湖南省醴陵市2023年高二上數(shù)學期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省醴陵市2023年高二上數(shù)學期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程表示橢圓的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.2．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.73．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓4．過點且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.5．某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘6．定義運算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.7．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（）A. B.C. D.8．俗話說“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．經(jīng)過點，且被圓所截得的弦最短時的直線的方程為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或11．過拋物線（）的焦點作斜率大于的直線交拋物線于，兩點（在的上方），且與準線交于點，若，則A. B.C. D.12．直線與直線交于點Q，m是實數(shù)，O為坐標原點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．i為虛數(shù)單位，復數(shù)______14．已知線段AB的長度為3，其兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，點M滿足．則點M的軌跡方程為______15．曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為___________.16．已知函數(shù)，若存在唯一零點，則的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離18．（12分）2021年7月29日，中國游泳隊獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀錄.受奧運精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進行自由泳1500米測試，并記錄他們的時間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）.19．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAB是邊長為4的正三角形且與底面ABC垂直，點D，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點（1）若點G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值20．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線方程的標準方程.（1）經(jīng)過點，兩點的橢圓；（2）與雙曲線－＝1有相同的漸近線且經(jīng)過點的雙曲線.21．（12分）已知數(shù)列的前項和分別是，滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列對任意都有恒成立，求.22．（10分）如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點（1）求圓錐的表面積；（2）求點B到直線CD的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由“方程表示橢圓”可求得實數(shù)的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或.故方程表示橢圓的充分不必要條件可以是.故選：D.2、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個.故選：C.3、C【解析】根據(jù)兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：4、A【解析】設直線的方程為，代入點的坐標即得解.【詳解】解：設直線的方程為，把點坐標代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A5、C【解析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結(jié)束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘故選：C.6、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關系時注意角的范圍.【詳解】解：因為，都是銳角，所以，，因為，所以，即，，所以，，因為，所有，故選：B.【點睛】信息給予題，已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值，考查根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換求值，基礎題.7、A【解析】根據(jù)平面，平面求解.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故選：A8、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.9、C【解析】當是弦中點，她能時，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當與直線垂直時，點被圓所截得的弦最短，此時，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關鍵10、B【解析】分雙曲線的焦點在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點位置不確定的情況下，要對雙曲線的焦點位置進行分類討論，考查計算能力，屬于基礎題.11、A【解析】分別過作準線的垂線，垂足分別為，設，則，，故選A.12、B【解析】求出兩直線的交點坐標，結(jié)合兩點間的距離公式得到，進而可以求出結(jié)果.【詳解】因為與的交點坐標為所以，當時，，所以的最大值是，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡求解即可.【詳解】故答案為：.14、【解析】設出動點，根據(jù)已知條件得到關于的方程.【詳解】設，由，有，得，所以，由得：，所以點的軌跡的方程是.故答案為：15、【解析】先求導數(shù)，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.【詳解】，當時，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.16、【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，得到是的唯一零點，轉(zhuǎn)化為方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，進而轉(zhuǎn)化為和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為存在唯一零點，所以是的唯一零點，則關于的方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，所以函數(shù)和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），又由，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由直線一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直線一般方程的平行公式，求得，再由平行線的距離公式，即得解.【小問1詳解】∵兩直線垂直，∴，解得【小問2詳解】∵兩直線平行，∴，解得或1，經(jīng)過驗證時兩條直線重合，舍去．∴可得：直線：，：∴兩直線間的距離18、（1）（2），【解析】（1）利用頻率之和也即各矩形的面積和為1即可求解.（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法求解即可.【小問1詳解】由，可得.【小問2詳解】平均數(shù)為：，設中位數(shù)為，則，解得.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由中位線的性質(zhì)可得、、，再由線面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據(jù)面面平行的判定證明結(jié)論.（2）應用勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、面面和線面垂直的性質(zhì)可證、、兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，求面BPC、面PCA的法向量，再應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值.【小問1詳解】因為D，H分別是PA，PC的中點，所以因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點，又H是PC的中點，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小問2詳解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，則因為△PAB為等邊三角形，點E為AB的中點，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故綜上，以E為坐標原點，以EB，EF，EP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，有，，，，則，，設平面BPC的法向量為，則，令，則設平面PCA的法向量為，則，令，則所以．由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為20、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，，從而可求出橢圓的標準方程，（2）由題意設雙曲線的共漸近線方程為,再將的坐標代入方程可求出的值，從而可求出雙曲線方程【小問1詳解】因為，所以P、Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點，且橢圓的焦點在x軸上，所以，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設與雙曲線共漸近線的方程為,代入點，解得m=2,所以雙曲線的標準方程為21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知遞推關系式再寫一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)已知遞推關系式再寫一式，然后兩式相減，求出，最后利用錯位相減法即可得答案.【小問1詳解】解：因為，，所以，，得，所