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上海市長寧區(qū)2023-2024學(xué)年高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題1.若,化簡:________.【正確答案】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】故2.已知扇形的弧長為,半徑為2,則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是______.【正確答案】【分析】由弧長的計(jì)算公式代入即可得出答案.【詳解】此扇形的圓心角的弧度數(shù)是.故答案為.3.在年利率為5%,且按年計(jì)復(fù)利的條件下,1萬元存款連本帶利超過5萬元需要_____年.【正確答案】33【分析】設(shè)需要年,則,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】設(shè)需要年,則,所以,故需要33年.故334.已知,,用a及b表示______.【正確答案】【分析】先把轉(zhuǎn)化為,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,所以.故?.若冪函數(shù)(m為整數(shù))的定義域?yàn)椋瑒t______.【正確答案】,,【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性可以得出,求解即可得到答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)樗?,解得,又為整?shù),所以.故,,.6.不等式的解集是______.【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出解集.【詳解】令,顯然為嚴(yán)格增函數(shù),又,故解集為.故7.用集合符號(hào)填空:______Q.【正確答案】【分析】當(dāng)時(shí),該集合為有理數(shù)集,當(dāng)時(shí),該集合包含無理數(shù),即可判斷答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),包含無理數(shù),故,故.8.設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)是奇函數(shù),則__.【正確答案】【分析】根據(jù)可求,再由時(shí)可求解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,所以.當(dāng)時(shí),.故答案為:.9.實(shí)數(shù)a,b滿足.若不等式的解為一切實(shí)數(shù)是真命題,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是______.【正確答案】【分析】先求出的值,再轉(zhuǎn)化為對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立進(jìn)行處理即可.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù),滿足,所以,得,,因?yàn)椴坏仁降慕鉃橐磺袑?shí)數(shù)為真命題,所以對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,等價(jià)于對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,所以△,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故10.已知是定義在上的函數(shù)且圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù),則不等式的解集為______.【正確答案】【分析】由題意可知的圖像關(guān)于對(duì)稱,且在上嚴(yán)格遞減,在上是嚴(yán)格遞增,所以與對(duì)稱軸距離小的函數(shù)值小,依題意列出不等式求解.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于軸對(duì)稱,所以的圖像關(guān)于對(duì)稱,又在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù),所以在上嚴(yán)格遞減,由得,所以,解得,所以原不等式的解集為.故11.設(shè)函數(shù)滿足:對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x,均有.則在區(qū)間上的最大值為______.【正確答案】【分析】原式當(dāng)中代入,可解出,,從而寫出表達(dá)式,結(jié)合基本不等式可求出最大值.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意非零實(shí)數(shù),均有,所以,解得,所以,解得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等號(hào),即在上的最大值為.故12.給定實(shí)數(shù)集合,,定義運(yùn)算.設(shè),,則中的所有元素之和為______.【正確答案】29970【詳解】由,則可知所有元素之和為.故29970.二、單選題13.設(shè),“是偶數(shù)”是“n是偶數(shù)”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)充要條件的判斷即可選出答案.【詳解】是偶數(shù)等價(jià)于n是偶數(shù),故為充要條件,故選:C.14.以下說法為真命題的個(gè)數(shù)是(
)①當(dāng)時(shí),總有,則函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù);②當(dāng)且時(shí),總有,則是的最小值;③如果在區(qū)間上的圖像是一段連續(xù)不斷的曲線,如果,則函數(shù)在上沒有零點(diǎn).A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】A【分析】②可根據(jù)任意性可判斷,①和③可根據(jù)舉例來判斷.【詳解】對(duì)于①,當(dāng)時(shí),,但不滿足在上單調(diào)遞增,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,對(duì)任意且時(shí),總有,才能得是的最小值;故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,,則滿足,但,故在上有零點(diǎn),故③錯(cuò)誤.故選:A.15.函數(shù)的圖象大致為(
