專題17 空間幾何體的結(jié)構(gòu)和內(nèi)切 外切球問題 分層訓練 （解析版）

答案第=page22頁，共=sectionpages33頁專題17空間幾何體的結(jié)構(gòu)和內(nèi)切外切球問題【練基礎】單選題1．（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考期末）已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得圓錐的底面半徑，進而求得圓錐的表面積.【詳解】依題意，圓錐的母線長為3，軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑為，所以圓錐的表面積為.故選：B2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖所示是一塊邊長為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個全等的等腰梯形和一個正方形組成，將陰影部分裁剪下來，并將其拼接成一個無上蓋的容器（鋁片厚度不計），則該容器的容積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出正四棱臺，作出輔助線，得到各邊長，求出四棱臺的高，從而利用臺體體積公式求出體積.【詳解】由題知，該容器的容積就是正四棱臺的體積，如圖，連接正四棱臺上下底面的中心，，取上底面正方形一邊中點，對應下底面正方形一邊中點，連接，，，則，故四點共面，過點作交于點，則四邊形為矩形，故，因為該正四棱臺上、下底面邊長分別為2，6，等腰梯形的斜高為4，所以，故，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該容器的容積是．故選：B3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準備將棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】棱長為8的正四面體放入正方體，使正方體面對角線長等于正四面體棱長，然后求出體積作答.【詳解】依題意，要使棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長最小，則當且僅當正方體的面對角線長等于正四面體的棱長，即它們有相同的外接球，如圖，正四面體的棱長為8cm，該正四面體的所有棱均為正方體對應的面對角線，所以該正方體棱長為，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為.故選：C4．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習）如圖所示是我國古代舂米用的一種青石制成的石臼，其外形是正四棱臺，糙米(雜糧等)放在中間鑿出的半球內(nèi)，利用石錘等工具對糙米進行加工．已知該石臼上口寬和高都等于0.8m，下底邊長與球的直徑都等于0.6m，則該石臼的體積約為(參考數(shù)據(jù)：)（

）A．0.21 B．0.28 C．0.34 D．0.46【答案】C【分析】根據(jù)臺體體積公式和球的體積公式求解.【詳解】正四棱臺的體積為，半球的體積為，所以該石白的體積約為，故選:C.5．（2023春·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）如圖，已知四棱柱的體積為，四邊形是平行四邊形，點在平面內(nèi)，且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，找到兩三棱錐的公共部分，結(jié)合三角形相似知識得到邊長比，從而得到體積比，求出答案.【詳解】先找兩三棱錐的公共部分，由知：，故，在上取點，使得，連接，設，連接，則三棱錐為三棱錐與三棱錐的公共部分，∵∽，，點到平面的距離是點到平面的距離的，又，.故選：A.6．（2023秋·天津南開·高三?？茧A段練習）如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設半球的半徑為，連接交于點，連接，利用四棱錐的體積公式求出半徑，再代入球的體積公式即可求解.【詳解】依題意，設半球的半徑為，連接交于點，連接，如圖所示：則有，易得，所以正四棱錐的體積為：，解得：，所以半球的體積為：.故選：C.7．（2023·福建廈門·統(tǒng)考二模）西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實用的泡茶工具（如圖1）．西施壺的壺身可近似看成一個球體截去上下兩個相同的球缺的幾何體．球缺的體積（R為球缺所在球的半徑，h為球缺的高）．若一個西施壺的壺身高為8cm，壺口直徑為6cm（如圖2），則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，π取3.14）（

）A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml【答案】A【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對應線段的長，進而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)球的體積公式和球缺的體積求解即可.【詳解】如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，依題意，，為球心，為壺口所在圓的圓心，所以，因為，所以，且，，所以球的半徑，所以球缺的高，所以球缺的體積，所以該壺壺身的容積約為：.故選：A.8．（2023·全國·高三專題練習）如圖，中，，為的中點，將沿折疊成三棱錐，則該棱錐體積最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意易得平面，進而得三棱錐的體積為即可得答案.【詳解】解：因為在中，，為的中點，所以，，所以，在折疊成的三棱錐中，，因為平面，所以平面，所以，三棱錐的體積為，當且僅當時等號成立，所以，該棱錐體積最大值為故選：B二、多選題9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）已知圓錐SO（O是圓錐底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為3，底面半徑為．若P，Q為底面圓周上的任意兩點，則下列說法中正確的是（

