2023-2024學年廣東省深圳市高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學年廣東省深圳市高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題第I卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．若復數(shù)滿足，則的虛部是（

）A．4 B． C． D．2．已知向量，且，則（

）A．-2 B． C． D．23．在中，，，，則邊AC的長為（

）A． B．3 C． D．4．如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．5．下列命題中成立的是（

）A．各個面都是三角形的多面體一定是棱錐B．有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．各個側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體6．如圖，位于A處的海面觀測站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，并在原點等待營救，在A處南偏西且相距20海里的C處有一艘救援船，則該船到救助處B的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里7．“中國天眼”射電望遠鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當，時，（

）A． B． C． D．8．在銳角三角形分別為內(nèi)角所對的邊長，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知直線l?m，平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，則必有 B．若，則必有C．若，則必有 D．若，則必有10．下列說法中錯誤的是（

）.A．若，則B．若且，則C．若為非零向量且，則D．若，則有且只有一個實數(shù)，使得11．的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則是鈍角三角形C．若，則符合條件的有兩個D．若，則為等腰三角形12．如圖，已知正方體的棱長為為正方形底面內(nèi)的一動點，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得C．若，則點在正方形底面內(nèi)的運動軌跡長度為D．若點是的中點，點是的中點，過作平面平面，則平面截正方體所得截面的面積為第II卷三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．寫出一個模為5，且在復平面內(nèi)對應的點在第三象限的復數(shù)__________.14．中，，，則此三角形的外接圓半徑是___________.15．已知某圓臺的上、下底半徑和高的比為，母線長為，則該圓臺的體積為______（）.16．在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長為1，點M滿足，則_______；若點P是正六邊形邊上的動點（包括端點），則的最大值為_______．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．已知復數(shù).(1)求；(2)若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的向量分別為，求向量對應的復數(shù).18．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)從下列①②③中選擇兩個作為條件，證明另外一個條件成立：①；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.19．已知在中，是邊的中點，且，設與交于點．記，．(1)用，表示向量，；(2)若，且，求的余弦值．20．已知各棱長均為2的直三棱柱中，為的中點.

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.21．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，且(1)證明：；(2)若，求.22．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．答案解析1．A【分析】計算，求其虛部.【詳解】因為，所以，所以的虛部是4.故選：A2．B【分析】由向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】因為，且，所以，解得；故選：B.3．C【分析】由正弦定理即可求出邊AC的長.【詳解】由題意，在中，，，，由正弦定理，，解得：，故選：C.4．C【分析】連接，則可得為異面直線與所成角，然后在中求解即可.【詳解】連接，因為在中，∥，所以為異面直線與所成角，因為在中，，所以為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為，故選：C5．B【分析】根據(jù)相關(guān)空間幾何體的定義，舉出部分反例空間幾何體即可判斷.【詳解】對A，只要將底面全等的兩個棱錐的底面重合在一起,所得多面體的每個面都是三角形,但這個多面體不是棱錐，如圖，故A錯誤；對B，若棱柱有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；對于C，如圖所示，若，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時底面不是正三角形，故C錯誤；對D，各個側(cè)面都是矩形的棱柱不一定是長方體，比如底面為三角形的直三棱柱，故D錯誤.故選：B.6．D【分析】由余弦定理可得答案.【詳解】由已知得海里，海里，，在中由余弦定理得海里.故選：D.7．B【分析】作出示意圖，根據(jù)條件先求出r，然后根據(jù)并結(jié)合勾股定理求出R，進而得到答案.【詳解】如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得.于是.故選：B.8．B【分析】對已知等式利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡可得，然后同角三角函數(shù)的關(guān)系和正余弦定理化簡可得結(jié)果.【詳解】因為，所以由余弦定理可得，即，所以故選：B9．CD【分析】由線面、面面位置關(guān)系逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，平面可能相交，所以選項A錯誤；對于B，平面可能平行或斜交，所以選項B錯誤；對于C，因為且，則必有，所以C正確；對于D，因為，則必有，所以D正確.故選：CD10．ABD【分析】根據(jù)為，即可判斷AD，由數(shù)量積的運算律，即可判斷C,由向量相等的定義即可判斷B.【詳解】A選項，當為時，與不一定平行，故A錯誤；B選項，由且，可得或，故B錯誤；C選項，由得，所以，∴，故C正確；D選項，若，時，，但是不存在，使得，故D錯誤；故選：ABD.11．AB【分析】利用正弦定理?余弦定理對各個選項逐一分析，由此確定正確選項即可.【詳解】選項，在三角形中大角對大邊，所以，由正弦定理得，所以選項正確；選項，由正弦定理得，所以，又，則C為鈍角，所以B選項正確；選項，由正弦定理可得，又，則，故此三角形有唯一解，錯誤；D選項，因為，所以，所以，即，又，且，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯誤.故選：12．ACD【分析】對于A：利用體積轉(zhuǎn)化得可求得體積為定值；對于B：作，交線段于，可證得矛盾；對C：可證平面得點軌跡為線段；對于D：可證得平面截正方體所得截面為正六邊形，求其面積即可.【詳解】對于A，由題意及圖形可知平面平行于平面，則點P到平面距離為定值.則，又為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，