)A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)選項(xiàng)驚喜排除,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由得的定義域?yàn)?,因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù),排除A,D;由題易知,圖中兩條虛線的方程為,則當(dāng)時(shí),,排除C,所以B選項(xiàng)符合.故選:B本小題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別,屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,滿足,且當(dāng)時(shí),.若對(duì)任意,都有,則m的取值范圍是A. B.C. D.【正確答案】B【分析】本題為選擇壓軸題,考查函數(shù)平移伸縮,恒成立問題,需準(zhǔn)確求出函數(shù)每一段解析式,分析出臨界點(diǎn)位置,精準(zhǔn)運(yùn)算得到解決.【詳解】時(shí),,,,即右移1個(gè)單位,圖像變?yōu)樵瓉淼?倍.如圖所示:當(dāng)時(shí),,令,整理得:,(舍),時(shí),成立,即,,故選B.易錯(cuò)警示:圖像解析式求解過程容易求反,畫錯(cuò)示意圖,畫成向左側(cè)擴(kuò)大到2倍,導(dǎo)致題目出錯(cuò),需加深對(duì)抽象函數(shù)表達(dá)式的理解,平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面練習(xí),提高抽象概括、數(shù)學(xué)建模能力.三、解答題17.已知全集為,集合,.(1)若,求,;(2)若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【正確答案】(1),(2)【分析】(1)求解集合,依據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義逐一計(jì)算即可;(2)討論和兩種情況下的范圍,取并集得出結(jié)果.【詳解】(1)集合,當(dāng)時(shí),.所以,或,.(2)因?yàn)?,?dāng)時(shí),,成立;當(dāng)時(shí),,,解得:,綜上,,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,求:(1)3x+4y的最小值;(2)求xy的最小值.【正確答案】(1)3x+4y的最小值為5.(2)xy的最小值為.【詳解】試題分析:(1)變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.(2)正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.解:(1)∵正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,∴.∴∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,f(1)=3+2=5.∴3x+4y的最小值為1.當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=時(shí)取等號(hào).∴3x+4y的最小值為5.(2)∵正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,∴5xy≥,解得:xy≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=時(shí)取等號(hào).∴xy的最小值為.基本不等式.19.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤分別為和(萬元),事先根據(jù)相關(guān)資料得出它們與投入資金(萬元)的數(shù)據(jù)分別如下表和圖所示:其中已知甲的利潤模型為,乙的利潤模型為.(為參數(shù),且).(1)請(qǐng)根據(jù)下表與圖中數(shù)據(jù),分別求出甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤與投入資金(萬元)的函數(shù)模型(2)今將萬資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于萬元.設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金(萬元),并設(shè)總利潤為(萬元),如何分配投入資金,才能使總利潤最大?并求出最大總利潤.【正確答案】(1);(2)當(dāng)甲產(chǎn)品投入萬元,乙產(chǎn)品投入萬元時(shí),總利潤最大為萬元【分析】(1)根據(jù)題意,將數(shù)據(jù)分別代入甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤與投入資金(萬元)的函數(shù)模型中,解方程組,即可求出函數(shù)表達(dá)式.(2)根據(jù)題意,設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投資,對(duì)甲種產(chǎn)品投資,代入兩個(gè)利潤公式,利用換元法求出函數(shù)的值域,然后求最大值即可.【詳解】解:(1)由甲的數(shù)據(jù)表結(jié)合模型代入兩點(diǎn)可得代入有得,即由乙的數(shù)據(jù)圖結(jié)合模型代入三個(gè)點(diǎn)可得,,可得,得,,即(2)根據(jù)題意,對(duì)乙種產(chǎn)品投資(萬元),對(duì)甲種產(chǎn)品投資(萬元),那么總利潤,由,解得,所以,令,,故,則,所以當(dāng)時(shí),即時(shí),,答:當(dāng)甲產(chǎn)品投入萬元,乙產(chǎn)品投入萬元時(shí),總利潤最大為萬元本題考查函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用,利用函數(shù)模型求出解析式,根據(jù)換元法換成二次函數(shù)求極值.20.已知函數(shù).(1)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等根,,求的值;(2)若,,判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;(3)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,關(guān)于x的方程在區(qū)間上總有3個(gè)不等根,,,若存在,求出實(shí)數(shù)a與的取值范圍;若不存在,說明理由.