，.由，得，，，.，由勾形函數的單調性得，根據對稱性得：，且，，∴四邊形面積的最大值為.14、【解析】先利用勾股定理得出滿足條件的長度，再結合幾何概型的概率公式得出答案.【詳解】設，當時，，；當時，，所以當到的距離都大于時，的最大邊是AB，所以的最大邊是AB的概率為.故答案為：15、【解析】取的中點G，連接FG，BG，FB，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據是側面內一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，FB，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側面內一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：16、1【解析】根據已知條件，求出，的平均值，再結合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數據可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）設標準方程代入點的坐標，解方程組得解.（2）設直線方程代入橢圓方程消元，韋達定理整體思想，可得直線斜率得解.【小問1詳解】因為橢圓C的焦點為，可設橢圓C的方程為，又點在橢圓C上，所以，解得，因此，橢圓C的方程為；【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，因為，所以，因為，，所以，所以，①聯(lián)立方程，消去得，則，代入①，得，解得，經檢驗，此時直線與橢圓相交，所以直線l的方程是或.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】(1)根據給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點A作原點建立空間直角坐標系，借助空間位置關系的向量證明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，因分別是的中點，則，因平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐中，平面，，以點A為原點，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，而且，則，，設平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小問3詳解】由(2)知，，令直線與平面所成角為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值.19、（1），（2）【解析】（1）利用求出通項公式，根據已知求出公比即可得出的通項公式；（2）利用錯位相減法可求解.【小問1詳解】因為數列的前項和為，且，當時，，當時，，滿足，所以，設等比數列的公比為，因為，，所以，解得，所以；【小問2詳解】因為，，則，兩式相減得，所以.20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程，根據拋物線定義和焦半徑公式得到，根據韋達定理可得到最終結果；（2）代入點坐標可得到參數的值，設直線的方程為，聯(lián)立該直線和拋物線方程，，代入韋達定理可得到最終結果.【小問1詳解】設點，，點，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點，，即，設，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值21、（1）（2）【解析】（1）根據導數的幾何意義求得函數在處的切線方程，再由有相同的切線這一條件即可求解；（2）先分離，再研究函數的單調性，最后運用數形結合的思想求解即可.【小問1詳解】設公切線與的圖像切于點，f'(x)=1+lnx?f由題意得：；【小問2詳解】當時，，①，①式可化為為，令令，，在上單調遞增，在上單調遞減.，當時，由題意知：22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據等差數列的性質及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設數列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數列的通項公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因為，所以.【點睛】數列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果