2019年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一真題及答案

2019年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一真題及答案一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1、當(dāng)x→0，x-tanx與xk是同階無窮小，則k=______

A．1

B．2

C．3

D．4

2、函數(shù)則x=0是f(x)的______

A．可導(dǎo)點，極值點

B．不可導(dǎo)點，極值點

C．可導(dǎo)點，非極值點

D．不可導(dǎo)點，非極值點

3、設(shè){un}是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級數(shù)中收斂的是______

A．

B．

C．

D．

4、設(shè)函數(shù)，如果對上半平面(y＞0)內(nèi)的任意有向光滑封閉曲線C都有∮C-P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0，那么函數(shù)P(x，y)可取為______

A．

B．

C．

D．

5、設(shè)A是三階實對稱矩陣，E三階單位矩陣，若A2+A=2E，且|A|=4，則二次型xTAx的規(guī)范形為______

A．

B．

C．

D．

6、如圖所示，有3張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程ai1x+ai2y+ai3z=di(i=1，2，3)，組成的線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為A，，則______

A．

B．

C．

D．

7、設(shè)A，B為隨機事件，則PA.=PB.充分必要條件是______

A．P(A∪B.=PA.+PB.

B．P(AB.=PA.PB.

C．

D．

8、設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P{|X-Y|＜1}______

A．與μ無關(guān)，而與σ2有關(guān)

B．與μ有關(guān)，而與σ2無關(guān)

C．與μ，σ2都有關(guān)

D．與μ，σ2都無關(guān)

二、填空題9、設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，z=f(siny-sinx)+xy，則

10、微分方程2yy'-y2-2=0滿足條件y(0)=1的特解y=______．

11、冪級數(shù)在(0，+∞)內(nèi)的和函數(shù)S(x)=______．

12、設(shè)∑為曲面x2+y2+4x2=4(z≥0)的上側(cè)，則

13、設(shè)A=α1，α2，α3為三階矩陣，若α1，α2線性無關(guān)，且α3=-α1+2α2，則線性方程組Ax=0的通解為______．

14、設(shè)隨機變量X的概率密度為F(X)為X的分布函數(shù)，E(X)為X的數(shù)學(xué)期望，則P{F(x)＞E(X)-1}=______．

三、解答題本題共94分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．設(shè)函數(shù)y(x)是微分方程滿足條件y15=0的特解．15、求y(x)；16、求曲線y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點．設(shè)a，b為實數(shù)，函數(shù)z=2+ax2+by2在點(3，4)處的方向?qū)?shù)中，沿方向l=-3i-4j的方向?qū)?shù)最大，最大值為10．17、求a，b；18、求曲線z=2+ax2+by2(z≥0)的面積．19、求曲線y=e-xsinx(x≥0)與x軸之間圖形的面積．

設(shè)20、證明：數(shù)列{an}單調(diào)遞減，且21、求22、設(shè)Ω是由錐面x2+(y-z)2-(1-x)2(0≤z≤1)與平面z=0圍成的錐體，求Ω的形心坐標(biāo)．

設(shè)向量組α1=(1，2，1)T，α2=(1，3，2)T，α3=(1，a，3)T為R3的一個基，β=(1，1，1)T，在這組基下的坐標(biāo)為(b，c，1)T．23、求a，b，c；24、證明α2，α3，β為R3的一個基．并求α2，α3，β到α1，α2，α3的過渡矩陣．已知矩陣25、求x，y；26、求可逆矩陣P，使得P-1AP=B．設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，Y的概率分布為P{Y=-1}=p，P{X=1}=1-p，(0＜p＜1)，令Z=XY．27、求Z的概率密度；28、p為何值時，X與Y不相關(guān)?29、X與Z是否相互獨立?設(shè)總體X的概率密度為

其中μ是已知參數(shù)，σ＞0是未知參數(shù)，A是常數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本．30、求A；31、求σ2的最大似然估計量．

答案:

一、選擇題

1、C[解析]

因，若要x-tanx與xk是同階無窮小，則k=3，故選C．2、B[解析]

因為不存在，所以x=0是f(x)的不可導(dǎo)點；又因為f(x)連續(xù)，當(dāng)x＜0時，f'(x)=-2x＞0，當(dāng)0＜x＜e-1時，f'(x)=lnx+1＜0．所以x=0是f(x)的極值點．3、D[解析]