）A．圓錐SO的側(cè)面積為B．SPQ面積的最大值為C．三棱錐O-SPQ體積的最大值為D．圓錐SO的內(nèi)切球的體積為【答案】AC【分析】A選項，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，母線為扇形半徑，底面圓周長為扇形弧長，據(jù)此可得圓錐的側(cè)面積；B選項，當最大時，SPQ面積最大；C選項，當面積最大時，三棱錐O-SPQ體積最大；D選項，由圓錐的軸截面圖可求得圓錐內(nèi)切球的半徑.【詳解】A選項，因底面半徑為，則底面圓周長為，則側(cè)面展開扇形的圓心角為：，則側(cè)面積為：.故A正確；B選項，當最大，即時，SPQ面積最大.則SPQ面積最大值為：，故B錯誤；C選項，，則當時，取最大值，又，則三棱錐O-SPQ體積的最大值為：.故C正確；D選項，如圖圓錐內(nèi)切球半徑為圓錐軸截面內(nèi)切圓半徑，設內(nèi)切球半徑為，內(nèi)切球球心為I，連接.則.則內(nèi)切球體積為：.故D錯誤.故選：AC【點睛】10．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點，AC與BD交于點O，現(xiàn)將△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分別沿EH，EF，F(xiàn)G，GH把這個矩形折成一個空間圖形，使A與D重合，B與C重合，重合后的點分別記為M，N，Q為MN的中點，對于多面體MNEFGH，下列說法正確的是（

）A．異面直線GN與ME的夾角大小為60°B．該多面體的體積為C．四棱錐E－MNFH的外接球的表面積為D．若點P是該多面體表面上的動點，滿足時，點P的軌跡長度【答案】AC【分析】根據(jù)異面直線所成角的幾何法即可利用三角形邊的關(guān)系進行求解A，根據(jù)線面垂直以及錐體的體積即可求解B,根據(jù)外接球的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解C，根據(jù)線面垂直即可判斷點P的軌跡，即可求解D.【詳解】取的中點為，取NE的中點為點P，連接,由幾何體形成的過程可知平面平面,其交線為，由于四邊形為菱形，四邊形為等腰梯形，故,平面，所以平面,由題意可知，，∴，∴，由于平面,所以平面,由，得，則∠OPQ即為異面直線GN與ME所成夾角的平面角或其補角，而，∴△OPQ為等邊三角形，∴異面直線GN與ME的夾角大小為60°，選項A正確；由幾何體形成的過程可知平面平面,其交線為，由于四邊形為菱形，四邊形為等腰梯形，故,平面，所以平面，,，選項B錯誤；在△NFH中，，，∴△NFH的外接圓直徑，△HEF的外接圓直徑，∴四棱錐E－MNFH的外接球直徑D滿足，∴四棱錐E－MNFH的外接球的表面積為，選項C正確：由A可知平面,同理平面MEG，又,所以ON⊥平面MEG，點P所在平面與平面MEG平行，∴點P的軌跡為五邊形QPRST，長度為，D選項錯誤．故選AC．【點睛】11．（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）已知正方體的棱長為1，是線段上的動點，則下列說法正確的是,（