【正確答案】(1)(2)非奇非偶函數(shù),理由見解析(3)存在,實(shí)數(shù)的取值范圍為,的范圍為【分析】(1)化簡函數(shù),建立方程直接運(yùn)算即可(2)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷即可(3)利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,再根據(jù)根的情況列出不等式組求解【詳解】(1),因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、,所以,,所以,即,所以;(2),由得,顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故是非奇非偶函數(shù);(3)因?yàn)樵谏蠂?yán)格減,在上嚴(yán)格增,又,,,令,則當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,由(1)得兩個(gè)根之積為1,當(dāng)時(shí),方程有且僅有一個(gè)根且此根在區(qū)間內(nèi)或1,令,所以原題目等價(jià)于,對(duì)任意,關(guān)于的方程在區(qū)間上總有2個(gè)不等根,且有兩個(gè)不等根,只有一個(gè)根,則必有,則,解得,此時(shí),則其根,所以,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為,的范圍為.21.已知函數(shù)、在數(shù)集D上都有定義,對(duì)于任意的,,當(dāng)時(shí),或成立,則稱是在數(shù)集D上的限定函數(shù).(1)試判斷函數(shù)是否是函數(shù)在上的限定函數(shù);(2)設(shè)是在區(qū)間上的限定函數(shù)且在區(qū)間上的值恒負(fù),求證:函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù);(3)設(shè),試寫出函數(shù)在上的限定函數(shù),并利用(2)的結(jié)論,求在上的單調(diào)區(qū)間,并說明理由.【正確答案】(1)是,證明見解析(2)證明見解析(3)函數(shù)在上的限定函數(shù)為,的嚴(yán)格增區(qū)間是,的嚴(yán)格減區(qū)間是,理由見解析.【分析】(1)根據(jù)限制函數(shù)的定義,即可得出結(jié)論;(2)對(duì)任意的,上恒為負(fù)值,所以,,根據(jù)限制函數(shù)的定義,推出,進(jìn)而證出函數(shù)的單調(diào)性;(3)設(shè),通過化簡得,得到,然后推出,由,可得增區(qū)間,由,可得減區(qū)間.【詳解】(1)解:對(duì)任意,因?yàn)?,所以在上的限制函?shù)為.(2)證明:對(duì)任意的上恒為負(fù)值,所以,,由于或成立,所以,不妨設(shè),則,所以在上是嚴(yán)格減函數(shù);(3)解:設(shè),則,所以,即,由,解得,因而當(dāng),,嚴(yán)格減,即的嚴(yán)格增區(qū)間是.當(dāng)時(shí),,嚴(yán)格增,即的嚴(yán)格減區(qū)間是.故函數(shù)在上的限定函數(shù)為,的嚴(yán)格增區(qū)間是,的嚴(yán)格減區(qū)間是.上海市長寧區(qū)2023-2024學(xué)年高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題1.設(shè)全集,若集合,則________【正確答案】直接利用補(bǔ)集定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)槿?,若集合,所?故答案為.2.已知扇形的弧長是6,圓心角是2弧度,則該扇形的半徑是___________.【正確答案】3【分析】結(jié)合扇形弧長公式可直接求解.【詳解】由.故33.函數(shù)的最小值是_____.【正確答案】6【分析】利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意可知,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即函數(shù)的最小值是6,故6.4.化簡,得其結(jié)果為__.【正確答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式和余弦的兩角和公式化簡即可.【詳解】故5.終邊在x軸上角的集合為_________【正確答案】【分析】根據(jù)終邊在x軸上角的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)角終邊在x軸正半軸上時(shí),,當(dāng)角終邊在x軸負(fù)半軸上時(shí),,因此終邊在x軸上角的集合為:,故6.已知,則__.【正確答案】##-0.75【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】,所以,所以.故答案為.7.若函數(shù)是偶函數(shù),則該函數(shù)的定義域是_______________.【正確答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的定義域解得故函數(shù)的定義域?yàn)?為.8.已知,那么__.【正確答案】【分析】先化簡集合A,B,再利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解:因?yàn)椋?故答案為.9.在中,若,則是__________三角形.【正確答案】等腰【詳解】由題意得,即,得,∵為三角形的內(nèi)角,∴,即是等腰三角形,故答案為等腰.10.已知,,且,則的取值范圍是_____.【正確答案】【詳解】試題分析:,所以當(dāng)時(shí),取最大值1;當(dāng)時(shí),取最小值.因此的取值范圍為.【名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力,除了像本題的方法,即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求取值范圍,也可以轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系求取值范圍,即,表示線段,那么的幾何意義就是線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,這樣會(huì)更加簡單.11.