第一章-第四節(jié)-總體分布的估計(jì)-人教版

1．4總體分布的估計(jì)知識回顧2、前面我們學(xué)習(xí)了常用的幾種抽樣方法，要注意這幾種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別．

3、初中時(shí)我們學(xué)習(xí)過樣本的頻率分布包括頻數(shù)、頻率的概念，頻率分布表和頻率分布直方圖的制作1、用樣本去估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個基本思想4.頻率分布樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布。5.頻率分布的表示形式有：樣本頻率分布表樣本頻率分布條形圖樣本頻率分布直方圖

在初中我們學(xué)習(xí)過樣本的頻率分布，在此基礎(chǔ)上我們來研究總體的分布及其估計(jì)．

我們從前面學(xué)習(xí)概率時(shí)介紹的歷史上所做的拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)入手，在那里曾介紹了如下試驗(yàn)結(jié)果．

在這個問題中，拋擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果的全體構(gòu)成一個總體（為便于研究問題，可把出現(xiàn)“正面向上”的結(jié)果記為0，把出現(xiàn)“反面向上”的結(jié)果記為1），每次拋擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果是總體中的一個個體，那么，上面的表格就是從總體中抽取的容量為72088的相當(dāng)大的樣本的頻率分布表．這個頻率分布表還可用如圖1－1所示的條形圖表示．圖1-1

我們看到，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”的頻率值都越來越接近0.5，在它附近擺動．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增大時(shí)，兩種試驗(yàn)結(jié)果的頻率值就成為相應(yīng)的概率，得到下表．

我們看到，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”的頻率值都越來越接近0.5，在它附近擺動．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增大時(shí)，兩種試驗(yàn)結(jié)果的頻率就成為相應(yīng)的概率．上表排除了抽樣造成的誤差，精確地反映了總體取值的概率分布規(guī)律．這種總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布．

再來看下面的例子．從規(guī)定尺寸為25.40mm的一堆產(chǎn)品中任取100件，測得它們的實(shí)際尺寸如下：25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39

如果把這堆產(chǎn)品中產(chǎn)品尺寸的全體看作一個總體，那么上面數(shù)據(jù)就是從總體中抽取的一個容量為100的樣本．與前一個例子不同的是，這里的總體可以在一個實(shí)數(shù)區(qū)間內(nèi)取值（稱為連續(xù)型總體）．運(yùn)用在初中“統(tǒng)計(jì)初步”里學(xué)過的方法，可以得到這些數(shù)據(jù)的以下頻率分布表和頻率分布直方圖（圖1－2）．具體步驟如下：一、計(jì)算最大值與最小值的差（也稱極差），從而知道這組數(shù)據(jù)的變動范圍。二、決定組距與組數(shù)（將數(shù)據(jù)分組）組距：指每個小組的兩個端點(diǎn)的距離，組距=極差/組數(shù)極差為：25.56–25.24=0.3三.決定分點(diǎn)可以令分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多1位小數(shù)，并且把第1小組的起點(diǎn)稍微減少一點(diǎn)組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時(shí)，按數(shù)據(jù)多少分成5－12組

分組個數(shù)累計(jì)頻數(shù)

頻率累計(jì)頻率[25.235,25.265)一10.010.01[25.265,25.295)T20.020.03[25.295,25.325)正50.050.08[25.325,25.355)正正T120.120.20[25.355,25.385)正正正下180.180.38[25.385,25.415)正正正正正250.250.67[25.415,25.445)正正正一160.160.79[25.445,25.475)正正下130.130.92[25.475,25.505)TT40.040.96[25.505,25.535)T20.020.98[25.535,25.565)T20.021.00

合計(jì)1001.00四.列出頻率分布表頻率/組距產(chǎn)品尺寸(mm)五.畫頻率分布直方圖注意：直方圖的縱軸表示頻率與組距的比值，

長方形的面積＝思考：頻率分布條形圖和頻率分布直方圖是兩個相同的概念嗎？有什么區(qū)別？頻率分布的條形圖和頻率分布直方圖的區(qū)別

兩者是不同的概念；橫軸：兩者表示內(nèi)容相同

縱軸：兩者表示的內(nèi)容不相同

頻率分布條形圖的縱軸（長方形的高）表示頻率

頻率分布直方圖的縱軸（長方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組據(jù)上長方形的面積。

長方形的面積＝頻率分布直方圖

圖1－2表明了所抽取的100件產(chǎn)品中，尺寸落在各個小組內(nèi)的頻率的大?。畼颖救萘吭酱?，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線——總體密度曲線，如圖1－3所示．總體密度曲線反映了總體分布，即反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，圖中帶斜線部分的面積，就是總體在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率．

通常，我們不易知道一個總體的分布情況．在實(shí)踐中，往往是從總體中抽取一個樣本，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布．一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確．

比如說，利用表1－3中的頻率分布表，可對總體分布進(jìn)行估計(jì)．從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在25.355到25.445之間的頻率為0.59，說明產(chǎn)品尺寸在這個范圍內(nèi)的概率約為0.59．

