chap8歐幾里德空間

1第八章歐幾里得空間

線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算只有加法與數(shù)量乘法。作為幾何空間的推廣，可以發(fā)現(xiàn)幾何向量的度量性質(zhì)，如長度、夾角等，在線性空間的理論中沒有得到反映。但是向量的度量性質(zhì)在許多問題（包括幾何問題）有特殊的地位。因此有必要在線性空間中引入度量的概念，使其更接近于幾何空間，并有更豐富的內(nèi)容與方法。2知識脈絡(luò)圖解內(nèi)積歐氏空間歐氏空間的同構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)正交基

長度、夾角與正交對稱變換正交變換對稱矩陣正交矩陣

實對稱陣正交相似于對角陣

正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正交子空間正交補(bǔ)空間3重點、難點解讀

本章通過在實數(shù)域上的線性空間中引入內(nèi)積的概念得到歐氏空間，進(jìn)而討論了長度、夾角及正交等度量概念，特別是引入了歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基這一結(jié)構(gòu)特征。利用標(biāo)準(zhǔn)正交基的特性，可以使許多問題變得非常簡單，這是引入標(biāo)準(zhǔn)正交基的好處。要求準(zhǔn)確理解和掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及基本性質(zhì)，能熟練運(yùn)用施密特正交化方法由一組基求出標(biāo)準(zhǔn)正交基。4

歐氏空間證與內(nèi)積有關(guān)的正交變換與對稱變換在現(xiàn)實生活中有著廣泛而重要的應(yīng)用，這兩種變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下分別對應(yīng)著正交矩陣及實對稱矩陣這兩種具有特殊性質(zhì)的矩陣。要求掌握正交變換與對稱變換的概念及性質(zhì)，能夠運(yùn)用它們與對應(yīng)特殊矩陣之間的關(guān)系解題對實對稱矩陣A，要求能熟練地找到正交矩陣Q，使為對角陣，以及以另一種形式出現(xiàn)的同一個問題，即用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

將線性空間關(guān)于某個子空間進(jìn)行直和分解是不唯一的，但是歐氏空間關(guān)于某個子空間及其正交補(bǔ)空間的直和分解是唯一的。歐氏空間的這種分解是很重要的，要求掌握子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì)，會求某些子空間的正交補(bǔ)。536782.Schmidt正交化方法設(shè)是維歐氏空間V的一組基，先用Schmidt正交化方法將其正交化，得到一組正交基再單位化得到V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)Ｖ為歐氏空間，非零向量1.定義它們兩兩正交，則稱之為正交向量組.此時如果由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.

n維歐氏空間中，由n

個向量構(gòu)成的正交向量組稱為正交基；設(shè)Ｖ為歐氏空間，非零向量1.定義它們兩兩正交，則稱之為正交向量組.此時如果由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.

n維歐氏空間中，由n

個向量構(gòu)成的9基

結(jié)論正交向量組必是線性無關(guān)向量組.1011即1213基1415例116n11n2nn2nnnn因A為一對稱陣，找其一組基為于是有17

例1’、設(shè)是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣是求V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。18解采用初等變換法，由于…………………………………令則19又令即所以為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

例2、在歐氏空間中，其內(nèi)積令求使成為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

解已是兩兩正交的單位向量。令則由得20求得基礎(chǔ)解系它們與正交，但本身只是線性無關(guān)的。正交化得再單位化為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。則21例222

例3、給定維歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)是V的正交變換，是的不變子空間，證明：V的子空間也是的不變子空間。

證根據(jù)題設(shè)條件知由于是的正交變換，所以也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

又是的不變子空間，所以是W標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而任取有故是的不變子空間。23例324

例4、證明：維歐氏空間的每一個子空間的正交補(bǔ)空間是唯一的。

證設(shè)。當(dāng)時，。當(dāng)時，當(dāng)時，取的一組正交基再擴(kuò)充為V的一組正交基，則再證唯一性。設(shè)都是的正交補(bǔ)，則下證對，有，其中，且所以從而此即類似可證故這是因為25

例5、設(shè)是維歐氏空間V的子空間，且的維數(shù)小于的維數(shù)，證明：中必有一非零向量正交于中的一切向量。

證設(shè)，且，則令則由維數(shù)定理知但，于是即此即從而存在非零向量即26

例6、已知矩陣空間的子空間

中的內(nèi)積為

的線性變換為（1）求子空間W的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基；（2）證明W是的不變子空間；

（4）求W的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，使在該基下的矩陣為對角矩陣。

（3）將看成W上的線性變換，證明是W上的對稱變換；

（3）將看成W上的線性變換，證明是W上的對稱變換；27解（1）W的一組基為它們已正交，單位化得W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基（2）任取，有，而滿足所以故W是的不變子空間。28（3）可求得可見在W的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為由于A是對稱矩陣，所以是W中的對稱變換。29（4）可求得從而A的特征值為又對應(yīng)的特征向量為（已正交）對應(yīng)的特征向量為故正交矩陣使得30由得W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

在該組基下的矩陣為31