吉林省長春市東北師大附中等六校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

吉林省長春市東北師大附中等六校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識(shí)競賽”活動(dòng),已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為25的樣本參加活動(dòng),其中高二年級(jí)抽取了8人,則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.3202.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著,書中有如下問題:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共出百銭.欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?”意思是:“有大夫、不更、簪褭、上造、公士(大夫爵位最高,爵位依次從高變低)5個(gè)人共出100錢,按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列,問這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問題中,若公士出28錢,則不更出的錢數(shù)為()A.14 B.20C.18 D.163.拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,則到拋物線焦點(diǎn)的距離等于()A.12 B.10C.8 D.64.已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A B.C. D.5.在等差數(shù)列中,其前項(xiàng)和為.若,是方程的兩個(gè)根,那么的值為()A.44 B.C.66 D.6.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定:100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車,80及以上為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1.2,且在停止喝酒以后,他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少,若他想要在不違法的情況下駕駛汽車,則至少需經(jīng)過的小時(shí)數(shù)約為()(參考數(shù)據(jù):,)A.6 B.7C.8 D.97.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出S的結(jié)果是()A.128 B.64C.16 D.328.由于受疫情的影響,學(xué)校停課,同學(xué)們通過三種方式在家自主學(xué)習(xí),現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度,收集如圖1所示的數(shù)據(jù);教務(wù)處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯(cuò)誤的是()A.樣本容量為240B.若,則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人9.阿基米德(公元前287年~公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在軸上,且橢圓的離心率為,面積為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.10.曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A.﹣9 B.﹣3C.9 D.1511.已知橢圓:的離心率為,則實(shí)數(shù)()A. B.C. D.12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則取得最大值時(shí)n的值為()A.2 B.3C.4 D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,已知AB,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑,且,若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______14.已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.15.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且,,則橢圓離心率是___________16.設(shè)命題:,,則為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓過點(diǎn),且離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交橢圓于點(diǎn),,連接與交于點(diǎn)①若,求;②求的值18.(12分)已知函數(shù),.(1)若,求的最大值;(2)若,求證:有且只有一個(gè)零點(diǎn).19.(12分)已知函數(shù),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且對(duì)一切正整數(shù)n、點(diǎn)都在因數(shù)的圖象上(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)列的前n項(xiàng)和,求證:20.(12分)已知橢圓的長軸長是6,離心率是.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),判斷是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)已知橢圓C:()的離心率為,并且經(jīng)過點(diǎn),(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓C上任意一點(diǎn),直線的斜率分別為,,求證:為定值22.(10分)求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)經(jīng)過點(diǎn),;(2)長軸長是短軸長的3倍,且經(jīng)過點(diǎn)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由分層抽樣各層成比例計(jì)算即可【詳解】設(shè)高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D2、D【解析】根據(jù)題意,建立等差數(shù)列模型,結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列,公差為,前項(xiàng)和為,則由題可得,解得,所以不更出的錢數(shù)為.故選:D.3、C【解析】根據(jù)焦半徑公式即可求出【詳解】因?yàn)?,所以,所以故選:C4、B【解析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,作出圖像,利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),,求導(dǎo),令,得當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;故當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值;當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值;作出函數(shù)圖像,如圖所示,由圖可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是故選:B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.5、D【解析】由,是方程的兩個(gè)根,利用韋達(dá)定理可知與的和,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得與的和等于,即可求出的值,然后再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知等于的11倍,把的值代入即可求出的值.【詳解】因?yàn)?,是方程的兩個(gè)根,所以,而,所以,則,故選:.6、C【解析】根據(jù)題意列出不等式,利用指對(duì)數(shù)冪的互化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式即可解出不等式.【詳解】設(shè)該駕駛員至少需經(jīng)過x個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車,則,所以,則,所以該駕駛員至少需經(jīng)過約8個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車.