）A．存在點使 B．點到平面的距離為C．的最小值是 D．三棱錐的體積為定值【答案】AD【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，設，，當時，，此時與重合，所以A選項正確.設平面的法向量為，則，故可設，所以點到平面的距離為，B選項錯誤.，，，所以當時，取得最小值為，C選項錯誤.，為定值，D選項正確.故選：AD【提能力】一、單選題12．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)得出的外接圓圓心為該三棱錐的外接球的球心，再由正弦定理以及球的表面積公式求解.【詳解】解：過點作的垂線，垂足為，因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以的外接圓的圓心為，設的外接圓圓心為，其半徑為，則在上，所以，由面面垂直的性質(zhì)可知，平面，所以，即為該三棱錐的外接球的球心，由正弦定理可知，，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C13．（2023·全國·模擬預測）晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學研究的一個重要方面.在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點和體心，且原子B與8個原子A均相切.已知該晶胞的邊長（圖1中正方體的棱長）為，則當圖（2）中所有原子（8個A原子與1個B原子）的體積之和最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設出球的半徑為，，表達出球的半徑，表達出，令，，由導函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值【詳解】因為該晶胞的邊長為，所以正方體對角線成為，設球的半徑為，，則球的半徑為，所以所有原子的體積之和為，令，，則，因為，所以恒成立，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，也時最大值，故，故體積最大值為.故選：B14．（2022·海南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）已知四面體，且，，面面，則四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點，中點，以為軸建立坐標系，利用外接球球心到頂點的距離相等求外接球半徑，利用等體積法求內(nèi)切球半徑即可求解.【詳解】取中點，中點，連接，因為，則，又且，則，又面面，面面，面，所以面，由面，則，所以兩兩垂直，以為軸建立如圖所示坐標系，則，，，，設四面體外接球球心為，因為△外接圓圓心為，所以面，設，因為，所以解得，即，所以四面體外接球半徑，因為，，所以，即，△為等腰三角形，所以△在邊上的高為，所以四面體的側(cè)面積，四面體的體積，設四面體內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法可得解得，所以四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為，故選：C15．（2023·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，P為側(cè)棱SA的中點，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AD的中點O，連接OB，OC，OP，根據(jù)已知得出四邊形OABC為平行四邊形，，即可得出，則四棱錐外接球的球心為O，半徑為2，即可根據(jù)球的表面積計算得出答案.【詳解】取AD的中點O，連接OB，OC，OP.因為，，所以.又，即，所以四邊形OABC為平行四邊形，所以，同理可得.因為，且P為側(cè)棱SA的中點，所以，所以在中，.（點撥：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）所以，所以四棱錐外接球的球心為O，半徑為2，故外接球的表面積為，故選：B.16．（2023·湖南·模擬預測）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄，現(xiàn)測量一個Trullo的屋頂，得到母線SA長為6米（其中S為圓錐頂點，O為圓錐底面圓心），C是母線SA的靠近點S的三等分點．從點A到點C繞圓錐頂側(cè)面一周安裝燈帶，若燈帶的最短長度為米，則圓錐的SO的體積為（

）A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米【答案】C【分析】設圓錐底面半徑為r，如圖，根據(jù)余弦定理得到，計算，，再計算體積得到答案.【詳解】設圓錐底面半徑為r，如圖，扇形是圓錐的側(cè)面展開圖，中，，，，所以，所以，所以，，，所以圓錐的體積為（立方米），故選：C17．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）在棱長為6的正方體中，，分別為，的中點，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，三棱錐與三棱柱外接球相同.確定球心位置，利用正弦定理，余弦定理，勾股定理，求出球的半徑，再利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，設，分別為棱，的中點，則三棱錐與三棱柱外接球相同.在中，，由余弦定理，所以；設外接圓半徑為，在中，由正弦定理故外接圓半徑，設三棱柱外接球半徑為，由勾股定理，

