研一上復(fù)習(xí)11數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法方差分析

第6章方差分析第6.1節(jié)方差分析的基本思想第6.2節(jié)單因素方差分析第6.3節(jié)雙因素方差分析返回在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)和經(jīng)營管理中，經(jīng)常要分析各種因素對研究對象某些特征值的影響.方差分析(analysisofvariance)就是采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以鑒別各種因素對研究對象的某些特征值影響大小的一種有效方法.研究對象的特征值，即所考察的試驗(yàn)(其涵義包括調(diào)查，收集等)結(jié)果（如產(chǎn)品質(zhì)量、數(shù)量、銷量、成本等）稱為試驗(yàn)指標(biāo)，簡稱指標(biāo)，常用x表示.在試驗(yàn)中對所關(guān)心的“指標(biāo)”有影響的、要加以考察而改變狀態(tài)的原因稱為因素,用A，B，C等大寫英文字母表示.第6.1節(jié)方差分析的基本思想

因素在試驗(yàn)中所取的各種不同狀態(tài)稱為因素的水平.因素A的r個水平常用A1，A2，…，Ar表示，其中r稱為因素A的水平數(shù).若在試驗(yàn)中考慮了因素的全部水平，則該因素稱為固定因素;若在試驗(yàn)中僅隨機(jī)選擇了因素的部分水平，則該因素稱為隨機(jī)因素.若只考察一個因素對指標(biāo)的影響，這種試驗(yàn)稱為單因素試驗(yàn)，相應(yīng)的方差分析就稱為單因素方差分析;若一個試驗(yàn)中同時考察兩個因素，則相應(yīng)的試驗(yàn)稱為雙因素試驗(yàn)，這時所作的方差分析稱為雙因素方差分析，在多因素試驗(yàn)中要考察的因素多于兩個，相應(yīng)的方差分析稱為多因素方差分析.例6.1.1

某公司為了研究三種內(nèi)容的廣告宣傳對某種無季節(jié)性的大型機(jī)械銷售量的影響進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì).經(jīng)廣告廣泛宣傳后，按寄回的廣告上的訂購數(shù)計(jì)算，一年四個季度的銷售量(單位:臺)為:廣告類型 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度A1 163 176 170 185 A2 184 198 179 190 A3 206 191 218 224 A1是強(qiáng)調(diào)運(yùn)輸方便性的廣告，A2是強(qiáng)調(diào)節(jié)省燃料的經(jīng)濟(jì)性的廣告，A3是強(qiáng)調(diào)噪音低的優(yōu)良性的廣告.試判斷:新聞廣告的類型對該種機(jī)械的銷售量是否有顯著影響?若影響顯著，哪一種廣告內(nèi)容為好?新聞廣告是所要檢驗(yàn)的因素，三種不同的內(nèi)容是三個水平，這是一個單因素三水平的試驗(yàn).試驗(yàn)過程中各種偶然性(隨機(jī)性)因素的干擾所致差異，稱為試驗(yàn)誤差.如果差異單純是由誤差引起的，那么我們認(rèn)為廣告的不同類型對銷售量沒有顯著影響，則可簡稱因素(新聞廣告)不顯著，如果不同廣告下銷售量的不同，除了誤差影響外，主要是由于廣告類型(水平)不同所造成的，那么我們就認(rèn)為因素的不同水平對銷售量有顯著影響，簡稱因素顯著.方差分析就是通過對試驗(yàn)結(jié)果的分析去判斷因素本身及各因素間交互作用對指標(biāo)是否影響顯著的一種統(tǒng)計(jì)方法.單因素方差分析(singlefactoranalysisofvariance)是要判斷因素各水平對指標(biāo)是否有顯著影響，歸結(jié)為判斷不同總體是否有相同分布的問題.由于實(shí)際中常遇到的是具有正態(tài)分布的總體，同時，在進(jìn)行方差分析時，除了所關(guān)心的因素外，其他條件總是盡可能使其保持一致，這樣就可以認(rèn)為每個總體的方差是相同的，因而，判斷幾個總體是否具有相同分布的問題就簡化為檢驗(yàn)幾個具有等方差的正態(tài)總體均值是否相等的問題.第6.2節(jié)單因素方差分析考慮的因素記為A，假定它有r個水平，并對水平Ai作了ni次觀察，第i水平的第j次觀察為，這樣可得觀察資料設(shè)是來自總體的簡單隨機(jī)樣本,檢驗(yàn)其中1.數(shù)學(xué)模型

