趣味數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)魔方

數(shù)學(xué)魔方儲(chǔ)聰忠張家港高級(jí)中學(xué)校本課程

趣味數(shù)學(xué)3互動(dòng)練習(xí)將1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個(gè)數(shù)字填到3×3的方格中，如何填，才能使用各行各列及斜對(duì)角線的數(shù)字之和都是同一個(gè)定數(shù)？2021/5/92洛書傳說(shuō)4000多年以前，大禹治水的時(shí)候，洛水里浮出了一只神龜，龜背上的花紋隱約可見一幅圖案。圖上共有黑白圓圈45個(gè)，黑色表示陰（偶數(shù)），白色表示陽(yáng)（奇數(shù)）。由于此圖出自洛水，故被人們稱作“洛書”。后來(lái)人們把洛書又稱為“九宮圖”。公元6世紀(jì)前后有個(gè)叫甄鸞的數(shù)學(xué)家，他對(duì)洛書作了數(shù)學(xué)解釋：“九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”按照這個(gè)說(shuō)明，可知洛書實(shí)際上就是一個(gè)從1到9排成3行3列的數(shù)字表。甄鸞發(fā)現(xiàn)它的每行、每列以及斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都等于15。能滿足這種特殊條件的數(shù)字方陣，就稱為幻方。2021/5/93玉掛奇圖1980年，上海博物館考古部在清理明代古墓的出土文物時(shí)發(fā)現(xiàn)了一塊元代穆斯林所佩戴的玉掛，所謂“玉掛”，實(shí)際上與《紅樓夢(mèng)》中的賈寶玉所佩戴的“通靈寶玉”是同一類的東西。這塊玉掛上面是由16個(gè)古阿拉伯?dāng)?shù)目字組成的數(shù)學(xué)方陣。811141132712316961054152021/5/94石頭奇方傳說(shuō)，在遙遠(yuǎn)的上古時(shí)代，女媧娘娘煉石補(bǔ)天時(shí)，剩下三塊石頭，一塊變成了大鬧天宮的孫悟空，一塊變成了《紅樓夢(mèng)》里的賈寶玉，另一塊卻掉到古天竺國(guó)，就是唐僧取經(jīng)的地方，即今印度。這石頭上的文字好像中國(guó)古時(shí)的甲骨文，結(jié)果還是被專家們破譯出來(lái)，其圖形的譯文是一個(gè)“石頭奇方”。101六13415八3九2514712十一零2021/5/95石頭的神奇我們?nèi)绻麑⒂疫叺膱D4×4折成1個(gè)單位的小方格，如小圖所示（也可以先橫后豎，或先豎后橫，甚至于先折成長(zhǎng)條的形狀，再折成一個(gè)小方格形狀。折好之后，就要把它從下到上客觀地記錄下來(lái)，要注意“正”、“倒”、“上”、“下”。101六13415八3九2514712十一零102021/5/96石頭的神奇下面的便是兩種不同的折疊法的結(jié)果：1121168521549143130710正倒倒正倒正正倒倒正正倒正倒倒正7410911865141330211512上上下下上上下下下下上上下下上上正正倒倒正正倒倒正正倒倒正正倒倒正立數(shù)字與倒立數(shù)字各占8個(gè)，它們的和都是60。正立數(shù)字、倒立數(shù)字、上立數(shù)字及下立數(shù)字各占8個(gè)，它們的和都是60。2021/5/97正如著名的“哥德巴赫猜想”一樣，迄今為止，雖然試驗(yàn)都是成功的，但并沒有找到嚴(yán)格的證明。2021/5/98安西王府幻方鐵板幻方2021/5/99安西王府幻方鐵板幻方陜西歷史博物館二樓展廳陳列著一塊刻著印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼的鐵板，這是1957年在西安東郊元代安西王府遺址出土的。經(jīng)專家鑒定，它是一個(gè)六階幻方。這個(gè)幻方每行、每列及兩條對(duì)角線上的6個(gè)數(shù)之和都相等，都是111.