故選:C7、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟,即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯,其執(zhí)行步驟如下:1、成立,則;2、成立,則;3、成立,則;4、成立,則;5、不成立,輸出;故選:C8、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A,樣本容量為,該選項(xiàng)正確;選項(xiàng)B,根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率,錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,樣本可以估計(jì)總體,但會(huì)有一定的誤差,總體中對(duì)方式二滿意人數(shù)約為,該選項(xiàng)正確;選項(xiàng)D,樣本中對(duì)方式一滿意人數(shù)為,該選項(xiàng)正確.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷,考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題9、C【解析】由題意,設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組,求解方程組即可得答案【詳解】由題意,設(shè)橢圓的方程為,由橢圓的離心率為,面積為,∴,解得,∴橢圓的方程為,故選:C.10、C【解析】y′=3x2,則y′|x=1=3,所以曲線在P點(diǎn)處的切線方程為y-12=3(x-1)即y=3x+9,它在y軸上的截距為9.11、C【解析】根據(jù)題意,先求得的值,代入離心率公式,即可得答案.【詳解】因?yàn)椋运?,解?故選:C12、C【解析】根據(jù)單調(diào)性分析出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)有哪些即可求解.【詳解】由條件有,當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即.即,所以取得最大值時(shí)n的值為.故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】取CD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),以CD所在直線為x軸,以底面內(nèi)過點(diǎn)O且與CD垂直的直線為y軸,以過點(diǎn)O且與底面垂直的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè),則,,,,,,所以,所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為故答案為:14、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得為增函數(shù),根據(jù),求得,進(jìn)而求得,得出即在點(diǎn)處的切線的斜率,再利用直線的點(diǎn)斜式方程,即可求解【詳解】由題意,點(diǎn)在曲線上,可得,又由函數(shù),則,所以函數(shù)在上為增函數(shù),且,所以,因?yàn)?,所以,即在點(diǎn)處的切線的斜率為2,所以曲線在點(diǎn)的切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程,其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力15、【解析】先由,根據(jù)橢圓的定義,求出,,再由余弦定理,根據(jù),即可列式求出離心率.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,又,所以,因,在中,由,根據(jù)余弦定理可得,解得(負(fù)值舍去)故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率,屬于??碱}型.16、,【解析】由全稱命題的否定即可得到答案【詳解】根據(jù)全稱命題的否定,可得為,【點(diǎn)睛】本題考查了含有量詞的命題否定,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①,②【解析】(1)由題意得解方程組求出,從而可得橢圓的方程,(2)①由題意可得的方程為,再與橢圓方程聯(lián)立,解方程組求出的坐標(biāo),從而可求出;②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消去,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)的坐標(biāo),再將直線的方程與方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而可求出的值【小問1詳解】由題意得解得,所以橢圓的方程為.【小問2詳解】①當(dāng)時(shí),直線的斜率,則的垂線的方程為由得解得故,,②由,,顯然斜率存在,,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),直線過點(diǎn)且與直線垂直,則直線方程為由得顯然設(shè),,則,則中點(diǎn)直線的方程為,由得所以綜上的值為18、(1)(2)證明見解析【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性,從而可求最值.(2)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中無參數(shù),故單調(diào)性與(1)中所求一致,然后利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合的范圍,以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).【小問1詳解】若,則,其定義域?yàn)?,∴,由,得,∴?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴【小問2詳解】證明:,由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞誠,∵,∴當(dāng)時(shí),,故在上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,∵且,∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上,有且只有一個(gè)零點(diǎn).19、(1)(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)數(shù)列中和的關(guān)系,即可解出;(2)利用裂項(xiàng)相消法求出,即可進(jìn)一步汽車其范圍.【小問1詳解】由題知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足上式,綜上,;【小問2詳解】,則,由,得,所以.20、(1);(2)存在,.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計(jì)算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)出直線l的方程,與橢圓E的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運(yùn)算,推理計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意,,半焦距為c,則離心率,即,有,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,由消去y并整理得:,設(shè),則,,,,,,要使為定值,必有,解得,此時(shí),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性不妨令,,,當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),過點(diǎn)的任意直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),恒有,所以存在滿足條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求定值問題常見的方法:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān)(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值21、(1)(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意可列出關(guān)于的三個(gè)方程,解出即可得到橢圓C的方程;(2)根據(jù)對(duì)稱可得點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)斜率公式可得,然后由點(diǎn)為橢圓C上的點(diǎn)得,代入化簡即可求出為定值【小問1詳解】由題意解得,.所以橢圓C的

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