則三棱錐外接球的表面積.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是：把三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為三棱柱的外接球，利用底面外接圓的半徑和三棱柱的高，可得外接球的半徑，從而得到外接球的面積.18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）在四邊形ABCD中，，，將沿AC翻折至，三棱錐的頂點都在同一個球面上，若該球的表面積為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)外接球的表面積求出球的半徑，過點作平面，垂足為，設為的中點，易得三棱錐外接球的球心過點且垂直平面的垂線上，再利用勾股定理求出三棱錐的高，即可得解.【詳解】設三棱錐外接球的半徑為，則，解得，如圖，過點作平面，垂足為，設為的中點，為三棱錐外接球的球心，因為，則為外接圓的圓心，所以三棱錐外接球的球心過點且垂直平面的垂線上，即平面，則，作于點，連接，因為平面，平面，所以，所以，所以為矩形，則，又平面，所以平面，又平面，所以，設三棱錐的高為，即，，則中，，，，由，得，解得，即三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為.故選：C.【點睛】方法點睛：立體幾何外接球問題，通常要找到-個特殊三角形或四邊形，找到其外心，從而找到球心的位置，從而利用球的半徑相等列出方程，求出半徑,進而求解球的表面積或體積等.19．（2023·浙江·模擬預測）在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑為四個面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵中，，鱉臑的外接球的體積為，則陽馬體積的最大值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設的外接球半徑為r，根據(jù)鱉臑的外接球的體積即可求得r，再根據(jù)的外接球的半徑與三棱柱的外接球的半徑相同可得到x，y的關(guān)系式，再根據(jù)四棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】設的外接球半徑為r，則的外接球的體積為．．又陽馬的體積為，所以陽馬體積的最大值為．故選：B．20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，設，，由三角形相似得到，得到圓錐的表面積為，令，由導函數(shù)得到當時，圓錐的表面積取得最小值，進而得到此時與，作出圓錐的外接球，設外接球半徑為，由勾股定理列出方程，求出外接球半徑和表面積.【詳解】設圓錐的頂點為，底面圓的圓心為，內(nèi)切球圓心為，則，，因為⊥，⊥，所以∽，則，設，，故，由得：，由得：，故，所以，，解得：，所以圓錐的表面積為，令，，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在時取得最小值，，此時，，設圓錐的外接球球心為，連接，設，則，由勾股定理得：，即，解得：，故其外接球的表面積為.故選：A【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.二、多選題(共0分)21．（2023春·浙江·高三開學考試）已知正三棱錐的底面邊長為2，表面積為，A，B，C三點均在以O為球心得球面上，Q為球面上一點，下列結(jié)論正確得是（

）A．球O的半徑為B．三棱錐的內(nèi)切球半徑為C．的取值范圍為D．若平面ABC，則異面直線AC與QB所成角的余弦值為【答案】ABD【分析】設G，H，，分別為BC，AB，AQ的中點，為的中心，求出,故選項A正確；求出三棱錐的內(nèi)切球半徑為，故選項B正確；，故選項C錯誤；求出異面直線AC與QB所成角的余弦值為，故選項D正確．【詳解】解：設G，H，，分別為BC，AB，AQ的中點，為的中心，，故選項A正確；設三棱錐的內(nèi)切球半徑為，，，，故選項B正確；，故選項C錯誤；，，所以異面直線AC與QB所成角就是或其補角.因為，,.，所以異面直線AC與QB所成角的余弦值為，故選項D正確．故選：ABD．22．