專題07三角形外接圓與外心-備戰(zhàn)2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）（解析版）

專題07三角形外接圓與外心一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?泗陽縣期末）下列說法正確的是（）A．一個三角形只有一個外接圓 B．三點確定一個圓 C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等【分析】根據(jù)三角形的外接圓、等弧的定義、三角形外心的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、任意三角形都有且只有一個外接圓，正確，本選項符合題意；B、不共線的三點確定一個圓，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，本選項不符合題意；D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，本選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了三角形的外接圓、等弧的定義，熟練掌握圓的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心．【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點O′即為所求．∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，∴EF與MN的交點O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，1）．故選：D．【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2020秋?泗陽縣期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OA、OB，若∠ABO＝35°，則∠C的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．55° D．45°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠O的度數(shù)，再進一步根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝35°，∴∠AOB＝180°﹣35°×2＝110°，∴∠C=12∠AOB＝故選：C．【點評】此題綜合運用了三角形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理．一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．4．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）A．32 B．3 C．23 D【分析】首先連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長，由三角形面積公式可得出答案．【解答】解：連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D，∴BC＝2BD，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴∠BOC=13×360∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=180°-∠BOC∵⊙O的半徑為2，∴OB＝2，∴BD＝OB?cos∠OBD＝2×cos30°＝2×32=3，OD=∴BC＝23．∴等邊△ABC的面積為3S△BCO＝3×12BC?OD＝3×12×故選：D．【點評】本題考查了三角形的外接圓，等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）5．（2021秋?無錫期末）一個直角三角形的斜邊長25cm，兩條直角邊長的和是6cm，則這個直角三角形外接圓的半徑為5cm，直角三角形的面積是4cm2【分析】由直角三角形的外接圓的半徑是其斜邊的一半可求出外接圓的半徑，求出兩條直角邊的乘積可求出直角三角形的面積．【解答】解：∵直角三角形的斜邊長25cm∴這個直角三角形外接圓的半徑為12×2∵兩條直角邊長的和是6cm，∴兩條直角邊的乘積為36-202=∴直角三角形的面積是4cm2．故答案為：5，4．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形的性質(zhì)，注意：直角三角形的外接圓的半徑是其斜邊的一半．6．（2020秋?泰興市期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，且AE＝4，若CD＝1，AC＝3，則AB的長為823【分析】利用勾股定理求出AD，證明△ABE∽△ADC，推出ABAD【解答】解：連接BE，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴AD=AC2∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠E＝∠C，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD∴AB2∴AB=8故答案為：82【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（2021秋?漣水縣期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°，則∠COD＝40°．【分析】如圖，作輔助線；首先證明∠COD=12∠BOC；其次證明∠A=12∠BOC，得到∠【解答】解：如圖，連接OB，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD=12∠∵∠A＝40°，且∠A=12∠∴∠COD＝40°，故答案為：40°．【點評】該題主要考查了垂徑定理、圓周角定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，構(gòu)造圓心角；解題的關(guān)鍵是靈活運用垂徑定理、圓周角定理等幾何知識點來分析、解答．