記則等價(jià)于記總觀察次數(shù)，組平均值，總平均值，則有平方和分解式:2.方差分析Q稱為總離差平方和，簡稱總平方和，它反映全部數(shù)據(jù)之間的差異；Q1稱為誤差平方和或組內(nèi)平方和，反映了隨機(jī)誤差的影響；Q2稱為組間平方和或因素A的平方和，反映了各總體的樣本平均值之間的差異，在一定程度上反映了間的差異程度，因而通過Q2與Q1的相對大小可以反映H0是否成立.若Q2顯著地大于Q1，說明間的差異顯著地大于隨機(jī)誤差，那么H0可能不成立.取也就是說有的把握認(rèn)為因素對指標(biāo)有顯著影響，即間的差異是顯著的.給定顯著性水平時,拒絕H0.通常情況下要列出方差分析表(analysisofvariancetable):采用EXCEL軟件可得到分析結(jié)果.例6.1.1

某公司為了研究三種內(nèi)容的廣告宣傳對某種無季節(jié)性的大型機(jī)械銷售量的影響進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì).經(jīng)廣告廣泛宣傳后，按寄回的廣告上的訂購數(shù)計(jì)算，一年四個季度的銷售量(單位:臺)為:廣告類型 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度A1 163 176 170 185 A2 184 198 179 190 A3 206 191 218 224 A1是強(qiáng)調(diào)運(yùn)輸方便性的廣告，A2是強(qiáng)調(diào)節(jié)省燃料的經(jīng)濟(jì)性的廣告，A3是強(qiáng)調(diào)噪音低的優(yōu)良性的廣告.試判斷:新聞廣告的類型對該種機(jī)械的銷售量是否有顯著影響?若影響顯著，哪一種廣告內(nèi)容為好?所以拒絕H0，即認(rèn)為廣告內(nèi)容不同對銷售量的影響是顯著的.分析結(jié)果如下:第6.3節(jié)雙因素方差分析雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為1.無交互作用的雙因素方差分析(doublefactoranalysisofvariance)因素因素A的第i種效應(yīng)和因素B的第j種效應(yīng)分別記作，試驗(yàn)誤差記作，那么其中假定(1)數(shù)學(xué)模型判斷因素A是否顯著，等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)判斷因素B是否顯著等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)將總離差平方和Q進(jìn)行分解:選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:（2）方差分析列出如下方差分析表:利用EXCEL軟件來實(shí)現(xiàn)計(jì)算問題.例6.3.1

為提高某種產(chǎn)品的合格率，考察原料用量和來源地對其是否有影響.原料來源地有三個:甲、乙、丙.原料用量有三種:現(xiàn)用量、增加5%、增加8%.每個水平組合各做一次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下:試分析原料用量及來源地對產(chǎn)品合格率的影響是否顯著.解:設(shè)原料來源地為因素A，三個地區(qū)為因素A的三個水平，第i個水平對合格率的特殊效應(yīng)為;原料用量為因素B，三種用料量為因素B的三個水平，第j個水平對合格率的特殊效應(yīng)為，原假設(shè)為由EXCEL軟件可得如下成果：最優(yōu)條件為A2B2，即采用乙地原料并在原有用料量上增加5%，這一方案為最佳.例6.3.2

抗?fàn)坷瓘?qiáng)度是硬橡膠的一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，現(xiàn)試驗(yàn)考察下列兩個因素對該指標(biāo)的影響.A（硫化時間）：A1（40秒），A2（60秒）.B（催化劑種類）：B1（甲