江蘇省姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

江蘇省姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果，，…，是拋物線C：上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，，…，，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn).若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.42．設(shè)滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.163．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.5．將正整數(shù)1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第19行從左往右數(shù)第5個(gè)數(shù)是（）A.381 B.361C.329 D.4006．音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”……依此?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個(gè)音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列7．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1088．過拋物線的焦點(diǎn)引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，則（）A.4 B.6C.8 D.109．若，在直線l上，則直線l一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.10．的展開式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.11．總體由編號(hào)為的30個(gè)個(gè)體組成.利用所給的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取的方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）A.20 B.26C.17 D.0312．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X123P則數(shù)學(xué)期望（）A. B.C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇14．若實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍為___________.15．已知過橢圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓（為圓心）：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______16．已知拋物線：，若直線與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，則_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長度最大，并求最大值18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值19．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點(diǎn)為圓心，為半徑圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，若，證明直線DE過定點(diǎn)21．（12分）如圖1是，，，，分別是邊，上兩點(diǎn)，且，將沿折起使得，如圖2.（1）證明：圖2中，平面；（2）圖2中，求二面角的正切值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)拋物線定義得個(gè)等式，相加后，利用已知條件可得結(jié)果.【詳解】拋物線C：的準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用拋物線的定義解題是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】可行域如圖,則直線過點(diǎn)A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.3、D【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，令，解得或，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D4、B【解析】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為，由可得，進(jìn)而可得滿足的方程，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為(不與點(diǎn)重合)，則，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，所以，即，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D不正確，故選：B.5、C【解析】觀察規(guī)律可知，從第一行起，每一行最后一個(gè)數(shù)是連續(xù)的完全平方數(shù)，據(jù)此容易得出答案.【詳解】由圖中數(shù)字排列規(guī)律可知：第1行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，第2行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，第3行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，……第18行從左往右最后1個(gè)數(shù)為，第19行從左往右第5個(gè)數(shù)是故選：C.6、C【解析】根據(jù)文化知識(shí)，分別求出相對(duì)應(yīng)的頻率，即可判斷出結(jié)果【詳解】設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C8、C【解析】由題意可得，的方程為，設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計(jì)算即可求解.【詳解】由上可得：焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.9、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?，在直線l上，所以直線l的一個(gè)方向向量為.故選：C.10、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出答案即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是故選：B11、D【解析】根據(jù)題目要求選取數(shù)字，在30以內(nèi)的正整數(shù)符合要求，不在30以內(nèi)的不合要求，舍去，與已經(jīng)選取過重復(fù)的舍去，找到第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】已知選取方法為從第一行的第3列和第4列數(shù)字開始，由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，所以選取出來的數(shù)字分別為12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（與前面重復(fù)，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為03.故選：D12、D【解析】利用已知條件，結(jié)合期望公式求解即可【詳解】解：由題意可知：故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.14、【解析】直接利用換元法以及基本不等式，求出結(jié)果【詳解】解：設(shè)，由于，所以，由于，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，故，，所以，整理得：故的取值范圍為的取值范圍故答案為：15、【解析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點(diǎn)、圓心和半徑；當(dāng)最小時(shí)，可知，此時(shí)；根據(jù)橢圓性質(zhì)知，解方程可求得，進(jìn)而得到離心率.【詳解】由橢圓方程知其右焦點(diǎn)為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當(dāng)最小時(shí)，則最小，即，此時(shí)最小；此時(shí)，；為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.16、8【解析】直線方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理根據(jù)弦長公式求弦長【詳解】設(shè)，由得，所以，，故答案為：8三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）服務(wù)通道的長為千米（2）時(shí)，折線賽道的長度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通道的長為千米【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因?yàn)?，所以，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即當(dāng)時(shí)，折線賽道的長度最大，最大值為千米18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標(biāo)設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個(gè)式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因?yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面又平面，所以又因?yàn)?，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因?yàn)椋?，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小?詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，因?yàn)檩S，可設(shè)，可求得，設(shè)為平面的法向量則令，解得，所以又因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄克?，因?yàn)椋运援?dāng)時(shí)，取到最小值19、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得數(shù)列的和；（2）由題得，再利用分組求和求出，得到，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由題意：，，，令，則，即對(duì)任意的恒成立，是單調(diào)遞增數(shù)列，，只需，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的最值，常用數(shù)列的單調(diào)性求解，求數(shù)列的單調(diào)性，一般利用定義法作差或作商判斷.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因?yàn)闉閽佄锞€C上一點(diǎn)，且，所以到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時(shí)，，不妨令，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過點(diǎn)；綜上，直線DE過定點(diǎn)21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）、利用線面垂直的判定，及線面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）、建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面、平面的法向量，利用求出兩平面所成角的余弦值，進(jìn)而求出求二面角的正切值.【小問1詳解】由已知得：,平面，又平面,在中，,由余弦定理得：，，即，平面.【小問2詳解】由（1）知：平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則與，即與,..,觀察可知二面角為鈍二面角，二面角的正切值為.22、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解得結(jié)果.【詳解】（1）連接