作，交線段于，連接因為面面，面面，面，所以面，又面，所以，若，又，故面，又面，所以，因為為線段上一點，在直角中不可能有，故不存在相應的點P，使，故B錯誤；對于C，如圖有平面.理由如下：連接由題可得，又，則平面.因平面，則.同理可證得，又，則平面，得平面.故點軌跡為平面與底面交線，即為線段,又，故C正確；

對于D，如圖取中點為，連接.由題可得平面.因平行于，平面，則.又，則平面.又取中點為，則，有四點共面因為平面，所以平面平面.則平面即為平面.設平面分別與交于，因為面面，面，面所以，又都是中點，故是中點.同理可證是中點，所以平面截正方體所得截面為正六邊形，又正方體棱長為2，則，故截面面積為，故D正確.

故選：ACD方法點睛:利用平面的性質(zhì)確定截面形狀的依據(jù)如下:(1)平面的四個公理及推論;.(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì);(3)兩個平面平行的性質(zhì).13．（答案不唯一）【分析】根據(jù)復數(shù)的模、復數(shù)對應點所在象限確定正確結(jié)論.【詳解】設，則滿足即可.所以符合題意.故（答案不唯一）14．【分析】根據(jù)余弦定理，可得，進而可得的值，根據(jù)正弦定理，即可得答案.【詳解】由余弦定理得，因為，所以，設外接圓半徑為R，由正弦定理得，解得故15．【分析】根據(jù)圓臺的軸截面性質(zhì)，結(jié)合題意利用勾股定理，算出圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高，再由圓臺的體積公式加以計算，即可得出該圓臺的體積．【詳解】解：根據(jù)題意，設圓臺的上、下底面半徑和高分別為、、，上底面半徑為，下底面半徑為，高，可得母線長為cm，即cm，解之得，所以圓臺的上底面半徑為cm，下底面半徑為cm，高cm．由此可得圓臺的體積為cm．故．16．1##【分析】由題可得，利用向量的數(shù)量積的運算法則即得，然后利用數(shù)量積的定義和正六邊形的性質(zhì)解得最大值為.【詳解】由題可知，∴，∴，結(jié)合以及正六邊形的幾何特征可知為的中點，所以要使最大，可知當在處時，最大，此時最大，即.故；17．(1)(2)【分析】（1）利用復數(shù)的四則運算化簡即可求得；（2）由復數(shù)的坐標運算即可求得向量對應的復數(shù).【詳解】（1）.（2）由得，又，則，所以向量對應的復數(shù)為.18．(1)(2)答案見解析【分析】（1）由正弦定理邊角互化即可求解，（2）利用余弦定理以及三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理得；（2）選①②：，由（1）知：，由，又，則，所以，故.選②③：，由①知：，由，則，由，故.選①③：，，，，由（1）知：，則.19．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的基底與三角形法則即可用，表示向量，；（2）由得，代入向量數(shù)量積公式即可求得的余弦值.【詳解】（1）（2）∵三點共線，由得，，即，∴，∴，∴的余弦值為.20．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）利用等體積法求點到平面的距離即可.【詳解】（1）證明：如圖