8．（2021秋?沭陽縣校級期末）如圖，線段AB＝2，點C為平面上一動點，且∠ACB＝90°，將線段AC的中點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BQ，則線段BQ的最大值為1+17【分析】證明△ADC∽△AEQ，求出QE=12，在Rt△ABE中求出BE【解答】解：如圖，取AB的中點D，連接CD，過點A作AE⊥AB，使AE=12AD=12，連接∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD=1∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，∴∠QAE＝∠CAD，∵AQAC=1∴△ADC∽△AEQ，∴QECD∴QE=1∵∠EAB＝90°，∴EB=AE當(dāng)點Q、E、B三點共線時，BQ最大為12故答案為：1+【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．三．解答題（共4小題）9．（2021春?射陽縣校級期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直徑．【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OB，OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC＝4，∴⊙O的直徑＝8．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?無錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個正三角形的周長和面積．【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面積＝3S△OBC，即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，∴OD=12OB=∴BD=OB∴BC＝2BD=3r即正三角形ABC邊長為3r．∴正三角形ABC周長為33∴△ABC的面積＝3S△OBC＝3×12×BC×OD＝3×12∴正三角形ABC面積為33【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握正三角形和圓的關(guān)系，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．11．（2020秋?海陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，點D在BC上，AD的延長線交⊙O于點E，連接CE．（1）求證：∠ADC＝∠ACE；（2）若⊙O的半徑為23，AB的度數(shù)為90°，DE＝2，求AD的長．【分析】（1）先證明△ACD∽△AEC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADC＝∠ACE；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴AB=∴∠AEC＝∠ACB，∵∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AEC，∴∠ADC＝∠ACE；（2）解：∵AB=AC，AB的度數(shù)為∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°，∴AC=22BC＝2∵△ACD∽△AEC，∴ACAE∴26整理得，AD2+2AD﹣24＝0，解得，AD1＝4，AD2＝﹣6（舍去），∴AD的長為4．【點評】本題考查的是圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2019秋?丹陽市期末）尺規(guī)作圖：已知△ABC，如圖．（1）求作：△ABC的外接圓⊙O；（2）若AC＝4，∠B＝30°，則△ABC的外接圓⊙O的半徑為4．【分析】（1）確定三角形的外接圓的圓心，根據(jù)其是三角形邊的垂直平分線的交點進行確定即可；（2）連接OA，OC，先證明△AOC是等邊三角形，從而得到圓的半徑．【解答】解：（1）作法如下：①作線段AB的垂直平分線，②作線段BC的垂直平分線，③以兩條垂直平分線的交點O為圓心，OA長為半徑畫圓，則圓O即為所求作的圓；（2）連接OA，OC，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∵AC＝4，∴OA＝OC＝4，即圓的半徑是4，故答案為4．【點評】本題主要考查了復(fù)雜作圖以及三角形的外接圓與外心、圓周角與圓心角的關(guān)系、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握三角形的外接圓的作法，得出圓心位置是解題關(guān)鍵．一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?贛榆區(qū)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，內(nèi)切圓半徑為1，則三角形的周長為（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】作出圖形，設(shè)內(nèi)切圓⊙O與△ABC三邊的切點分別為D、E、F，連接OE、OF可得四邊形OECF是正方形，根據(jù)正方形的四條邊都相等求出CE、CF，根據(jù)切線長定理可得AD＝AF，BD＝BE，從而得到AF+BE＝AB，再根據(jù)三角形的周長的定義解答即可．【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓⊙O與△ABC三邊的切點分別為D、E、F，連接OE、OF，∵∠C＝90°，∴四邊形OECF是正方形，∴CE＝CF＝1，由切線長定理得，AD＝AF，BD＝BE，∴AF+BE＝AD+BD＝AB＝5，∴三角形的周長＝5+5+1+1＝12．