例1．（1）某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可分為一等品、二等品、等外品三類．抽查檢驗(yàn)的記錄為一等品96個，二等品195個，等外品9個、估計(jì)產(chǎn)品中的一等品率、二等品率、等外品率，并畫出頻率分布條形圖．設(shè)ξ=

解：（1）一等品率的估計(jì)二等品率的估計(jì)；等外品率的估計(jì)；頻率分布條形圖如下：（2）如果已知產(chǎn)品的一等品率、二等品率、等外品率分別是32％，65％，3％．設(shè)η的定義與ξ相同，求η的概率分布及其條形圖，將這個圖形與頻率分布條形圖進(jìn)行比較。（2）η的分布列為η的概率分布條形圖與（1）中的圖形相同。

例2．為了解某地兒童生長發(fā)育情況，抽查了100名7歲女童的身高（cm），已按數(shù)據(jù)的大小排列如下：84.484.585.285.786.286.486.987.187.387.687.988.288.488.488.588.789.089.089.189.289.389.389.489.890.090.l90.290.390.490.690.790.891.191.191.191.491.791.791.791.891.992.192.592.592.792.792.892.892.992.993.093.193.293.293.493.593.693.693.693.893.994.094.394.394.494.494.494.594.694.794.894.995.095.195.195.195.595.695.696.096.296.396.496.596.897.097.297.397.397.998.398.498.799.299.399.499.5100.7100.9101.5

（l）列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）利用頻率直方圖，估計(jì)身高在第4、第5兩個組的概率；（4）估計(jì)身高不小于90cm的概率；（5）利用頻率分布表估計(jì)身高的平均值．

解：（1）樣本數(shù)據(jù)的極差（最大值與最小值之差）為R=101.5－84.4=17.1，將組距定為2，第1小組起點(diǎn)取為84，則組數(shù)為8，樣本的頻率分布表為身高[84,86)[86,88)[88,90)[90,92)[92,94)[94,96)[96,98)[98,100)[100,102)合計(jì)頻數(shù)47131720181173100頻率.04.07.13.17.20.18.110.070.031.00（2）頻率分布直方圖（3）身高在第4第5兩個小組內(nèi)的概率的估計(jì)為其頻率為0.17＋0.20=0.37．

（4）身高不小于90cm的頻率為第3至第9組內(nèi)的頻率之和0.76，即身高不小于90cm概率的估計(jì)值為0.76．

（5）身高的均值的估計(jì)為例3．某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上，每隔1小時(shí)抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格，分別記錄．抽查數(shù)據(jù)如下：甲車間：102，101，99，98，103、98，99

乙車間：110，105，94，95，109，89，98

問：（1）這種抽樣是何種抽樣方法？（2）估計(jì)甲、乙兩車間包裝重量的均值與方差，并說哪個均值的代表性好？哪個車間包裝重量較穩(wěn)定？

解：（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法的定義可知這是系統(tǒng)抽樣方法．

（2）先計(jì)算，再計(jì)算

因?yàn)檫@說明甲車間包裝重量比乙車間穩(wěn)定，甲車間的均值100的代表強(qiáng)．練習(xí)題1．在頻率分布直方圍中，各個小長方形的面積表示（

）（A）落在相應(yīng)各組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)（B）相應(yīng)各組的頻率（C）該樣本所分成的組數(shù)（D）該樣本的樣本容量B2．可用于總體數(shù)學(xué)期望的估計(jì)是（

）（A）樣本均值（B）樣本極差R=max(x1，…，xn)－min(x1，…，xn)（C）樣本方差（D）樣本平均差A(yù)3．以下可以描述總體穩(wěn)定性的統(tǒng)計(jì)量是（

）（A）樣本均值（B）樣本中位數(shù)（C）樣本方差s2（D）樣本最大值S(n)C4．在已分組的數(shù)據(jù)中，每組的頻數(shù)是指

，每組的頻率是指

。落入該組的數(shù)據(jù)的個數(shù)落入該組數(shù)據(jù)個數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值5．某電視欄目收視情況的調(diào)查結(jié)果為：抽查100戶，有30戶收看此欄目，則此欄目的收視率的估計(jì)是

。30％6．某醫(yī)院急診中心關(guān)于其病人等待急診的時(shí)間記錄如下：用上述分組資料計(jì)算得病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值=

，病人等待時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值s=

。0.5(分鐘)5.34（分鐘）7．假定下述數(shù)據(jù)是甲、乙兩個供貨商的交貨天數(shù)。甲：10，9，10，10，11，11，9，11，10，10；乙：8，10，14，7，10，11，10，8，15，12．估計(jì)兩個供貨商的交貨情況，并問哪個供貨商交貨時(shí)間短一些，哪個供貨商交貨時(shí)間較具一致性與可靠性．

解：(10+9+……+10)=10.1，(8+10+……+12)=10.5，(102+92+……+102)－10.12=0.49，(82+102+……+122)－10.52=6.05

從交貨天數(shù)的平