邏輯學(xué)判定三段論有效性

三段論（論證形式）有效性判定

引入三段論的背景2.什么是三段論3.五規(guī)則法判定三段論有效性4.文恩圖法判定三段論有效性5.課堂練習(xí)2021/5/912021/5/921.引入三段論的背景 針對(duì)以原子命題（符號(hào)）為最小組成單位的論證形式，我們學(xué)習(xí)了真值表方法、歸謬賦值法和命題自然演繹法，這些方法都是值得信賴的。然而，這些方法卻不是“全能的”。針對(duì)另外一些論證，用這些方法，我們無(wú)法判定其有效性。請(qǐng)看：2021/5/93

所有中國(guó)人都希望中國(guó)強(qiáng)大 所有華中大學(xué)生是中國(guó)人 所以，所有華中大學(xué)生希望中國(guó)強(qiáng)大 不難看出，這個(gè)論證是有效的。若前提為真，則結(jié)論必真。但是，若用前面的翻譯方法，該論證只能翻譯為：2021/5/94pq所以，r根據(jù)真值表或歸謬賦值法，不難判定該論證形式是無(wú)效的。此時(shí)，我們需找出該論證更精細(xì)的結(jié)構(gòu)。前面學(xué)習(xí)的關(guān)于性質(zhì)命題的知識(shí)，給我們提供了這樣的資源。邏輯學(xué)家將上述論證翻譯為：2021/5/95所有M是P所有S是M所以，所有S是P具有類似這種形式的論證被稱作三段論。我們將學(xué)習(xí)如何判定三段論的有效性。有了這些知識(shí)之后，我們會(huì)知道，上面論證形式是有效的。具有這種形式的所有論證都是有效的。2021/5/962.什么是三段論 （1）所有中國(guó)人都希望中國(guó)強(qiáng)大 （2）所有華中大學(xué)生是中國(guó)人 所以，（3）所有華中大學(xué)生希望中國(guó)強(qiáng)大三段論論證是以包含一個(gè)共同項(xiàng)的兩個(gè)性質(zhì)命題為前提，以一個(gè)新的性質(zhì)命題為結(jié)論的論證。三段論論證簡(jiǎn)稱為三段論。任何一個(gè)三段論都由三個(gè)性質(zhì)命題組成，其中兩個(gè)是前提，一個(gè)是結(jié)論。任何一個(gè)三段論都有而且僅有三個(gè)詞項(xiàng)，每個(gè)詞項(xiàng)在三個(gè)命題中重復(fù)出現(xiàn)一次。2021/5/97 （1）所有中國(guó)人都希望中國(guó)強(qiáng)大 （2）所有華中大學(xué)生是中國(guó)人 所以，（3）所有華中大學(xué)生希望中國(guó)強(qiáng)大在結(jié)論中做主項(xiàng)的詞項(xiàng)叫【小項(xiàng)】，通常用S表示。在結(jié)論中做謂項(xiàng)的詞項(xiàng)叫【大項(xiàng)】，通常用P表示。只在兩個(gè)前提中出現(xiàn)的共同項(xiàng)叫【中項(xiàng)】，通常用M表示。中項(xiàng)在前提中起橋接作用，把小項(xiàng)和大項(xiàng)橋接起來(lái)。三段論中，包含中項(xiàng)和大項(xiàng)的命題叫大前提。包含小項(xiàng)和中項(xiàng)的命題叫小前提。包含小項(xiàng)和大項(xiàng)的命題叫結(jié)論。2021/5/98我們將學(xué)習(xí)如何判斷三段論（論證形式）的有效性。主要有兩種方法：五規(guī)則法和文恩圖法。五規(guī)則法牽涉步驟較多，相比較而言，文恩圖法相對(duì)更快捷，也更具操作性（當(dāng)然，值得一提的是，許多時(shí)候，用五規(guī)則法判斷一個(gè)三段論（論證形式）無(wú)效卻是非常迅速的）。我們將先介紹五規(guī)則法，然后集中介紹文恩圖法。2021/5/993.五規(guī)則法判定三段論有效性 一個(gè)三段論是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，它遵守下面五條規(guī)則（該結(jié)果證明書(shū)上沒(méi)有）： 規(guī)則一：中項(xiàng)在前提中至少周延一次 規(guī)則二：前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中也不得周延。 規(guī)則三：兩個(gè)否定前提推不出結(jié)論。 規(guī)則四：兩個(gè)前提中有一個(gè)是否定的，則結(jié)論是否定的。 規(guī)則五：如果結(jié)論是否定的，則必有一個(gè)前提是否定的。2021/5/910√ 規(guī)則一：中項(xiàng)在前提中至少周延一次√ 規(guī)則二：前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中也不得周延√

