第64講 極限和導(dǎo)數(shù)教案

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相關(guān)知識(shí)

1.導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念。(1)定義：

函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，就是當(dāng)?x?0時(shí)，函數(shù)的增量?y與自變量的增量?x的比極限，即f(x)?lim//

?y的?x?yf(x??x)?f(x)?lim。

?x?0?x?x?0?x(2)實(shí)際背景：瞬時(shí)速度，加速度，角速度，電流等。(3)幾何意義：

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率。2．求導(dǎo)的方法：(1)常用的導(dǎo)數(shù)公式：

C=0（C為常數(shù)）；(x)=mx(m∈Q);(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(e)=e;(a)=alna

x/

x

x/

x//

m/

m-1

/

(lnx)/?1;x1(logax)/?logae.

x(2)兩個(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)：

(u?v)/?u/?v/;(uv)/?u/v?uv/;/

u/v?uv/?u?(v?0).???2v?v?(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性。

當(dāng)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，假使f(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；假使f(x)f(x0)）,我們就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值（或微小值）。(3)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。

A類例題例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y?1?x(2)y?(ax?bsin2?x)3(3)y?f(x2(1?x2)cosx?1)

(1)解:y??(1?x)?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)cosx]?(1?x2)2?cos2x??(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)?cosx?(1?x2)(cosx)?](1?x2)2cos2x??(1?x2)cosx?(1?x)[2xcosx?(1?x2)sinx](1?x2)2cos2x

(x2?2x?1)cosx?(1?x)(1?x2?)sinx(1?x2)2cos2x(2)解y=μ3

,μ=ax－bsin2

ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωx

y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′

=3μ2(av′－by′)=3μ2

(av′－by′γ′)

=3(ax－bsin2ωx)2

(a－bωsin2ωx)(3)解法一設(shè)y=f(μ),μ=v,v=x2

+1,則

y′x=y′′x=f′(μ)·1－1μμ′v·v2v2·2x

=f′(x2?1)·

112

x2·2x?1=

xf?(x2?1),

x2?1解法二y′=［f(x2?1)］′=f′(x2?1)·(x2?1)′

11=f′(x2?1)·2?2(x+1)2·(x2

+1)′

認(rèn)真愛心一心-2-

?12

=f′(x?1)·(x+1)2·2x

212=

xx2?1f′(x2?1)

說明此題3個(gè)小題分別涉及了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方法這是導(dǎo)數(shù)中比較典型的求導(dǎo)類型

解答此題的關(guān)鍵點(diǎn)是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

此題難點(diǎn)在求導(dǎo)過程中符號(hào)判斷不清，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出過錯(cuò)

例2．觀測(xn)??nxn?1，(sinx)??cosx，(cosx)???sinx，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

f(x??x)?f(x)?f?(x)

?x?0?xf(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)?limf?(?x)?lim

?x?0?x?0??x??xf(x??x)?f(x)??f?(x)?lim??x?0??解：若f(x)為偶函數(shù)f(?x)?f(x)令lim∴可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

另證：f??[f(?x)]??f?(?x)?(?x)???f?(x)

∴可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

32

例3已知曲線Cy=x－3x+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(diǎn)(x0,y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)

解由l過原點(diǎn)，知k=

y032

(x0≠0),點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上，y0=x0－3x0+2x0,x0∴

y02

=x0－3x0+2x0y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

又k=

y022

,∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2x02x0－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=

2

3232333233∴y0=()－3()+2·=－

2228∴k=

y01=－x04認(rèn)真愛心一心

-3-

∴l(xiāng)方程y=－

133x切點(diǎn)(，－)428情景再現(xiàn)?x21．y?f(x)???ax?bx?1在x?1處可導(dǎo)，則a?b?x?12．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求以下極限：

f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h)（1）lim；（2）lim

?h?0?h?02hh

3．設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。

B類例題例4(1)試述函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)的定義；

(2)若f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)=-f(x)，求f(0)。

(1)解：假使函數(shù)y=f(x)在x=0處的改變量△y與自變量的改變量△x之比

/

?yf(0??x)?f(0)?，當(dāng)?x?0時(shí)有極限，這極限就稱為y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)。?x?x記作f(0)?/lim?x?0f(0??x)?f(0)。

?x(2)解法一：∵f(x)=f(-x)，則f(△x)=f(-△x)∴f(0)?/lim?x?0f(?x)?f(0)f(??x)?f(0)??lim

?x??x?x?0當(dāng)?x?0時(shí)，有??x?0∴f(0)??//lim??x?0f(??x)?f(0)??f/(0)

??x∴f(0)?0。

解法二：∵f(x)=f(-x)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f(x)?f(x)?(?x)??f(x)∴f(0)??f(0)∴f(0)?0。

///////認(rèn)真愛心一心-4-

鏈接說明此題涉及對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義。題（2）可對(duì)其幾何意義加以解釋：由于f(x)=f(-x),所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此它在x=x0處的切線關(guān)于y軸對(duì)稱，斜率為互為相反數(shù)，點(diǎn)(0,f(0))位于y軸上，且f(0)存在，故在該點(diǎn)的切線必需平行x軸（當(dāng)f(0)=0時(shí)，與x軸重合），于是有f(0)=0。在題（2）的解二中可指出：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步思考：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)嗎？

例5利用導(dǎo)數(shù)求和

2n－1*

(1)Sn=1+2x+3x+…+nx(x≠0,n∈N)

23n(2)Sn=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,(n∈N)

*

//

解(1)當(dāng)x=1時(shí)

1Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);

2當(dāng)x≠1時(shí)，

x?xn?1∵x+x+x+…+x=,

1?x兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得

2

3

nx?xn?1(x+x+x+…+x)′=()′

1?x2

3

n1?(n?1)xn?nxn?1即Sn=1+2x+3x+…+nx=

(1?x)22

n－1

2n(2)∵(1+x)=1+C1nx+Cnx+…+Cnx,

n2

n兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得

232nn－1n(1+x)n－1=C1+2Cx+3Cx+…+nC,nnnnx令x=1得，n·2

n－1

23n=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,

n－1

2n即Sn=C1n+2Cn+…+nCn=n·2

說明要注意思維的靈活性