《線性代數(shù)》 課件 -孫健 第3章 線性方程組

第3章線性方程組3-1向量與向量組定義

n個有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第i個分量．注：1.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量．2.分量全為復數(shù)的向量稱為復向量．3.本書一般只討論實向量（特別說明的除外）．一、向量的概念及其運算4.n維向量可以寫成一行，也可以寫成一列，分別稱為行向量和列向量．向量一般用小寫的希臘字母

等表示，如

稱為行向量;

稱為列向量.5.分量全是零的向量稱為零向量．6.n維向量的各分量都取相反數(shù)組成的向量，稱為的負向量，記作

定義如果

n維向量

與

的對應(yīng)分量全相等，即

，那么稱向量

與

相等，記作

．

定義

(向量的加法)設(shè)

n維向量

，

則

與

的和記作

，且

利用負向量的概念可定義向量的減法，即

定義

(數(shù)與向量的乘法)設(shè)

為一個

n維向量，為任意實數(shù)，則數(shù)

與向量

的乘積稱為數(shù)乘向量，簡稱為數(shù)乘，記作

，且

向量的加法和數(shù)乘運算，統(tǒng)稱為向量的線性運算，且向量的線性運算滿足如下的運算律：

定義所有

n維實向量的集合，如果在其中規(guī)定了向量的加法和數(shù)乘運算，那么稱該向量集合為

n維向量空間，記作Rn．

例試證：如果向量

，且數(shù)

，那么向量

．證明設(shè)向量

，因為

，所以至少有一個分量不能為零，不妨設(shè)

.

由于

，所以

.因此

．

例已知向量

滿足

，其中

，

，試求向量

．解

由

，得

從而

二、向量組的概念及其線性組合定義

若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組．結(jié)論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．有限向量組定義

給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數(shù)

k1,k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)．定義

給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組

A

的線性表示．例

設(shè)那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標向量．例

設(shè)請問:向量b是否能由向量組a1,a2,a3

線性表示，如能，請寫出表達式．解

向量b是否能由a1,a2,a3

線性表示取決于是否存在一組數(shù)

使得

即下列線性方程組是否有解由于故該線性方程組有唯一解

所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示，且第3章線性方程組3-2向量組的線性相關(guān)性定義

給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．注：給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個向量：當a

是零向量時，線性相關(guān)；當a不是零向量時，線性無關(guān)．定理

向量組a1,a2,…,am線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m，即

，向量組線性無關(guān)的充分必要條件是

．r(A)<

mr(A)=m例

已知試討論向量組a1,a2,a3

的線性相關(guān)性．解可見r(a1,a2,a3

)=3，故向量組a1,a2,a3

線性無關(guān).例

已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解可見r(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；同時，r(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)．例

已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+2a2，

b2=2a2+3a3，b3=3a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解已知,

記作B=AK．設(shè)Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因為向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，所以Kx=0．又|K|=12≠0，那么Kx=0只有零解x=0，從而向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．定理

向量組a1,a2,…,am(m≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個向量可以表示成其余m－1個向量的線性組合．定理

如果向量組a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

可由向量組a1,a2,…,am

線性表示，且表示式是唯一的．定理

(1)若向量組a1,a2,…,ar線性相關(guān),則向量組a1,a2,…,ar,…,am(m>r)也線性相關(guān)．反之，若向量組a1,a2,…,am線性無關(guān)，則由其中的某些向量組成的向量組也線性無關(guān)．(3)m

個n

維向量組成的向量組，當維數(shù)n

小于向量個數(shù)m

時，一定線性相關(guān)．(2)設(shè)

即向量

是由

添加

n-r

個分量得到的，若

r維向量組a1,a2,…,am線性無關(guān)，則

n

維向量組

也線性無關(guān).反之，若

n

維向量組

線性相關(guān)，則r

維向量組a1,a2,…,am也線性相關(guān)．第3章線性方程組3-3向量組的秩定義

設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

中的每個向量都能由向量組

A

線性表示，則稱向量組

B

能由向量組

A

線性表示．

若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價．一、向量組的等價例

給定兩個向量組

A:B:證明向量組A與向量組B

等價．證明

向量組A能由向量組B線性表示：向量組B能由向量組A線性表示：所以向量組A與向量組B

等價．定理

如果向量組a1,a2,…,as可由向量組b1,b2,…,bt線性表示，并且

s>t,則向量組a1,a2,…,as

線性相關(guān)．推論

如果向量組a1,a2,…,as可由向量組b1,b2,…,bt線性表示，并且向量組a1,a2,…,as

線性無關(guān)，則

s≤t.推論

如果向量組a1,a2,…,as和向量組b1,b2,…,bt都線性無關(guān)，并且可以相互線性表示，則

s=t.二、極大無關(guān)組與向量組的秩定義

設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0是向量組A

的一個極大線性無關(guān)向量組，簡稱極大無關(guān)組．例

求下列向量組的一個極大無關(guān)組.

