等差數(shù)列前n項和及其性質(zhì)

等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式:形式1:形式2:復(fù)習(xí)回顧思考：將等差數(shù)列前n項和公式

看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當(dāng)d≠0時,Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令常用常考等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項的和為Sn,則有性質(zhì)2:(1)若項數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項),此時有:S偶－S奇=,n2dnd理解并識記識記性質(zhì)2:(2)若項數(shù)為奇數(shù)2n－1,則S2n-1=(2n－1)an(an為中間項),此時有:S奇－S偶=

,性質(zhì)3:為等差數(shù)列.an識記理解并識記等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用：例1、已知一個等差數(shù)列前n項和為25，前2n項的和為100，求前3n項和。練習(xí)：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用：探究已知一個等差數(shù)列的總項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項之和為77，偶數(shù)項之和為66，求中間項及總項數(shù)。解：由中間項得中間項為11又由得等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對稱軸為7n113Sn等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0例7.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.153等差數(shù)列{an}前n項和的應(yīng)用思考已知數(shù)列前n項和，（1）求證：為等差數(shù)列；（２）記數(shù)列的前項和為，求的表達(dá)式.}{na

課下思考課堂小結(jié)1.根據(jù)等差數(shù)列前n項和，求通項公式.2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求的最值.3.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)4:(1)若項數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項),此時有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)性質(zhì)4:(1)若項數(shù)為奇數(shù)2n－1,則S2n-1=(2n－1)an(an為中間項),此時有:S奇－S偶=

,兩等差數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系性質(zhì)6:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項的和分別為Sn和Tn,則性質(zhì)5:為等差數(shù)列.an作業(yè)P46A組5T,B組2T,4T

例.若一個等差數(shù)列前3項和為34，最后三項和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列共有______項。例4一個等差數(shù)列的前12項的和為354,前12項中,偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為32:27,求公差d.解：由題意知，S奇+S偶=354,S偶:S奇=32:27.列方程組解得：S奇=162，S偶=192，S偶-S奇=6d=30，所以d=5.例8.已知正整數(shù)數(shù)列中,前n項和滿足求證:為等差數(shù)列.例9.已知數(shù)列的首項a１＝１,其前n項和sn和an之間的關(guān)系滿an＝(1)求證:為等差數(shù)列；(2)求{an}的通項公式.例6.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn和Tn,且求和.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項,并說明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)(2)∵∴Sn圖象的對稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所以當(dāng)n=6時Sn有最大值.∴S