201X-202x學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換3.2.1兩角差的余弦函數(shù)3.2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)北師大版必修4

§2

兩角和與差的三角函數(shù)1.2.1

兩角差的余弦函數(shù)

2.2

兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)2.3.一二一、兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,簡(jiǎn)記為Cα-β.

名師點(diǎn)撥1.公式的結(jié)構(gòu)特征:公式右端是兩角α,β的余弦值之積與正弦值之積的和,即“同名相乘,加號(hào)連接〞.2.公式的適用范圍:公式適用于任意角α,β,可以是單獨(dú)一個(gè)角,也可以是幾個(gè)角的組合.3.注意公式的逆用、變形應(yīng)用是靈活使用公式的前提,如cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2+2cos(α-β)等.4.一二【做一做1】

cos(-15°)的值為(

)解析:cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°·cos45°+sin30°·sin45°答案:B【做一做2】

求值:cos79°cos19°+sin79°sin19°=

.

5.一二二、兩角和與差的正弦、余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,簡(jiǎn)記為Cα+β;

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,簡(jiǎn)記為Sα+β;

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,簡(jiǎn)記為Sα-β.

名師點(diǎn)撥1.公式的記憶技巧2.上述公式不僅要能夠正用,還要善于逆用、變形用.6.一二7.一二答案:A【做一做4】

sin69°·cos99°-cos69°·sin99°=

.

8.一二思考辨析判斷以下說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√〞,錯(cuò)誤的畫(huà)“×〞.(1)存在這樣的α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.()(2)不存在無(wú)窮多個(gè)α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.()(3)對(duì)于任意的α和β,有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()(4)不存在這樣的α和β的值,使得sin(α-β)≠sinαcosβ-cosαsinβ.()(5)存在這樣的α和β的值,使sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ.()答案:(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√9.探究一探究二探究三探究四給角化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【例1】

化簡(jiǎn)或求值:(1)sin43°cos13°-sin13°sin47°;(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α);思路分析:(1)式子中出現(xiàn)了三個(gè)角,但注意到43°與47°可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換,從而可以選擇公式求值.(2)式子中出現(xiàn)的角是“整體〞的形式,要把“α-35°〞看作角“α〞,把“25°+α〞看作角“β〞,再逆用兩角差的余弦公式.(3)直接利用兩角和與差的余弦公式展開(kāi)即可化簡(jiǎn).(4)將sin47°改寫(xiě)為sin(17°+30°),再用公式展開(kāi)化簡(jiǎn).10.探究一探究二探究三探究四解:(1)方法一:sin43°cos13°-sin13°sin47°=sin43°cos13°-sin13°cos43°=sin(43°-13°)=sin30°=.方法二:sin43°cos13°-sin13°sin47°=cos47°cos13°-sin13°sin47°=cos(47°+13°)11.探究一探究二探究三探究四反思感悟1.給角化簡(jiǎn)求值問(wèn)題,是指給出一個(gè)三角函數(shù)式,其中的角度,通過(guò)公式的運(yùn)用,對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.2.對(duì)于給角求值問(wèn)題,一般所給的角都不是特殊角,無(wú)法直接運(yùn)算,這時(shí)通常是觀察非特殊角與特殊角間的關(guān)系,通過(guò)合理地運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式,將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角,或使含有非特殊角的式子出現(xiàn)“正負(fù)抵消〞或“分子分母約分〞的情況,從而消除非特殊角,進(jìn)而求得式子的值.12.探究一探究二探究三探究四變式訓(xùn)練1化簡(jiǎn)以下各式:13.探究一探究二探究三探究四答案:(1)B

(2)-114.探究一探究二探究三探究四給值求值問(wèn)題

(2)假設(shè)將cos(α+β)展開(kāi),利用平方關(guān)系求cosβ,那么運(yùn)算量大,而利用角的變換β=(α+β)-α,兩邊取余弦即可.15.探究一探究二探究三探究四16.探究一探究二探究三探究四17.探究一探究二探究三探究四反思感悟1.給值求值型問(wèn)題,一般思路是:先看公式中的量,哪些是的,哪些是待求的,再利用條件結(jié)合同角三角函數(shù)的根本關(guān)系求出待求值,注意根據(jù)角的終邊所在的象限確定符號(hào).2.對(duì)于例2(2)的解法顯然要比將cos(α+β)展開(kāi)再結(jié)合平方關(guān)系解方程組的方法簡(jiǎn)單得多,所以在給值求值問(wèn)題中,認(rèn)真分析角與未知角的關(guān)系,將未知角用角巧妙地表示是至關(guān)重要的.18.探究一探究二探究三探究四19.探究一探究二探究三探究四20.探究一探究二探究三探究四21.探究一探究二探究三探究四給值求角問(wèn)題

思路分析:因?yàn)棣?β均為銳角,所以α+β∈(0,π),而余弦函數(shù)在(0,π)上是減少的,因此先求α+β的余弦值,進(jìn)而求出α+β的值.22.探究一探究二探究三探究四23.探究一探究二探究三探究四反思感悟給值求角問(wèn)題的步驟給值求角問(wèn)題,步驟是:(1)先求該角的某一三角函數(shù)值;(2)確定該角的范圍;(3)依據(jù)角的范圍寫(xiě)出所求的角.在求該角的某一三角函24.探究一探究二探究三探究四25.探究一探究二探究三探究四輔助角公式的應(yīng)用

(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間[-π,0]上的最小值.思路分析:利用輔助角公式將f(x)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù),再研究函數(shù)的周期和最值.26.探究一探究二探究三探究四27.探究一探究二探究三探究四反思感悟輔助角公式的應(yīng)用

2.研究三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí),通常要將函數(shù)解析式化為Asin(ωx+φ)的形式,如果不具備這種形式,通常就需要運(yùn)用輔助角公式,將其轉(zhuǎn)化為這一形式,再研究相應(yīng)的性質(zhì).28.探究一探究二探究三探究四29.探究一探究二探究三探究四答案:(1)B

(2)B30.1234561.cos45°cos15°+sin15°sin45°的值為(

)答案:B31.1234562.在△ABC中,假設(shè)sinA·sinB<cosA·cosB,那么△ABC一定為()A.等邊三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形解析:由得cosA·cosB-sinA·sinB>0,即cos(A+B)>0,∴A+B為銳角,那么C為鈍角.答案:D32.123456答案:A33.12345634.1234565.計(jì)算或化簡(jiǎn)以下各式:(1)cos15°cos105°-cos15°sin15°;(2)sin(α-30°)+sin(α+30°);(3)sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα.解:(1)原式=-cos15°cos75°-sin75°sin15°=-(cos75°cos15°+sin75°sin15°)(2)原式=sinαcos30°-cosαsin30°+sinαcos30°+cosαsin30°=2sinαcos30