連接，交于點，連接，因為為平行四邊形，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面平面，所以平面，（2）因為三棱柱是直三棱柱且所有棱長均為2，在中，，所以，所以為直角三角形，設到平面的距離為，因為，，解得，所以到平面的距離為.21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）在中由銳角三角函數(shù)，得，代入條件，由正弦定理角化邊得，即證；（2）由三角形等面積法，得，代入可得；將條件和同時代入余弦定理，化簡后利用輔助角公式得到，即可求解.【詳解】（1）在中，因為，所以，又因為，所以，即在中，根據(jù)正弦定理，得，故.（2）在中，，又由（1）知，，所以，在中，根據(jù)余弦定理，得，又由已知，，得，所以，則，即，因為，則，所以或，所以或，又點在邊上，且，，所以必有一個大于等于，所以.22．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應的空間直角坐標系，得到相應點的坐標，設出點，之后求得平面的法向量以及向量的坐標，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為，所以平面．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，設，設，則有，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當且僅當時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因為平面，，所以平面．在平面中，設．在平面中，過P點作，交于F，連接．因為平面平面，所以．又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當且僅當時等號成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長至G，使得，連接，，則，過G點作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當且僅當時等號成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．【整體點評】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量的夾角的余弦值的絕對值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點面距與線段長度的比值的方法，即可求出．2023-2024學年廣東省深圳市高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若集合，則（）A.或 B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，將集合分別化簡，然后結(jié)合集合的交集以及補集運算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，所以故選:B2.已知復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則復平面內(nèi)的共軛復數(shù)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】求出復數(shù)的代數(shù)形式，進而可得，則可得其在復平面內(nèi)對應的點的位置.【詳解】,,，其在復平面內(nèi)對應的點為，在第三象限.故選：C.3.圓臺上?下底面半徑分別是，高為，這個圓臺的體積是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】運用圓臺體積公式直接計算.【詳解】由圓臺體積公式知：；故選：A.4.已知平面向量，若，則（）A. B. C.2 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量共線得，則.【詳解】，，顯然，，故選：A.5.正方體中，與對角線成異面直線的棱有（）A.3條 B.4條 C.6條 D.8條【正確答案】C【分析】由異面直線的定義即可得出答案.【詳解】解：由圖可知與直線為異面直線的棱分別是、、、、、共條.故選：C6.在平行四邊形中，，．若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用平面向量的線性運算求出即可.【詳解】由題意可得，所以，，所以，故選：D7.如圖所示，在長方體中，與相交于點分別是，的中點，則長方體的各棱中與平行的有（）A.3條 B.4條 C.5條 D.6條【正確答案】B【分析】由E，F(xiàn)分別是，的中點，故，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可求解.【詳解】由于E，F(xiàn)分別是，的中點，故，因為與棱平行的棱還有3條：，，，所以共有4條.故選：B.8.在四面體中，，則四面體外接球表面積是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用割補法及勾股定理，結(jié)合長方體的體對角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，此四面體可以看成一個長方體的一部分，長方體的長、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長方體的體對角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，若邊BC的中線，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.△ABC的面積為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合平面向量加法的幾何意義、平面向量數(shù)量積的定義、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理，由，因為，所以，因此，因為，所以，因此選項A正確，選項B不正確；因為是中線，所以由，或舍去，因此，所以選項C正確；△ABC的面積為，所以選項D正確，故選：ACD10.