501定積分概念與性質(zhì)

積分學(xué)不定積分定積分第五章定積分第五章目錄上頁下頁返回結(jié)束一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)§5.1

定積分的概念及性質(zhì)第五章目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積定積分的概念及性質(zhì)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得一、定積分問題舉例解決步驟目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積一、定積分問題舉例解決步驟目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)2.變速直線運(yùn)動的路程

(1)分割:

T1

t0<t1<t2<

<tn

1<tn

T2,

Dti

ti

ti

1;(2)近似代替:

物體在時間段[ti

1,

ti]內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為DSi

v(

i)Dti(

ti

1<

i<ti

);物體在時間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為(3)求和:

(4)取極限:

記

max{Dt1,

Dt2,

,

Dtn},物體所經(jīng)過的路程為

已知物體直線運(yùn)動的速度v

v(t)是時間t的連續(xù)函數(shù),

且v(t)

0,

計(jì)算物體在時間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S.一、定積分問題舉例解決步驟目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:

特殊乘積和式的極限一、定積分問題舉例目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)定積分的定義在小區(qū)間[xi

1,

xi]上任取一點(diǎn)xi

(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

記Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在區(qū)間[a,

b]內(nèi)插入分點(diǎn):設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界.

如果當(dāng)

0時,

上述和式的極限存在,

且極限值與區(qū)間[a,

b]的分法和xi的取法無關(guān),

則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分,

記為即二、定積分定義目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)定積分各部分的名稱

————積分符號,

f(x)———被積函數(shù),

f(x)dx

——被積表達(dá)式,

x————積分變量,

a

————積分下限,

b

————積分上限,

[a,

b]———積分區(qū)間，

定積分的定義———積分和.

二、定積分定義目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)定積分的定義說明：

定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),

而與積分變量的記法無關(guān),

即二、定積分定義目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)函數(shù)的可積性

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界,

且只有有限個間斷點(diǎn),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定積分的定義二、定積分定義目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)定積分的幾何意義

當(dāng)f(x)

0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當(dāng)f(x)

0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值.

二、定積分定義目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)利用定義計(jì)算定積分

解

把區(qū)間[0,1]分成n等份,分點(diǎn)為和小區(qū)間長度為

例1

二、定積分定義目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)利用幾何意義求定積分

解

函數(shù)y

1

x在區(qū)間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.

因?yàn)橐詙=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形是一個直角三角形,

其底邊長及高均為1,

所以

例2

二、定積分定義目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)規(guī)定性質(zhì)1目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)推論1

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

g(x)

則如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

0

則性質(zhì)5

三、定積分的性質(zhì)

|f(x)|

f(x)

|f(x)|推論2

性質(zhì)6

設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

b]上的最大值及最小值

則目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

則在積分區(qū)間[a

b]上至少存在一個點(diǎn)x

使下式成立

這是因?yàn)?由性質(zhì)6性質(zhì)7(定積分中值定理)

——積分中值公式

由介值定理,至少存在一點(diǎn)x

[a,b],使兩端乘以b

a即得積分中值公式.目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限作業(yè)：3；7（2）；10（3）（4）目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分問題舉例定積分的定義定積分的性質(zhì)小結(jié)與作業(yè)練習(xí)題定積分的概念及