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習）中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意糧食滿園、稱心如意、十全十美，下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，該升斗外形是一個正四棱臺，上、下底邊邊長分別為，，側(cè)棱長為，忽略其壁厚，則該升斗的容積為_________．【答案】【分析】先求出四棱臺的高，再根據(jù)四棱臺的體積公式計算.【詳解】上下底面對角線的長度分別為：，高h，上底面的面積，下底面的面積，四棱臺的體積；故答案為：.23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學?？茧A段練習）已知正方體的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱和棱的中點，G為棱BC上的動點（不含端點）.則下列說法中正確的序號是_______.（1）當G為棱BC的中點時，是銳角三角形；（2）三棱錐的體積為定值；（3）若異面直線AB與EG所成的角為，則.【答案】(2)(3)【分析】計算長度即可確定為直角三角形可判斷(1)；利用等體積法可判斷(2);再根據(jù)異面直線所成角的定義求解(3).【詳解】當G為棱BC的中點時，,,,,所以,所以是直角三角形，(1)錯誤；因為,(2)正確；取中點為,連接，則,所以為異面直線AB與EG所成的角，因為，平面,所以平面,又因為平面,所以，所以在中，，因為G為棱BC上的動點（不含端點），所以,所以，又因為，所以，(3)正確，故答案為:(2)(3).24．（2023·陜西·西安市西光中學校聯(lián)考一模）在四棱錐中，平面ABCD，，點M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，且，，直線PM與平面ABCD所成的角為，當三棱錐的體積最小時，三棱錐的外接球的體積為________.【答案】【分析】根據(jù)線面角的定義得出M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點A為圓心，2為半徑的圓上，再由三棱錐的體積最小，確定點M位于F，進而由長方體外接球模型結(jié)合體積公式求解.【詳解】因為平面，所以即為直線與平面所成的角，所以.因為，所以，如圖，易知M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點A為圓心，2為半徑的圓上，記點M的軌跡為圓弧EF.連接AF，當點M位于F時，三棱錐的體積最小，由長方體外接球模型可知，三棱錐的外接球球心為PF的中點，此外接球的體積.故答案為：25．（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）設棱錐的底面為正方形，且，，如果的面積為1，則能夠放入這個棱錐的最大球的半徑為___________.【答案】##【分析】設球O是與平面MAD，ABCD，MBC都相切的球，求出與三個面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半徑為，再證明O到平面MAB的距離大于球O的半徑r，O到面MCD的距離也大于球O的半徑r，即得解.【詳解】如圖，因為AB⊥AD，AB⊥MA，平面MAD，所以，AB垂直于平面MAD，由此知平面MAD垂直平面ABCD.設E是AD的中點，F(xiàn)是BC的中點，則ME⊥AD，所以，ME垂直平面ABCD，ME⊥EF.設球O是與平面MAD，ABCD，MBC都相切的球.不失一般性，可設O在平面MEF上.于是O為△MEF的內(nèi)心.設球O的半徑為r，則.設AD=EF=a，因為，所以，，且當，即時，上式取等號，所以，當AD=ME=時，所以與三個面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半徑為.作OG⊥ME于G，易證OG//平面MAB，G到平面MAB的距離就是O到平面MAB的距離.過G作MH⊥MA于H，則GH是G到平面MAB的距離.，，又，，,.,故O到平面MAB的距離大于球O的半徑r，同樣O到面MCD的距離也大于球O的半徑r，故球O在棱錐M-ABCD內(nèi)，并且不可能再大.據(jù)此可得所求的最大球的半徑為.故答案為：26．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知正方體的棱長為4，點分別是的中點，則（