規(guī)則三：兩個(gè)否定前提推不出結(jié)論√ 規(guī)則四：兩個(gè)前提中有一個(gè)是否定的，則結(jié)論是否定的√ 規(guī)則五：如果結(jié)論是否定的，則必有一個(gè)前提是否定的√MAPSAM所以，SAP（1）所有中國(guó)人都希望中國(guó)強(qiáng)大 （2）所有華中大學(xué)生是中國(guó)人 所以，（3）所有華中大學(xué)生希望中國(guó)強(qiáng)大2021/5/911X 規(guī)則一：中項(xiàng)在前提中至少周延一次√ 規(guī)則二：前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中也不得周延X(jué)

規(guī)則三：兩個(gè)否定前提推不出結(jié)論√ 規(guī)則四：兩個(gè)前提中有一個(gè)是否定的，則結(jié)論是否定的√ 規(guī)則五：如果結(jié)論是否定的，則必有一個(gè)前提是否定的√MAPSOM所以，SOP（1）所有中國(guó)人都希望中國(guó)強(qiáng)大 （2）有的哈佛大學(xué)學(xué)生不是中國(guó)人 所以，（3）有的哈佛大學(xué)學(xué)生不希望中國(guó)強(qiáng)大2021/5/912√ 規(guī)則一：中項(xiàng)在前提中至少周延一次√ 規(guī)則二：前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中也不得周延√

規(guī)則三：兩個(gè)否定前提推不出結(jié)論√ 規(guī)則四：兩個(gè)前提中有一個(gè)是否定的，則結(jié)論是否定的√ 規(guī)則五：如果結(jié)論是否定的，則必有一個(gè)前提是否定的√MASMIP所以，SIP（1）所有中國(guó)人都希望中國(guó)強(qiáng)大 （2）有的中國(guó)人是軟弱的 所以，（3）有的希望中國(guó)強(qiáng)大的（人）是軟弱的2021/5/913上述五個(gè)規(guī)則，對(duì)于判定三段論的有效性來(lái)說(shuō)，既是必要的，又是充分的。也就是說(shuō)，遵守了這五條規(guī)則，三段論就是有效的。若違反了其中任何一條規(guī)則，三段論就不是有效的。這樣，我們獲得了第一種判定三段論論證形式有效與否的方法：逐個(gè)規(guī)則檢查，看看是否一個(gè)三段論形式都遵守，若遵守，則有效，若不遵守，則無(wú)效。2021/5/914 通過(guò)上面五個(gè)規(guī)則，可得出下面兩個(gè)導(dǎo)出規(guī)則：

規(guī)則六：從兩個(gè)特稱的前提不能得出結(jié)論 規(guī)則七：如果有一個(gè)前提是特稱的，則只能得出特稱的結(jié)論。

注：因?yàn)樯厦嫖鍌€(gè)規(guī)則對(duì)于判定三段論有效性而言是充分必要條件，這兩個(gè)導(dǎo)出規(guī)則并無(wú)實(shí)質(zhì)作用。實(shí)際上，兩條導(dǎo)出的規(guī)則更多用來(lái)快速方便地地判斷一個(gè)三段論論證形式的無(wú)效，值得說(shuō)明的是，不用兩個(gè)導(dǎo)出規(guī)則同樣可判定。基于此，我們不著重分析這兩個(gè)導(dǎo)出規(guī)則。2021/5/9154.文恩圖法判定三段論有效性文恩圖法是判斷三段論（論證形式）有效與否更加快捷和直觀的方法。這種方法基于前面我們對(duì)性質(zhì)命題的“意義”（即為真條件）的理解，背后的想法是，若前提的“意義”包含結(jié)論的“意義”，那么，是有效的，否則是無(wú)效的。主要思路是：準(zhǔn)確地畫(huà)出兩個(gè)前提的文恩圖，然后，觀察圖形，看看“結(jié)論的意義”（為真條件）是否已經(jīng)出現(xiàn)在圖形中。（here）2021/5/916主要步驟如下：（1）先把三段論的前提和結(jié)論表示為集合演算的公式（2）然后根據(jù)前提對(duì)應(yīng)的公式畫(huà)出文恩圖（3）觀察圖形看看是否結(jié)論對(duì)應(yīng)公式的文恩圖已經(jīng)出現(xiàn)在圖形中，若是，則有效，若不是，則無(wú)效。簡(jiǎn)言之，三個(gè)步驟：解釋（為真條件）、畫(huà)圖、判定。2021/5/917回顧：性質(zhì)命題的意義S∩Pˉ=0（所有S是P）S∩P=0（所有S不是P）S∩P≠0（有的S是P）S∩Pˉ≠0（有的S不是P）2021/5/918文恩圖法判斷三段論有效性實(shí)例例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P

