九年級數(shù)學(xué)競賽專題講座-二次函數(shù)的最值問題(含答案)

九年級數(shù)學(xué)競賽專題講座---二次函數(shù)的最值問題一、內(nèi)容概述對二次函數(shù)，若自變量為任意實數(shù)，則取最值情況為：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，若自變量的取值范圍為，則取最值分和兩種情況，由、與的大小關(guān)系確定。1．對于：（1）當(dāng)，因為對稱軸左側(cè)隨的增大而減小，所以的最大值為，最小值為。這里、分別是在與時的函數(shù)值。（2）當(dāng)，因為對稱軸右側(cè)隨的增大而增大，所以的最大值為，最小值為。（3）當(dāng)，的最大值為、中較大者，的最小值為.2．對于（1）當(dāng)，的最大值為，最小值為。（2）當(dāng)，的最大值為，最小值為。（3）當(dāng)，的最小值為、中較大者，的最大值為.綜上所述，求函數(shù)的最大、最小值，需比較三個函數(shù)值：、、二、例題解析例1已知是方程的兩個實數(shù)根，求的最大值和最小值。解：由于題給出的二次方程有實根，所以，解得∴＝＝＝∵函數(shù)在隨著的增大而減小∴當(dāng)時，；當(dāng)時，例2（1）求函數(shù)在區(qū)間中的最大值和最小值。（2）已知：，且，求的最小值。解（1）若則∴若則∴由此在畫出草圖∴（），當(dāng)時，；當(dāng)時，對（），當(dāng)時，；時，綜上所述，時，；當(dāng)時，.（2）由得，由得故∴為開口向上，對稱軸為的拋物線，雖然有最小值，但不在的范圍內(nèi)，因此不是所求的最值。又時，；時，∴所求的最小值為3例3有兩條拋物線，通過點且平行于軸的直線，分別交這兩條拋物線于點A和B，當(dāng)在0到3的范圍內(nèi)變化時，求線段AB的最大值。解：∵A和B的縱坐標(biāo)分別為，∴∴當(dāng)時，線段取得最大值例4已知二次函數(shù)有最大值－3，求實數(shù)的值。分析：本題是關(guān)于二次函數(shù)最值的“逆向問題”，由題設(shè)知，二次函數(shù)的對稱軸是，而的取值范圍是，所以要對是否在的取值范圍內(nèi)討論求解。解：（1）若，即，拋物線開口向下，當(dāng)時，∵二次函數(shù)最大值，即與矛盾，舍去。（2）若當(dāng)時，隨增大而減小，當(dāng)時，，由又，∴（3）若當(dāng)時，隨增大而增大，當(dāng)時，，由又，∴綜上所述，或例5在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，試在二次函數(shù)的圖像上找出滿足的所有整點，并說明理由。解：∵，即∴①當(dāng)時，①式即為，解得此時，滿足條件的點有當(dāng)時，，解得此時滿足條件的點有例7綜上所述，滿足條件的整點，共有6個。例7例6求分式的最小值解：令，問題轉(zhuǎn)化為考慮函數(shù)的最小值。∵∴當(dāng)時，，例7已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1.試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積。解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=,NP=，于是矩形PNDM的面積，易知CN＝,EM＝，且有,即所以，,所有根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時二次函數(shù)的最值問題訓(xùn)練題班級姓名學(xué)號1．填空（1）已知函數(shù)，當(dāng)________時，取最大值是______；當(dāng)________時，取最小值是______.（2）已知拋物線的開口向上，對稱軸是直線，當(dāng)，對應(yīng)的值分別是、、，則、、的大小關(guān)系是_________.（3）函數(shù)的最大值與最小值分別是___________.（4）已知二次函數(shù)（）的最大值是3，那么的值為__________.2．設(shè)為正整數(shù)，則函數(shù)的最小值是多少？3．已知：，函數(shù)的最小值為，試求的最大值。4．對于任意實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍。5．如圖，半徑為1的半圓內(nèi)接等腰梯形，其下底是半圓的直徑，試求：（1）它的周長與腰長之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍。ABABODCx6．已知實數(shù)、滿足等式，求：的最大值和最小值。7．已知：方程，兩根為、，求的最大值與最小值，并求此時方程的根。8．根據(jù)某服裝店統(tǒng)計，服裝價格每提高3％，出售服裝的件數(shù)就要降低2％，設(shè)某種服裝提價x%，結(jié)果每天的經(jīng)營收入（價格×出售價數(shù)）為原來的y倍，（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系；（2）要使經(jīng)營收入不降低，x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（3）當(dāng)x是什么值時，能使經(jīng)營收入最多？9．求函數(shù)的最值。參考答案1．(1)x=1,y=1,x=3,y=-1;(2);（3）最大值與最小值分別為：2，0；（4）a=0；2．1；3．a(chǎn)＝0時，m有最大值0；a＝1時，m有最大值0.25；a＝2時，m有最大值04．－4<k≤05.(1)0<x<;(2)x=1時，周長最大為56．當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最小值7．k=8時，最大值為98，方程為，兩根為7；k＝2時，最小值為2，方程為，兩根