菲涅耳衍射夫瑯和費衍射和傅立葉變換

菲涅耳衍射、夫瑯和費衍射和傅立葉變換利用基爾霍夫或瑞利-索末菲衍射公式計算衍射光場復振幅分布雖然準確，但是在計算積分時存在數(shù)學上的困難。在一定條件下對瑞利-索末菲衍射公式進行近似，便可以將衍射現(xiàn)象劃分為兩種類型——菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射，也稱近場衍射與遠場衍射?！?-1菲涅耳衍射夫瑯和費衍射的劃分先簡單分析一下單色光經(jīng)過衍射小孔后的衍射現(xiàn)象。下圖表示一個單色平面波垂直照射到圓孔Σ上（圓孔直徑大于波長）的情形。若在離Σ很近的K1處觀察透過的光，將看到邊緣比較銳利的光斑，其形狀、大小和圓孔基本相同，可看作是圓孔的投影。這時光的傳播可看作是直線進行的。若距離再遠些，例如在K2處，將看到一個邊緣模糊的略大的圓光斑，光斑內有一圈圈的亮暗環(huán)，這時光斑已不能看作是圓孔的投影了。隨著距離的增大，光斑范圍將不斷擴大，但光斑中圓環(huán)數(shù)目則逐漸減?。ㄈ鏚3處的情況），而且環(huán)紋中心的明暗也表現(xiàn)為交替出現(xiàn)。當觀察平面距離很遠時，如在K4處，將看到一個較大的中間亮，邊緣暗，且在邊緣外有較弱的亮暗交替的光斑。此后觀察距離再增大時，只是光斑擴大，但光斑形狀不變。通常菲涅耳衍射指近場衍射，夫瑯和費衍射指遠場衍射。下面我們根據(jù)瑞利-索末菲衍射公式來討論遠和近的范圍是怎樣劃分的?？紤]無限大的不透明屏上的一個有限孔徑Σ對單色光的衍射。設平面屏有直角坐標系(x1，y1)，在平面觀察區(qū)域有坐標系(x，y)，兩者坐標平行，相距z。菲涅耳衍射（近場衍射）在第三章里我們已經(jīng)得到開孔的瑞利-索末菲衍射公式是在圖所示的坐標系下，上式可以寫為假設觀察屏和衍射屏的距離z遠遠大于Σ的線度和觀察范圍的線度，那么在z軸附近又的情況下，忽略二階以上小量，有所以這一近場近似公式稱為菲涅耳衍射公式。使以上近似成立的觀察區(qū)稱菲涅耳衍射區(qū)。使菲涅耳衍射公式成立的條件是即夫瑯和費衍射（遠場衍射）菲涅耳衍射公式是如果我們的觀察區(qū)域遠遠大于衍射孔線度，即，那么上式又可進一步近似為這樣我們對菲涅耳衍射公式的進一步近似稱遠場近似，得到的衍射公式稱為夫瑯和費衍射公式，這一積分公式相對菲涅耳衍射公式在數(shù)學上又簡單了一些。對應的衍射區(qū)域稱夫瑯和費衍射區(qū)。容易看出，滿足夫瑯和費衍射的條件是即這是一個很強的條件，比如當λ=600nm，孔徑為直徑2mm時，要觀察夫瑯和費衍射，觀察位置必須在遠遠大于1666mm的地方。實際中，往往用，即來確定出現(xiàn)夫瑯和費衍射的位置。