2021/5/919例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P

第一步：解釋（為真條件）2021/5/920例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P

第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩Mˉ=0S∩Pˉ=02021/5/921例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩Mˉ=0S∩Pˉ=02021/5/922例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩Mˉ=0S∩Pˉ=02021/5/923例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩Mˉ=0S∩Pˉ=02021/5/924例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩Mˉ=0S∩Pˉ=02021/5/925例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩Mˉ=0S∩Pˉ=0第三步：觀察判定2021/5/926例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩Mˉ=0S∩Pˉ=0第三步：觀察判定

S和Pˉ相交的部分為橫線，即為空。S∩Pˉ=0成立。因此，該三段論形式有效。2021/5/927例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P2021/5/928例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第一步：解釋（為真條件）2021/5/929例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩Mˉ=0S∩P=02021/5/930例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：畫(huà)圖第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩Mˉ=0S∩P=02021/5/931例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩Mˉ=0S∩P=02021/5/932例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩Mˉ=0S∩P=02021/5/933例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩Mˉ=0S∩P=02021/5/934例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩Mˉ=0S∩P=0第三步：觀察判定

2021/5/935例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩Mˉ=0S∩P=0第三步：觀察判定

S和P相交的部分為橫線，即為空。S∩P=0成立。因此，該三段論形式有效。2021/5/936例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P

2021/5/937例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第一步：解釋（為真條件）

2021/5/938例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩Pˉ=0

2021/5/939例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩Pˉ=0

2021/5/940例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩Pˉ=0

2021/5/941例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩Pˉ=0

2021/5/942例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩Pˉ=0

2021/5/943例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩Pˉ=0第三步：觀察判定

2021/5/944例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩Pˉ=0第三步：觀察判定

S和Pˉ相交的部分并非都是為橫線，也就是說(shuō)，未必為空。就是說(shuō)，S∩Pˉ=0未必成立。該三段論形式無(wú)效。2021/5/945例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P2021/5/946例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第一步：解釋（為真條件）2021/5/947例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩P≠02021/5/948例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩P≠02021/5/949例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩P≠02021/5/950例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩P≠02021/5/951例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩P≠02021/5/952例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩P≠0第三步：觀察判定2021/5/953例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

PS第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0M∩Sˉ=0S∩P≠0第三步：觀察判定

S和P相交的部分并未出現(xiàn)+，即未必非空。就是說(shuō)，S∩P≠0未必成立。該三段論形式無(wú)效。2021/5/954例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P2021/5/955例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第一步：解釋（為真條件）2021/5/956例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/957例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/958例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

P

S第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/959例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

P

S第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/960例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

P+

S第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/961例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

P

+S第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩M≠0S∩P≠0第三步：觀察判定2021/5/962例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：畫(huà)圖

M

P

+S第一步：解釋（為真條件）M∩Pˉ=0S∩M≠0S∩P≠0第三步：觀察判定

S和P相交的部分出現(xiàn)+，即非空。就是說(shuō)，S∩P≠0成立。該三段論形式有效。2021/5/963例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P

2021/5/964例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第一步：解釋（為真條件）

2021/5/965例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩M≠0S∩Pˉ≠0

2021/5/966例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第二步：畫(huà)圖第一步：解釋（為真條件）M∩P=0S∩M≠0S∩Pˉ≠0

2021/5/967例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第二步：畫(huà)圖

M

P

S第一