故選：A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，作輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵，難點在于將三角形的三邊分成若干條小的線段，作出圖形更形象直觀．2．（2020秋?鼓樓區(qū)期末）如圖所示，在4×4的網(wǎng)格中，A，B，C，D，O均在格點上，則點O是（）A．△ACD的外心 B．△ACD的內(nèi)心 C．△ABC的內(nèi)心 D．△ABC的外心【分析】根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理得出OA＝OD＝OC，進而判斷即可．【解答】解：由勾股定理可知：OA＝OD＝OC=1所以點O是△ACD的外心，故選：A．【點評】此題考查三角形的外接圓與外心問題，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出OA＝OD＝OC．3．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E、F分別是AD、BC的中點，點P在線段EF上，△PAB內(nèi)切圓半徑的最大值是（）A．1 B．65 C．54 D【分析】由三角形APB的面積為12，可知AP+BP最小時，r有最大值，連接CA與EF交于點P'，求出AC＝10，由三角形面積公式可得出答案．【解答】解：∵點E、F分別是AD、BC的中點，四邊形ABCD是矩形，∴EF∥AB，∵P在EF上，AB＝8，BC＝6，∴S△PAB=12×8×3設(shè)△PAB內(nèi)切圓半徑是r，∵S△PAB=12（AP+PB+AB）?r＝∴AP+BP最小時，r有最大值，如圖，F(xiàn)是BC的中點，所以點B關(guān)于EF的對稱點是C點，連接CA與EF交于點P'，∵AP+BP＝AP+CP≥CA，∴此時CA即為AP+BP最小值，∵AB＝8，AD＝6，∴AC=62∴AP+BP最小值為10，∴PA＝PB＝5，∴12×5×r+解得r=4故選：D．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離；能夠?qū)P+BP最小值轉(zhuǎn)化為CA的長是解題的關(guān)鍵．4．（2019秋?海陵區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．三角形的外心一定在三角形的外部 B．三角形的內(nèi)心到三個頂點的距離相等 C．外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形 D．直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為125°【分析】利用三角形內(nèi)心以及三角形外心的性質(zhì)判斷得出即可．【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，錯誤；B、三角形的內(nèi)心到三個邊的距離相等，錯誤；C、外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形，正確；D、直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為135°，錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)外心的區(qū)別，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）5．（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖所示，點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC＝76°，則∠BOC的度數(shù)為128°．【分析】由點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，可得∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，又由∠BAC＝76°，可求得∠【解答】解：∵點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，∴BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∵∠BAC＝76°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝104°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12故答案為：128°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．6．（2020秋?濱湖區(qū)期末）設(shè)兩直角邊分別為3、4的直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑長分別為R和r，則R﹣r＝1.5．【分析】利用三角形的外心與內(nèi)心的性質(zhì)即可進行計算．【解答】解：因為直角三角形的外接圓半徑等于斜邊長的一半，所以R=1232如圖，若Rt△ABC的邊AC＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理，得AB=AC其內(nèi)切圓⊙O分別切AB、BC、AC于D、E、F．設(shè)OE＝OF＝OD＝r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，即12AC?BC=12AB?OD+12BC?OE12×3×4=12×5×r+12×6=12r（5+4+6＝6r，∴r＝1，則R﹣r＝2.5﹣1＝1.5．故答案為：1.5．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心關(guān)系，牢記這些定義和計算方法是解答本題的關(guān)鍵．7．（2019秋?鼓樓區(qū)期末）已知三點A（0，0），B（5，12），C（14，0），則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為（6，4）．