§4-2幾種典型的夫瑯和費衍射在無限遠處觀察的衍射是嚴格的夫瑯和費衍射，用一正透鏡在后焦面上觀察的衍射就是這種情況。夫瑯和費衍射在分析光學儀器的極限分辨本領時有著重要的意義。夫瑯和費衍射計算較為簡單，同時它與傅立葉變換有著直接的聯(lián)系，為此我們有必要進行專門的討論。我們已經(jīng)得到夫瑯和費衍射公式是如果令，并根據(jù)傅立葉變換的定義，則所以觀察屏上的光強分布可以看出，觀察屏上的衍射花樣形狀主要由決定。下面利用分析幾種典型的夫瑯和費衍射。矩孔的夫瑯和費衍射設矩孔的邊長分別為Lx，Ly，在單位振幅的平行光垂直照明的情況下，衍射屏后表面的復振幅與屏的透過率函數(shù)是相等的，即而所以觀察屏上的復振幅為觀察屏上的光強分布為圓孔的夫瑯和費衍射對于圓孔，采用極坐標系。單位振幅的平行光垂直照明的情況下觀察屏處的復振幅分布其圖形如下觀察屏處的強度分布其圖形如下可以看出，中央有一強度遠遠高于其它條紋的亮斑（這一亮斑叫愛里斑），中央亮斑的半徑，而D就是光學儀器的相對孔徑，D越大，亮斑的半徑越小，也就是由于衍射產(chǎn)生的象模糊越小，光學儀器的分辨本領越高。正弦型振幅光柵的夫瑯和費衍射l×l正方形正弦型振幅光柵的復振幅透過率為方孔內沿x1方向按正弦規(guī)律變化，對同一x1值，透過率不因y1變化而變化，光柵的空間頻率為f0，m是小于1的正數(shù)。正弦型振幅光柵的透過率示意如圖。則夫瑯和費衍射的復振幅分布為而所以觀察面上的復振幅觀察面上的光強度分布圖形如下注意分析交叉項，使最大的點在，使最大的點在，兩者相距。由下圖可以看出，隨著，（蘭線）越來越小，所以可以忽略。所以其圖形為可以看出近似后與近似前幾乎沒有差別。當m不同時，兩側的尖峰幅度發(fā)生改變，m越大，兩側的峰越高。如下圖。m=0.5m=1當f0改變時，側峰與中央主峰的距離發(fā)生改變。f0越大，距離越大，見圖。在x軸上I(x,0)的分布和光強分布如下可以看出，正弦振幅型光柵的衍射只有三級衍射分量。作為分光元件，只有±1分量起作用。由于一級極大的位置在處，其相應的色散。若是按照瑞利判據(jù)（一條譜線的極大值與另一條譜線的第一個極小值重合，兩條譜線恰好能分辨）能分辨的兩個波長差，則因為，，而峰值譜線的底半寬又應滿足，所以，所以光柵的分辨本領，M是光柵的總條數(shù)。正弦型位相光柵的夫瑯和費衍射正弦型位相光柵的復振幅透過率函數(shù)為用單位振幅平面波照明，則所以忽略交叉項，得其圖形如下由于零級條紋色散為零，無分光作用，如果適當選取m，使J0(m/2)=0，則零級條紋消失，零級條紋的能量轉移到其它有色散的條紋上，這樣色散條紋就更明亮。

§4-3菲涅耳衍射菲涅耳衍射公式的兩種形式卷積形式是點擴展函數(shù)。傅立葉變換形式傳遞函數(shù)我們對卷積形式的衍射公式兩邊取傅立葉變換，則而在P86已經(jīng)得到如果略去高次項，則所以這就是在頻域中的近似菲涅耳衍射近似公式。匯聚球面波照明衍射屏坐標系如圖所示，會聚球面波的中心(X,Y)在觀察屏上。會聚球面波照明衍射屏，復振幅透過率t(x1，y1)。在近軸近似下，在衍射屏前表面的復振幅為衍射屏后的復振幅可以寫為所以觀察屏上的復振幅為而以平面波照射透過率為t(x1，y1)的衍射屏，在觀察屏上的夫瑯和費衍射的復振幅分布是可以看出，對于中心在觀察面上的會聚球面波，其菲涅耳衍射花樣與平面波垂直照射的夫瑯和費衍射花樣是一樣的，只不過中心偏移到球面波中心。如果會聚球面波的中心在觀察屏的原點處，則與夫瑯和費衍射完全一樣。對其它形式的照明，數(shù)學上計算將十分復雜。實際中往往用菲涅耳波帶法或考紐曲線法解決菲涅耳衍射問題。本章習題解答（P119）2.單位平面波垂直照射雙矩孔解：上孔中心（0，Δ/2），下孔中心（0，-Δ/2）；所以雙孔的透過率函數(shù)為根據(jù)夫瑯和費衍射公式所以其光強分布圖為在x軸和y軸上的光強分布為3.單位振幅平面波照射正方形環(huán)孔解：透過率函數(shù)根據(jù)夫瑯和費衍射公式所以其光強空間分布為7.解：（1）根據(jù)所以所以，?？梢钥闯?，隨著z的變化，圓孔菲涅耳衍射圖樣中心有亮暗變化。（2）.所以?？梢钥闯?，隨著z的變化，菲涅耳衍射圖樣中心也有亮暗變化。8.解：單位振幅平面波垂直入射，則觀察面上菲涅耳衍射的復振幅為所以當為實數(shù)，即，（n=1,2,3…）時，，位相不隨空間位置而