若函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__.【正確答案】【分析】根據(jù)增函數(shù)的定義及所給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,解之即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù),可得,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為,故12.設(shè)命題函數(shù)的值域?yàn)椋幻}不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立,若命題和不全為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域可知是的值域的子集,根據(jù)二次函數(shù)圖象分析可得不等關(guān)系,求得命題為真時(shí),;利用換元法將轉(zhuǎn)化為,求解的最值可求得命題為真時(shí),;求出當(dāng)全為真時(shí)的范圍,取補(bǔ)集得到結(jié)果.【詳解】若命題為真,即值域?yàn)楫?dāng)時(shí),,解得:,滿足題意當(dāng)時(shí),,解得:綜上所述:若命題為真,則若命題為真,即不等式對(duì)恒成立令,則
即若命題為真,則當(dāng)命題全為真命題時(shí),命題不全為真命題
的取值范圍為:故答案為本題考查根據(jù)命題的真假性求解參數(shù)范圍,涉及到根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍、不等式恒成立問題的求解等知識(shí).二、單選題13.“”是“”的(
)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到時(shí),,解得到,從而判斷出結(jié)論.【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),,充分性成立,,解得:,其中,故必要性不成立,所以“”是“”的充分而不必要條件.故選:A14.已知點(diǎn)在第三象限,則角的終邊位置在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】B【分析】由所在的象限有,即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限,所以,由,可得角的終邊在第二、四象限,由,可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上,所以角終邊位置在第二象限,故選:B.15.設(shè),則的一個(gè)可能值是(
)A. B.1 C. D.【正確答案】A【分析】利用輔助角公式化簡,結(jié)合三角函數(shù)值域的求法確定正確答案.【詳解】因?yàn)?,所以,由于,所以,所以A選項(xiàng)符合,BCD選項(xiàng)不符合.故選:A.16.已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),,且當(dāng)時(shí),(c是常數(shù)),則不等式的解集是A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)以及奇偶性計(jì)算的值,然后根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以,所以,所以;又因?yàn)闀r(shí)是增函數(shù)且,所以時(shí)是減函數(shù)且;所以,解得:,故選D.本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式,難度一般.對(duì)于利用奇偶性、單調(diào)性解不等式的問題,除了可以直接分析外,還可以利用函數(shù)圖象分析.三、解答題17.設(shè)集合(1)求集合A、B(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍【正確答案】(1);(2)【分析】(1)直接解不等式得到集合.(2)根據(jù)得到不等式計(jì)算得到答案.【詳解】(1),(2),則滿足解得本題考查了求集合,根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18.已知冪函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的定義域、值域;(3)判斷的奇偶性.【正確答案】(1)(2)定義域?yàn)?,值域?yàn)?3)偶函數(shù)【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義運(yùn)算求解;(2)根據(jù)冪函數(shù)解析式求定義域和值域;(3)根據(jù)偶函數(shù)的定義分析證明.【詳解】(1)函數(shù)為冪函數(shù),則,解得,則,所以函數(shù);(2),令,解得故函數(shù)的定義域?yàn)?,∵,則,故函數(shù)的值域?yàn)?;?)任取,,所以函數(shù)是定義域上的偶函數(shù).19.已知,且.(1)求的值;(2)若,,求的值.【正確答案】(1);(2).【詳解】試題分析:(1)將兩邊平方可求得,根據(jù)判斷出的符號(hào),再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得的值;(2)由,,可得得,利用兩角和的正弦公式可得的值.試題解析:(1)∵,∴,.因?yàn)椋?(2)∵,,∴.又,得,.1、正弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系;2、兩角和的正弦公式.20.已知函數(shù)為常數(shù),為偶函數(shù).(1)求的值;并用定義證明在上是嚴(yán)格增函數(shù);(2)解不等式:.【正確答案】(1),證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)為偶函數(shù),由,求得,再利用單調(diào)性的定義證明其單調(diào)性;(2)根據(jù)為偶函數(shù),得到,再根據(jù)在上嚴(yán)格增,得到所求解.【詳解】(1)解:因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以,即,解得,故,則且定義域?yàn)镽,滿足題設(shè);任取,且,則,因?yàn)椋?,因?yàn)椋?,所以,所以,所以在上是?yán)格增函數(shù).(2)因?yàn)闉榕己瘮?shù),,所以不等式,即為,因?yàn)樵谏蠂?yán)格
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