若復數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.為實數(shù) B.為實數(shù)C.為實數(shù) D.為實數(shù)【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，設且，得到，結(jié)合復數(shù)的運算法則，逐項判定，即可求解.【詳解】因為為純虛數(shù)，設且，則，由，所以A正確；由，所以B錯誤；由為實數(shù)，所以C正確；由為實數(shù)，所以D正確.故選：ACD.11.如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體中，下列四個命題中，正確命題的選項是（）A.與平行；B.與是異面直線；C.與平面平行；D.平面與平面平行.【正確答案】CD【分析】先將正方體的平面展開圖復原為正方體，再結(jié)合圖形，對選項一一判斷即可.【詳解】對于選項A，由展開圖得到正方體的直觀圖如圖，與異面，故A錯誤；對于選項B，與平行，故B錯誤；對于選項C，因為四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確；對于選項D，顯然，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，故D正確.故選：CD.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱，為上底面上的動點，給出下列四個結(jié)論中正確結(jié)論為（）A.若，則滿足條件的點有且只有一個B.若，則點的軌跡是一段圓弧C.若∥平面，則長的最小值為2D.若∥平面，且，則平面截正四棱柱外接球所得平面圖形的面積為【正確答案】ABD【分析】若，由于與重合時，此時點唯一；，則，即點的軌跡是一段圓??；當為中點時，DP有最小值為，可判斷C；平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為，可得D.【詳解】如圖：∵正四棱柱的底面邊長為2，∴，又側(cè)棱，∴，則與重合時，此時點唯一，故A正確；∵，，則，即點的軌跡是一段圓弧，故B正確；連接，，可得平面平面，則當為中點時，DP有最小值為，故C錯誤；由C知，平面即為平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為，面積為，故D正確．故選：ABD．本題考查了立體幾何綜合，考查了學生空間想象，邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于較難題.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，則___________．【正確答案】2【分析】根據(jù)復數(shù)的除法可求得z,即可得，結(jié)合復數(shù)的乘法即可得答案.【詳解】由題意得，故，所以，故214.已知，，向量在上的投影向量的坐標是_____________．【正確答案】【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計算即可.【詳解】，，向量在上的投影向量的坐標為.故答案為.15.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得，，，，則A、B兩點的距離為___________m．【正確答案】【分析】根據(jù)已知的邊和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【詳解】因為，，所以，，所以，又因，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故16.棱長為的正方體中，是棱的中點，過、、作正方體的截面，則截面的面積是_________．【正確答案】【分析】連接，設截面交棱于點，連接、，利用面面平行的性質(zhì)分析可知點為的中點，且四邊形為等腰梯形，計算出該四邊形的各邊長及高，利用梯形的面積公式可求得截面的面積.【詳解】連接，設截面交棱于點，連接、，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，則，為中點，則為的中點，由勾股定理可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，過點、分別在平面內(nèi)作、，垂足分別為點、，由等腰梯形的性質(zhì)可得，，又因為，所以，，所以，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，因此，截面面積為.故答案為.方法點睛：作截面的常用三種方法：（1）直接法：截面的定點在幾何體的棱上；（2）平行線法；截面與幾何體的兩個平行平交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；（3）延長交線得交點：截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.在復平面內(nèi)A，B，C的對應的復數(shù)分別為．（1）求；（2）判定的形狀．【正確答案】（1），，（2）直角三角形【分析】（1）利用復數(shù)的幾何意義得到點A，B，C的坐標，再根據(jù)向量的定義與坐標表示即可解決問題；（2）觀察（1）中的向量坐標，發(fā)現(xiàn)，故可判定的形狀.【小問1詳解】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，得，，，所以，同理：，．【小問2詳解】由（1）得，故，所以為直角三角形.18.已知平面向量，滿足，，其中．（1）若，求實數(shù)m的值（2）若，若與夾角的余弦值【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系即得；（2）根據(jù)向量垂直的坐標表示可得，然后利用向量夾角的坐標公式即得.【小問1詳解】因為，，又，所以，解得；【小問2詳解】因為，所以，解得，所以，所以，，所以，，所以．19.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為的中點．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【正