）A．直線是異面直線 B．平面截正方體所得截面的面積為C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】對于A，取的中點，連接，取的中點，連接，證明，即可判斷；對于B，延長交于點，連接交點，連接，說明平面截正方體所得截面為四邊形，從而可以判斷；對于C，連接，證明平面，再根據(jù)即可判斷；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設為的中點，為三棱錐的外接球的球心，利用空間中兩點的距離公式求出球心及半徑即可判斷.【詳解】對于A，如圖，取的中點，連接，取的中點，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因，所以直線是異面直線，故A正確；對于B，如圖，延長交于點，連接交點，連接，因為為的中點，則，所以為的中點，因為，所以為的中點，則，因為，所以為平行四邊形，所以，所以，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，在等腰梯形中，，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故B錯誤；對于C，連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又因為為的中點，所以三棱錐的高為，，所以，故C正確；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設為的中點，則為的外心，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設為，則平面，因為平面，所以，設，則，，因為，所以，所以，故，由，得，解得，所以三棱錐的外接球的半徑，表面積為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題D選項的突破口是，建立空間直角坐標系，先由球心與截面圓心連線垂直于截面得到平面，從而求出，由此得解.27．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）如圖，正四棱柱中，，動點P滿足，且.則下列說法正確的是（

）A．當時，直線平面B．當時，的最小值為C．若直線與所成角為，則動點P的軌跡長為D．當時，三棱錐外接球半徑的取值范圍是【答案】ABC【分析】當時，由平面向量線性運算法則可知點在線段上，根據(jù)正四棱柱特征利用線面垂直判定定理即可證明直線平面；當時，由共線定理可得點在線段上，根據(jù)對稱性將的最值轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，即可求得最小值；若直線與所成角為，可知點的軌跡是以為圓心，半徑為的半圓弧，即可計算出其軌跡長度；當時，取的中點為，由共線定理可知三點共線，幾何法找出球心位置寫出半徑的表達式，利用函數(shù)單調(diào)性求其取值范圍即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，取相交于點，的中點為，如下圖所示：當時，即，，由平面向量線性運算法則可知，點在線段上，由正四棱柱可得，且平面，又平面，所以，又，且平面，所以平面；又因為平面與平面是同一平面，所以平面，即A正確；對于B，當時，由利用共線定理可得，三點共線，即點在線段上;由對稱性可知，線段上的點到兩點之間的距離相等，所以；取平面進行平面距離分析，如下圖所示：所以，當且僅當三點共線時，等號成立，此時點為線段的中點，即的最小值為，故B正確；對于C，由圖可知，與所成角都為，由可知，點在平面內(nèi)，若直線與所成角為，在線段上取點，使，則直線與所成角為；則點的軌跡是以為圓心，半徑為，且在平面內(nèi)的半圓弧，如下圖中細虛線所示：所以動點P的軌跡長為，故C正確；對于D，當時，取的中點為，即；由可知，三點共線，即點在線段上，如下圖所示：易知三棱錐外接球球心在直線上，設球心為，；作于點，設，易知，由相似比可得，設外接球半徑為，則，解得；所以，易知當時，半徑最小為；當時，半徑最大為；又，所以半徑的取值范圍是，即D錯誤.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)向量線性運算法則和共線定理的應用，確定點的位置，再根據(jù)幾何體特征利用對稱性即可求得距離之和得最小值，利用幾何法即可求得外接球球心和半徑的取值范圍.28．（2023·全國·高三專題練習）正四棱臺中，，側(cè)棱與底面所成角為分別為，的中點，為線段上一動點（包括端點），則下列說法正確的是（

）A．該四棱臺的體積為 B．三棱錐的體積為定值C．平面截該棱臺所得截面為六邊形 D．異面直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【分析】將正四棱臺補形為正四棱錐，求得相關(guān)線段長度，根據(jù)棱臺的體積公式計算該四棱臺的體積，判斷A；根據(jù)線面平行的性質(zhì)結(jié)合棱錐體積公式可判斷B；根據(jù)平面的基本性質(zhì)作出平面截該棱臺所得截面，判斷C；采用平移法，找到異面直線與所成角，解三角形，可求得異面直線與所成角的余弦值，判斷D.【詳解】將正四棱臺補形為正四棱錐，由，可得為其中截面.設分別為的中心，底面，故為側(cè)棱與底面所成角，故，可得，側(cè)面為等腰梯形，高為，故，對于，正確對于B，連接,則,而,所以，平面,平面,得平面，由于為定值，M在上，故三棱錐的體積為定值即三棱錐的體積為定值，B正確；對于，取中點，連接并延長交于，連接并延長交直線于，則,則,而，故,同理,連接，則,即為的中位線，而為的中點，故在上，即三點共線，連接,則五邊形為平面截正棱臺所得的截面，C錯誤對于，由題意知四邊形為平行四邊形，故，可得為異面直線與所成角或補角，在中,由余弦定理得，由于異面直線與所成角范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為，D正確,故選：【點睛】難點點睛：解答本題要發(fā)揮空間想象，明確幾何體中的線面位置關(guān)系，計算出相關(guān)線段長度，難點在于判斷平面截該棱臺所得截面的形狀，此時要根據(jù)平面的基本性質(zhì)，作出該截面，判斷形狀.三、填空題29．（2023春·天津紅橋·高三統(tǒng)考期末）在中，，以邊所在直線為軸，將旋轉(zhuǎn)一周，所成的曲面圍成的幾何體的體積為__________.【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念，結(jié)合題意得到該幾何體是圓錐，根據(jù)體積計算公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為在中，，所以，若以邊所在的直線為軸，將旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是以為高，以為底面圓半徑的圓錐，因為，，因此，其體積為：.故答案為：.30．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知球的表面積為，三棱錐的頂點都在該球面上，則三棱錐體積的最大值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意可求球的半徑，當三棱錐底面越大，高越長的時候，三棱錐體積有最大值，設三棱錐底面