湖南省永州市祁陽縣第一中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

湖南省永州市祁陽縣第一中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.2．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，點在上，且，則直線的斜率為A. B.C. D.6．如圖，雙曲線的左，右焦點分別為，，過作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點，且Q為的中點．若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列的通項公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.188．定義域為的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿足的的集合為A. B.C. D.9．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.10．設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.011．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A. B.3C.6 D.12．如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內(nèi)是增函數(shù)B.在內(nèi)是增函數(shù)C.在時取得極大值D.在時取得極小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三角形OAB頂點，，，則過B點的中線長為______.14．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果________16．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標(biāo)為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè){bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn18．（12分）某企業(yè)2021年年初有資金5千萬元，由于引進了先進生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達到．每年年底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產(chǎn)．設(shè)從2021年的年底起，每年年底企業(yè)扣除消費基金后的剩余資金依次為，，，…（1）寫出，，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）至少到哪一年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元？（lg19．（12分）某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米．在建筑物底面中心O的東北方向米的點A處，有一全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度（1）在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為，長軸長為8.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點，A為橢圓C的右頂點，直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點（點E，F(xiàn)與點A不重合），且滿足，若點P滿足，求直線的斜率的取值范圍.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求異面直線與所成角余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使二面角大小為?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D2、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因為平面，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因為，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C3、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C4、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.5、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，求得p的值，即可得拋物線，的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得拋物線的焦點坐標(biāo)后，再根據(jù)斜率公式求解.【詳解】因為，所以，解得，所以直線的斜率為．故選B.【點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了拋物線的簡單性質(zhì)，涉及了直線的斜率公式；拋物線上的點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離；解題過程中注意焦點的位置.6、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負(fù)值舍去）故選：C【點睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】利用給定的通項公式直接計算即得.【詳解】因數(shù)列的通項公式為，則有，所以.故選：D8、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因為f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因為f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題9、A【解析】利用排除法：對于B,令得,,即有兩個零點，不符合題意；對于C,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對于D,的定義域為，不符合題意；本題選擇A選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項10、A【解析】先化簡A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項式展開式，然后計算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，關(guān)鍵是通過化簡能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項式展開式，然后計算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示，再利用均值不等式得到答案【詳解】設(shè)橢圓長軸，雙曲線實軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為6，故選：C【點睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力12、B【解析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點，進而確定正確選項.【詳解】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以不是的極值點，是的極大值點.所以ACD選項錯誤，B選項正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出中點坐標(biāo)，再由距離公式得出過B點的中線長.【詳解】由中點坐標(biāo)公式可得中點，則過B點的中線長為.故答案為：14、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9，公差為9的等差數(shù)列，15、132【解析】根據(jù)程序框圖模擬程序運行，確定變量值的變化可得結(jié)論【詳解】程序運行時，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，不滿足，輸出故答案為：13216、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點A，B的坐標(biāo)，再借助“點差法”即可計算得解.【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】（Ⅰ）由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通項公式（Ⅱ）由{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn解：（Ⅰ）∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴設(shè)其公比為q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通項公式為an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和，注意題目條件的應(yīng)用．在用等比數(shù)列的前n項和公式時注意辨析q是否為1，只要簡單數(shù)字運算時不出錯，問題可解，是個基礎(chǔ)題18、（1），，，證明見解析（2）至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元【解析】（1）由題意可知，，，，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解（2）由（1）知，，則，令，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)運算，即可求解【小問1詳解】依題意知，，，,,所以,又，所以是首項為3，公比為1.5的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，所以令，解得，所以，所以至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元19、（1）不在（2）17.5米【解析】（1）以O(shè)為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出直線AB方程，判斷直線AB與圓O的位置關(guān)系即可；（2）攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，只需求出過點A的直線l與圓O相切時的直線方程即可.【小問1詳解】以O(shè)為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則，觀景直道所在直線的方程為依題意得：游客所在點為則直線AB的方程為，化簡得，所以圓心O到直線AB的距離，故直線AB與圓O相交，所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi).【小問2詳解】由圖易知：過點A的直線l與圓O相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，所以設(shè)直線l過A且恰與圓O相切，①若直線l垂直于x軸，則l不可能與圓O相切；②若直線l不垂直于x軸，設(shè)，整理得所以圓心O到直線l的距離為，解得或，所以直線l的方程為或，即或，設(shè)這兩條直線與交于D，E由，解得，由，解得，所以，觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為17.5米.20、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關(guān)于，，的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線軸與直線l不垂直于x軸兩種情況討論，當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)，，直線l：（，），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元由，得到，再列出韋達定理，由則，解得，再由，求出的坐標(biāo)，則，再利用基本不等式求出取值范圍；【詳解】解：（1）由題意得：，，又，聯(lián)立以上可得：，，，橢圓C的方程為.（2）由（1）得，當(dāng)直線軸時，又，聯(lián)立得，解得或，所以，此時，直線的斜率為0.當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)，，直線l：（，），聯(lián)立，整理得，依題意，即（*）且，.又，，，即，且t滿足（*），，，故直線的斜率，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時；綜上，直線的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用空間向量求出空間直線的向量積，即可證明兩直線垂直.（2）利用空間向量求直線與平面所成空間角的正弦就是就出平面的法向量與直線的方向向量之間夾角的余弦即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因為，，所以，即；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為因為，由，得，令，則所以平面的一個法向量為，又所以故直線與平面所成角的正弦值為22、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，點在線段上位于靠近點的四等分點處.【解析】（1）證明平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；（3）假設(shè)存在