解

因為

線性無關(guān)，又由故

為向量組的一個極大無關(guān)組.可以驗證，也是向量組的一個極大無關(guān)組.定義

向量組A

：a1,a2,…,am中的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)r

稱為向量組A

的秩，記作r(A).

注：一個向量組a1,a2,…,am線性無關(guān)的充分必要條件是r(a1,a2,…,am)=m.如果向量組A可由向量組B線性表示，則r(A)≤r(B)

.等價的向量組有相同的秩.如果一個向量組的秩為r(r

>0)，那么向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都是它的一個極大無關(guān)組.規(guī)定零向量組成的向量組的秩為0．一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．定義

矩陣

的行向量組

a1,a2,…,am的秩稱為矩陣A的行秩;A的列向量組

b1,b2,…,bn的秩稱為矩陣A的列秩．若Dr

是矩陣A

的一個最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個極大無關(guān)組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個極大無關(guān)組．三、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系容易看出，a1,a2線性無關(guān)，故

a1,a2為的一個極大無關(guān)組．

解行階梯形矩陣有2個非零行，故r(A)=2

．例

求向量組

的秩和一個極大線性無關(guān)組.例

已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2+a3，

b2=a1+a2+2a3，b3=a1+2a2+3a3，證明b1,b2,b3也是該向量組的極大無關(guān)組．證明因為,所以向量組

a1,a2,a3

能由向量組b1,b2,b3線性表示.由題可知，向量組b1,b2,b3也可由向量組

a1,a2,a3線性表示，故向量組

a1,a2,a3

與向量組b1,b2,b3等價.因此

r(A)=r(B).由于a1,a2,a3

線性無關(guān)，所以b1,b2,b3也線性無關(guān).

例

求向量組

的一個極大線性無關(guān)組和秩，并用所求得的極大線性無關(guān)組表示其余向量.定理

矩陣的行(或者列)初等變換不改變矩陣列(或者行)向量組之間的線性關(guān)系.第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、三列．解

第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故r(A)=3

．r(A0)=3，計算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個極大無關(guān)組．于是Ax=0與Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4=0同解．即矩陣

A的列向量組與矩陣

B的列向量組有相同的線性關(guān)系.可以看出：思考：如何把a4

表示成a1,a2,a3

的線性組合？利用矩陣A

的行最簡形矩陣．把矩陣A再變成行最簡形矩陣b4=b1-2

b2+3b3.所以a4=a1-2a2+3a3.第3章線性方程組3-4線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、線性方程組解的判定定理常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.所謂一般線性方程組是指含有n個未知量m個方程的線性方程組則上述線性方程組可以寫成

．其中

稱為方程組的系數(shù)矩陣,

稱為方程組的未知量矩陣，稱為方程組的常數(shù)項矩陣．

若記

把系數(shù)矩陣與常數(shù)項矩陣放在一起構(gòu)成新的矩陣稱為方程組的增廣矩陣．記作

,即

例

求解線性方程組顯然，②－2×③－①②③①②③①①②③①②③③－4×①②③②③

÷(-9)①②③②－2×①－3×①②③③③①+②左側(cè)得到的即為方程組的解，右側(cè)為增廣矩陣的行最簡形矩陣．

①②③①

÷2①②③例

求解線性方程組解于是得到與原方程組同解的方程組為

,即為所求的唯一解.例

求解線性方程組解

令x3

做自由變量，則

方程組的通解可表示為．矩陣的最后一行是零行，對應(yīng)的方程是0=0，這是多余方程．于是得到與原方程組同解的方程組為：例

求解線性方程組解第三個方程為0=1,這是矛盾方程.故方程組無解．定理

n

元線性方程組Ax=b無解的充分必要條件是r(A)<r(A,b)；有唯一解的充分必要條件是r(A)=r(A,b)=n；有無限多解的充分必要條件是r(A)=r(A,b)<n．例

討論a,b為何值時，下列線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？當有無窮多解時，求出它的全部解．解