這個(gè)六階幻方不是普通的幻方，它還具有兩個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)。第一，該幻方還是一個(gè)二次幻方?；梅街械谝恍泻偷诹兄辛鶄€(gè)數(shù)的平方和也相等：第一列和第六列中六個(gè)數(shù)的平方和也相等：第二，這個(gè)幻方去掉最外面一層，中間剩下的部分仍然是一個(gè)四階幻方。更為奇特的是，這個(gè)4階幻方還是一個(gè)完美幻方。2021/5/910澳門回歸紀(jì)念碑2021/5/911什么叫幻方？把從1到n2的連續(xù)自然數(shù)不遺漏也不重復(fù)地排列成n行n列的數(shù)字方陣，使其每行、每列以及兩條對(duì)角線上n個(gè)數(shù)字之和，都等于一個(gè)定數(shù)，我們就把這樣的數(shù)字方陣叫作n階幻方。階數(shù)n是大于2的任何一個(gè)自然數(shù)。關(guān)于這個(gè)定數(shù)，由幻方性質(zhì)可以推出它的計(jì)算公式為定數(shù)=n×(n2＋1)÷2．如：3階幻方的定數(shù)15，4階幻方的定數(shù)34。我國(guó)南宋時(shí)期有一位名叫楊輝的數(shù)學(xué)家，他對(duì)幻方的規(guī)律和構(gòu)造方法作出了重要的貢獻(xiàn)。他編寫的一部算書中，有四階、五階、六階直至十階的幻方，而且幻方的概念也有了發(fā)展：既可以是方形的，也可以是圓形的；既可以是平面的，也可以是立體的，楊輝還畫出了一個(gè)幻立方，它共有6個(gè)面，每面上的4個(gè)數(shù)字之和都等于18。2021/5/912如何構(gòu)造奇數(shù)階幻方？德·拉·洛貝萊法——右上對(duì)角線法（1）1字排頂行正中間（2）后繼的數(shù)字按自然順序放置在右上方的方格（3）上出格下底行，右出格左底列（4）當(dāng)?shù)竭_(dá)的方格已有數(shù)字，或到達(dá)右上角時(shí)，下一數(shù)就填在這個(gè)數(shù)字的正下方.12021/5/913如何構(gòu)造奇數(shù)階幻方？平移補(bǔ)空法252024151923101418225913172148121637112612021/5/914如何構(gòu)造偶數(shù)階幻方？雙偶數(shù)階幻方的編制——4階幻方先將四階自然方陣的兩個(gè)主對(duì)角線的數(shù)字不動(dòng)，然后將其他數(shù)字作列對(duì)稱調(diào)換，行對(duì)稱調(diào)換1615141312111098765432116231351110897612414151對(duì)稱調(diào)換法2021/5/915如何構(gòu)造偶數(shù)階幻方？雙偶數(shù)階幻方的編制——8階幻方先將8階自然方陣分為四個(gè)四階方陣每個(gè)四階方陣之主對(duì)角線的數(shù)字不動(dòng)，把其他數(shù)字在大的方陣中作對(duì)稱調(diào)換。646362616059585756555453525150494847464544434241403938373635343332313029282726252423222120191817161514131211109876543212021/5/916如何構(gòu)造單偶數(shù)階幻方？6階幻方的編制（1）將36個(gè)數(shù)字分成36/6=6組，先將1~6、7~12、13~18、19~24四段數(shù)字按照雙曲線的形狀，左右交替、自上而下地排成兩層，然后將余下的兩段25~36依次按左右、右左（織布式）由下而上填寫；（2）以中間36方格為主，將左右的突出部分平移到其中空白的地方。

雙曲形平移補(bǔ)空法1218246111723510162249152138142027131912612182462527111723528301016224293191521332348142023335713191362021/5/917如何構(gòu)造單偶數(shù)階幻方？2612182462527111723528301016224293191521332348142023335713191362612182462527111723528301016224293191521332348142023335713191361826126252411172728235301016224293191521332814343320213357136192021/5/9