【分析】作BQ⊥OC，由題意可得BQ＝12，根據(jù)勾股定理分別求出OB的長，利用面積法可得△ABC內(nèi)切圓半徑，設(shè)AD＝AE＝x，則CD＝CF＝14﹣x，BE＝BF＝13﹣x，由BC＝BF+CF列方程，解之求出x的值，從而得出點P的坐標(biāo)，即可得出答案．【解答】解：如圖，過點B作BQ⊥OA于點Q，連接PA，PB，PC，則OQ＝5，BQ＝12，∴OB=OQ2+BQ2=52+122∴BC=CQ設(shè)⊙P的半徑為r，過點P作PD⊥AC于D，PF⊥BC于F，PE⊥OB于E，S△ABC=則r=14×設(shè)AD＝AE＝x，則CD＝CF＝14﹣x，BE＝BF＝13﹣x，∵BC＝BF+CF，∴13﹣x+14﹣x＝15，解得：x＝6，∴點P的坐標(biāo)為（6，4）．故答案為：（6，4）．【點評】本題主要考查勾股定理、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)及切線長定理，根據(jù)面積法及切線長定理求出點P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，點I是△ABC的內(nèi)心，點O是△ABC的外心，則OI＝14.3．【分析】設(shè)BC邊的中點為D，連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，得到內(nèi)心I和外心O都在直線AD上，根據(jù)勾股定理得到AD＝5，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則IO＝DI+OD，根據(jù)勾股定理列方程得到R＝16.9，求得OD＝11.9，根據(jù)三角形的面積公式得到r＝2.4，于是得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)BC邊的中點為D，連接AD，∵AB＝AC＝13，∴AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，∵點O為△ABC的外心，點I為△ABC的內(nèi)心，∴內(nèi)心I和外心O都在直線AD上，∵AB＝AC＝13，BC＝24，∴BD＝CD＝12，∴AD=AB設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則IO＝DI+OD，連接OB，在Rt△ODB中，OD＝R﹣5，OB＝R，DB＝12，由勾股定理得（R﹣5）2+122＝R2，∴R＝16.9，∴OD＝AO﹣AD＝16.9﹣5＝11.9，∵S△ABC=12BC?AD=12（AB+BC+∴r=BC?ADAB∴r＝DI＝2.4，∴IO＝DI+OD＝2.4+11.9＝14.3．故答案為：14.3．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）9．（2018秋?武進區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（3，0）為圓心，5為半徑作⊙A，與y軸的正半軸交于點B．（1）點B的坐標(biāo)為（0，4）；（2）△AOB的內(nèi)切圓半徑為1個單位長度；（3）將⊙A在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平移，使其與x軸、y軸都相切，記平移后的圓的圓心為A1，則AA1為29或89個單位長度．【分析】（1）連接AB，利用勾股定理計算出OB即可得到B點坐標(biāo)；（2）利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑=a+b-c2（（3）根據(jù)切線的性質(zhì)可判定A1的坐標(biāo)為（5，5）或（﹣5，5）或（﹣5，﹣5）或（5，﹣5），然后利用兩點間的距離公式計算AA1的長即可．【解答】解：（1）連接AB，如圖，在Rt△OAB中，OB=AB∴B點坐標(biāo)為（0，4）；（2）△AOB的內(nèi)切圓半徑=3+（3）∵⊙A1與x軸、y軸都相切，而⊙A1的半徑為5，∴A1的坐標(biāo)為（5，5）或（﹣5，5）或（﹣5，﹣5）或（5，﹣5），若A1的坐標(biāo)為（5，5），則AA1=(若A1的坐標(biāo)為（﹣5，5），則AA1=(-若A1的坐標(biāo)為（﹣5，﹣5），則AA1=(-若A1的坐標(biāo)為（5，﹣5），則AA1=(綜上所述，AA1為29或89個單位長度．故答案為（0，4）；1；為29或89．【點評】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．也考查了切線的性質(zhì)．10．（2010秋?灌云縣期末）△ABC外切于⊙O，切點分別為點D、E、F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半徑為3．求：（1）求BF+CE的值；（2）求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到BF＝BD，CE＝CD，代入求出即可；（2）根據(jù)切線長定理得到AE＝AF，求出∠OAE＝30°，根據(jù)含30度得直角三角形和勾股定理求出OA、AE，即可求出答案．【解答】解：（1）∵△ABC外切于⊙O，切點分別為點D、E、F，∴BF＝BD，CE＝CD，∴BF+CE＝BD+CD＝BC＝7，答：BF+CE的值是7．（2）連接OE、OF、OA，∵△ABC外切于⊙O，切點分別為點D、E、F，∴∠OEA＝90°，∠OAE=12∠BAC＝∴OA＝2OE＝23，由勾股定理得：AE＝AF=OA2∴△ABC的周長是AB+BC+AC＝AF+AE+CE+BF+BC＝7+7+3+3＝20，答：△ABC的周長是20．【點評】本題主要考查對勾股定理，含30度角的直角三角形，切線長定理，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．11．（2012秋?徐州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5cm，AC﹣AB＝1cm．（1）求AB、AC的長；（2）求△ABC內(nèi)切圓的半徑．【分析】（1）設(shè)AB＝xcm，則AC＝（x+1）cm，根據(jù)勾股定理得出方程（x+1）2﹣x2＝52，求出x即可；（2）設(shè)內(nèi)切圓的半徑為y，根據(jù)三角形面積公式得出S△ABC=12×5×12=1