江西省2024屆高二數(shù)學第一學期期末預測試題含解析

江西省2024屆高二數(shù)學第一學期期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.22．入冬以來，梁老師準備了4個不同的烤火爐，全部分發(fā)給樓的三個辦公室（每層樓各有一個辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點冷，所以1，2樓的每個辦公室至少需要1個烤火隊，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.863．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則A. B.2C.3 D.4．某種產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為萬元（殘差=真實值-預測值）A.40 B.30C.20 D.105．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A. B.C. D.6．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.7．數(shù)列，，，，，中，有序實數(shù)對是（）A. B.C. D.8．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.19．設是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.210．已知兩圓相交于兩點和，兩圓的圓心都在直線上，則的值為A. B.2C.3 D.011．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無法確定12．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標系中各頂點的坐標分別為，，，則其“歐拉線”的方程為___________.14．點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是__.15．某工廠的某種型號的機器的使用年限和所支出的維修費用（萬元）有下表的統(tǒng)計資料：23456223.85.56.57.0根據(jù)上表可得回歸直線方程，則=_____.16．經(jīng)過點，，的圓的方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對五校高三學生進行綜合素質測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質成績的平均值和中位數(shù)；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.18．（12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）若關于的方程在上有解，求的取值范圍.19．（12分）已知拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離相等.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，兩點，且滿足(為坐標原點)，證明：直線與軸的交點為定點.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是，的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小21．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求；（2）若，且數(shù)列的前n項和為，求證：22．（10分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；（3）若從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內的學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即則，所以則故選：B2、C【解析】運用分類計數(shù)原理，結合組合數(shù)定義進行求解即可.【詳解】當3樓不要烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當3樓需要1個烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當3樓需要2個烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：，所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：，故選：C【點睛】關鍵點睛：運用分類計數(shù)原理是解題的關鍵.3、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，故選A.【點睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎題4、D【解析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應的銷售額，這是一個預測值，再求出與真實值之間有一個誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當時，50，當廣告費支出5萬元時，由表格得：，故隨機誤差的效應（殘差）為萬元.故選D.點睛：本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查預測y的值，是一個綜合題5、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.6、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.7、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序實數(shù)對是，故選：8、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項計算，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.9、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，不妨設，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.10、C【解析】根據(jù)條件知：兩圓的圓心的所在的直線與兩圓的交點所在的直線垂直，以及兩圓的交點的中點在兩圓的圓心的所在的直線上，由此得到方程，得解.【詳解】由已知兩圓的交點與兩圓的圓心的所在的直線垂直，，所以，又因為兩圓的交點的中點在兩圓的圓心所在的直線上，所以，解得：，所以，故選.【點睛】此題主要考查圓與圓的位置關系，解答此題的關鍵是需知兩圓的圓心所在的直線與兩圓的交點所在的直線垂直，并且兩圓的交點的中點在兩圓的圓心所在的直線上，此題屬于基礎題.11、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.12、D【解析】設該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質可得，進而求出結果.【詳解】設該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意知是直角三角形，即可寫出垂心、外心的坐標，進而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設知：是直角三角形，則垂心為直角頂點，外心為斜邊的中點，∴“歐拉線”的方程為.故答案為：.14、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質求得它的值域即可【詳解】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質可得，當x＝y(tǒng)時，?取得最小值為；當x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點睛】本題主要考查了向量在幾何中的應用與向量的數(shù)量積運算問題，是綜合性題目15、08##【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出，將點代入回歸直線求出即可.【詳解】由表格可得，，由于回歸直線過點，故，解得，故答案為：0.08.16、【解析】設所求圓的方程為，然后將三個點的坐標代入方程中解方程組求出的值，可得圓的方程【詳解】設所求圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）平均值為74.6分，中位數(shù)為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)和中位數(shù)算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數(shù)在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數(shù)在70~80之間，設為，則，解得，∴綜合素質成績的中位數(shù)為75分.【小問2詳解】設這6名同學分別為，，，，1，2，其中設1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中含有文科學生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16種，∴含文科生的概率為.18、（1）（2）【解析】（1）求，由條件可得，得出關于的方程組，求解可得；（2）令，注意，所以在具有單調性時，則方程無解，求，對分類討論，求出單調區(qū)間，結合函數(shù)值的變化趨勢，即可求得結論.【詳解】解：（1），因為，所以，解得，，所以.（2）令，則.令，則在上單調遞增.當，即時，，所以單調遞增，又，所以；當，即時，則存在，使得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又，則.當時，，所以在上有解.綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義求參數(shù)，考查導數(shù)的綜合應用，涉及到單調區(qū)間、函數(shù)零點的問題，考查分類討論思想，屬于較難題.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)利用拋物線點，n)到焦點的距離等于到x軸的距離求出，從而得到拋物線的標準方程(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，通過韋達定理求出直線方程，然后由，即可求解【小問1詳解】由題意可得，故拋物線方程為；【小問2詳解】設，，，，直線的方程為，聯(lián)立方程中，消去得，，則，又，解得或(舍去)，直線方程為，直線過定點20、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取中點連接，連接，證得四邊形為平行四邊形，，再證面，即可得到證明結果；（2）建立空間坐標系，求面和面的法向量，即可得到兩個面的二面角的余弦值，進而得到二面角大小.【小問1詳解】如上圖，取中點連接，連接，均為線段中點，且，又G是的中點，且且四邊形為平行四邊形為等腰直角三角形，為斜邊中點，面，面面又面.【小問2詳解】建立如圖坐標系，設面的法向量為設面的法向量為兩個法向量的夾角余弦值為：，由圖知兩個面的二面角為鈍角，故夾角為.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求得，猜想，然后利用數(shù)學歸納法進行證明.（2）利用放縮法證得結論成立.【小問1詳解】依題意，，，，猜想，下面用數(shù)學歸納法進行證明：當時，結論成立，假設當時結論成立，即，由，，所以當時，有，結論成立，所以當時，.【小問2詳解】由（1）得，且為單調遞增數(shù)列，所以.所以.22、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據(jù)該校高一年級共有學生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分數(shù)段內的人數(shù)，先列舉出從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內的學生中隨機選取兩名學生的基本事件總數(shù)，再得到兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數(shù)，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學生640人，

∴由樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分數(shù)段內的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分數(shù)段內的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn).

若從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內的學生中隨機選取兩名學生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，

(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E