在方程組有無窮多解的情況下繼續(xù)化簡，直至行最簡形矩陣：

即得與原方程組同解的方程組其中x3

，x4做自由變量，令

方程組的通解可表示為．二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)齊次線性方程組

則上述線性方程組可以寫成

．

若記定義

設(shè)有齊次線性方程組Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1為該方程組的解，則稱為方程組的解向量．齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)

若x=x1，

x=x2

是齊次線性方程組Ax=0

的解， 則x=x1+x2

還是Ax=0

的解．證明

A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性質(zhì)

若x=x是齊次線性方程組Ax=0

的解，k為實數(shù)， 則x=kx

還是Ax=0的解．證明

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．結(jié)論

若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0

的解.已知齊次方程組Ax=0的幾個解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解．能否通過有限個解向量的線性組合把Ax=0的解全部表示出來？把Ax=0的全體解組成的集合記作S，若求得S

的一個最大無關(guān)組S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（不唯一）．定理

如果齊次線性方程組中系數(shù)矩陣的秩

r(A)=n

,則Ax=0只有零解；若r(A)<n,則Ax=0有非零解.基礎(chǔ)解系的概念定義

齊次線性方程組Ax=0的一組解向量：x1,x2,...,xr如果滿足①

x1，x2，...，xr線性無關(guān)；②方程組中任意一個解都可以表示x1,x2,...,xr的線性組合，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系．例

求齊次線性方程組

的通解和基礎(chǔ)解系．方法1

先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系．即令x2=c1，x4=c2，x5=c3得通解表達式即記因為方程組的任意一個解都可以表示為x1,x2

,x3的線性組合．x1,x2,x3的四個分量不成比例，所以x1,x2,x3線性無關(guān)．所以x1,x2,x3

是原方程組的基礎(chǔ)解系．方法2

先求出基礎(chǔ)解系，再寫出通解．即合起來便得到基礎(chǔ)解系令例

求齊次線性方程組

的通解和基礎(chǔ)解系．解原方程組與下列方程組同解令，得即得基礎(chǔ)解系于是原方程組的全部解為三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)其中常數(shù)項不全為零.設(shè)非齊次線性方程組則上述線性方程組可以寫成

．對于每一個非齊次線性方程組，若令它的常數(shù)項為零，則可得到一個齊次線性方程組

稱其為非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組，也稱為導出組．若記

性質(zhì)

若x=h1，

x=h2

是非齊次線性方程組Ax=b

的解，則x=h1?h2

是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0

（導出組）的解．證明

A(h1?h2)=

Ah1?Ah2

=b

?b=0．性質(zhì)

若x=h是非齊次線性方程組Ax=b

的解，x=x是導出組Ax=0

的解，則x=x+h

還是Ax=b

的解．證明

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．由上可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．設(shè)Ax=0

的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．

于是Ax=b

的通解為h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*例

求線性方程組的通解．解

原方程組與下列方程組同解而原方程組的導出組與方程組

同解.令

，得方程組的一個特解令

，得于是所求通解為第3章線性方程組3-5向量空間封閉的概念定義

所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合．例

試討論下列數(shù)集對四則運算是否封閉？整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R一、向量空間的概念定義

設(shè)V

是n

維向量的集合，如果①集合V

非空，②集合V

對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉，具體地說，就是：若a

∈

V，b

∈

V，則a+b

∈

V．（對加法封閉）若a

∈

V，l

∈

R，則l

a

∈

V．（對乘數(shù)封閉）那么就稱集合V為向量空間．向量空間的概念例

下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}

n元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}非齊次線性方程組的解集S2={x|Ax=b}解

集合Rn，V1，S1是向量空間，集合V2，S2不是向量空間．定義

齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間.例

設(shè)a,b為兩個已知的n維向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一個向量空間嗎？解

設(shè)x1,x2∈L，k∈R，因為x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一個向量空間．定義

把集合L={la+mb|l,m∈R}稱為由向量a,b所生成的向量空間．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}稱為由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空間．例

設(shè)向量組a1

,a2

,...,am和b1

,b2

,...,bs等價，記L1={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}，L2={m1b1+m2b2+…+msbs|m1,m2,...,ms∈R}，試證L1=L2．結(jié)論

等價的向量組所生成的空間相等．子空間的概念定義

如果向量空間V

的非空子集合V1對于V

中所定義的加法及乘數(shù)兩種運算是封閉的，則稱V1是V

的子空間．例3維向量的全體R3集合V1={(a,b,0)

|a,b∈R}集合V2={(0,0,0)}集合V3={(x1,x2,x3)

|x3≥0}解

V1是R3

的子空間，V2也是R3

的子空間，V3不是R3

的子空間．二、子空間的概念三、向