由單調(diào)有界收斂定理知{un}極限存在，由有界性滿足|un|≤C，則

而，因{un}收斂，故絕對收斂．4、D[解析]

由題意知，積分與路徑無關(guān)，則，故只需選擇在上半平面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足的P函數(shù)只有D選項．5、C[解析]

設(shè)λ是A的特征值，根據(jù)A2+A=2E，得λ2+λ=2，解得λ=1或-2，所以A的特征值是1或-2，故選C．因為|A|=4，所以A的三個特征值為1，-2，-2，從而二次型xTAx的規(guī)范形為，故選C．6、A[解析]

由題意知3張平面無公共交點，且交線相互平行。所以，所以排除B和D選項；又因為他們兩兩相交于一條直線，故其中任意兩個平面不平行，所以2=r(A)，，故選A．7、C[解析]

，所以故選C．8、A[解析]X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)且X與Y相互獨立，則E(X-Y)=0，D(X-Y)=D(X)+D(y)=2σ2，

所以，與μ無關(guān)，而與σ2有關(guān)，故選A.二、填空題

9、[解析]

因z=f(siny-sinx)+xy，則，

10、[解析]

因ln(y2+2)=x+lncy2+2=cex．

因y(0)=1，則c=3，則11、[解析]

12、[解析]

將曲面方程代入積分表達式有，原積分為

由∑關(guān)于xOz平面對稱，則其可化為

，其中為∑1曲面∑的右半側(cè)(y≥0)

=，其中Dxy為∑1在xOy平面的投影，

13、[解析]∵α1，α2線性無關(guān)．

∴r(A)≥2．

∵α3=-α1+2α2

∴r(A)＜3，∴r(A)=2，

∴Ax=0的基礎(chǔ)解系中有n-r(A)=3-2=1個線性無關(guān)的解向量．

∵α1-2α2+α3=0，

14、[解析]

方法1：

方法二：易知Y=F(X)～U(0，1)，

三、解答題15、解：，又y(0)=0，

故c=0，因此

16、解：

所以，曲線y=y(x)的凹區(qū)間為

凸區(qū)間為

拐點為(0，0)，

17、解：函數(shù)梯度為，則函數(shù)在點(3，4)處梯度為(6a，8b)，則可知沿方向(-3，-4)的最大方向?qū)?shù)為且時，

可知方向?qū)?shù)取最大值，則可知

解得，則可知函數(shù)表達式為z=2-x2-y2；

18、解：所求曲面面積為

19、解：要計算

首先要計算

當(dāng)k=0，2，4，6，…，

當(dāng)k=1，3，5，7，…，

20、證明：

則{an}單調(diào)遞減．

21、證明：由第一小題知，{an}單調(diào)遞減，則

由夾逼準(zhǔn)則知，

22、解：根據(jù)對稱性可知x=0，y=2．而xOy面的投影為x2+(y-2)2≤1，

因，根據(jù)圓錐的體積計算公式

根據(jù)先二后一可得

因，故形心坐標(biāo)為

23、解：β=bα1+cα2+α3，即

24、解：由于，所以r(α2，α3，β)=3，則α2，α3，β可為R3的一個基，

所以(α1，α2，α3)=(α2，α3，β)P，

25、解：A與B相似，則tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即，

26、解：A的特征值與對應(yīng)的特征向量分別為：

所以存在P1=(α1，α2，α3)，使得

B的特征值與對應(yīng)的特征向量分別為：

所以存在P2=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得

所以，即B=P2P1-1AP1P2-1=P-1AP

27、解：

FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z，Y=-1}+P{XY≤z，Y=1}

=P{X≥-z，Y=-1}+P{X≤z，Y=1}

=p[1-FX(-z)]+(1-p)FX(z)．

則

28、解：X和Z不相關(guān)，則ρ=0，即Cov(X，Z)=0，得到E(XZ)=E(X)E(Z)．

E(Y)=1-2p，E(Z)=E(XY)=E(X)·E(Y)=1-2p，

E(X)=1，E(X2)=D(X)+(EX)2=1+1=2