經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微分方程

2023/11/81CH6微分方程微分方程是研究動態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的根本工具。通過計算微分方程來分析變量的具體時間路徑，以及能否收斂于均衡。2023/11/82一、導(dǎo)論變量為導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程。例如：如果只有一個自變量，稱為常微分方程〔ODE〕。常微分方程的階是方程中最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)使用的ODE都是對時間的導(dǎo)數(shù)。例：假設(shè)x(t)是常數(shù)，方程被稱為自控的〔一個方程僅通過變量y而依賴于時間〕。假設(shè)x(t)＝0，方程被稱為齊次的。2023/11/83微分方程的解法求解微分方程的目的在于找到變量的變化特征。第一種解法：圖解法。只能用于自控方程。第二種解法：解析法。可以找到精確的解，但只能用于有限的函數(shù)形式，如線性函數(shù)。第三種解法：數(shù)值分析。使用現(xiàn)存軟件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。2023/11/84二、一階常微分方程的解法1、圖解法例1：一階線性自控常微分方程：其中a和x是常數(shù)且大于0。以y為橫軸，以為縱軸。由于是y對時間的導(dǎo)數(shù)，因此，為正時，意味著y隨著時間的變化而增加；為負(fù)那么減少。2023/11/85圖形為直線。在縱軸的截距為-x，在橫軸的截距為-x/a。在y*點(diǎn)，＝0，即y不會隨時間而變化，y*稱為y的穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)y(0)>y*,<0,y隨時間而減少。反之那么增加。練習(xí)：當(dāng)a<0的動態(tài)。yy*當(dāng)直線的斜率為負(fù)時方程是穩(wěn)定的：無論初始值y(0)在何處，y(t)都將回到y(tǒng)*。穩(wěn)態(tài)值2023/11/86例2：非線性函數(shù)的動態(tài)。微分方程：其中s、α和δ都是正常數(shù)，且α<1。yy*0當(dāng)

時，y=0；因此，方程有兩個穩(wěn)態(tài)。穩(wěn)態(tài)0是不穩(wěn)定的，穩(wěn)態(tài)y*是穩(wěn)定的。2023/11/87微分方程穩(wěn)定性總結(jié)對于微分方程：當(dāng)時，可以找出穩(wěn)態(tài)值y*。假設(shè)，即函數(shù)在穩(wěn)態(tài)處的斜率為正，那么y是局部不穩(wěn)定的。假設(shè)，即函數(shù)在穩(wěn)態(tài)處的斜率為負(fù)，那么y是局部穩(wěn)定的。2023/11/882、解析解一些簡單的微分方程解為：解為：2023/11/89求解線性常微分方程的一般方法常系數(shù)一階線性微分方程：求解步驟：第一：把所有涉及y及其導(dǎo)數(shù)的項放在方程的一邊，把其余項放在方程的另一邊；第二：兩邊同乘以積分因子eat并積分，左邊就變成了eaty(t)對時間的導(dǎo)數(shù)；如果微分方程的系數(shù)是可變系數(shù)a(t)，那么積分因子為，左邊變成了的導(dǎo)數(shù)。第三：計算出y(t)。2023/11/810練習(xí)：求解微分方程例1：解答：移項、在兩邊同乘以e-t并積分：可以解出通解：y(t)=-1+bet。要想得到特解，需要知道邊界條件。A:如果初始條件：t=0時y(t)=0。那么y(0)=-1+be0=0，得到b=1。特解為：y(t)=-1+et即曲線AB:如果終端條件：t=1000時y為0。那么y(1000)=-1+be1000=0，得到b=e－1000。特解為：y(t)=-1+e－1000et即曲線Bty(t)-11000AB微分方程的解2023/11/811練習(xí)：人口增長例2：人口增長率為n，計算人口數(shù)量的動態(tài)變化。解答：增長率的定義：離散形式：連續(xù)形式：人口增長：求解微分方程得到：L(t)=L(0)ent2023/11/812三、線性常微分方程系統(tǒng)n個微分方程組成的系統(tǒng)：其中，、y(t)和x(t)是n維列向量，A是常系數(shù)的n×n方陣。用矩陣表示2023/11/813微分方程系統(tǒng)解法第一種：相位圖。簡單地提供了定性解，但只適用于2×2系統(tǒng)以及有穩(wěn)態(tài)的自控方程；第二種：解析解。第三種：數(shù)值法。用時間消去法來計算非線性系統(tǒng)。2023/11/8141、相位圖〔1〕對角系統(tǒng)：以y1為橫軸，以y2為縱軸，平面中的每一點(diǎn)都代表了系統(tǒng)〔y1,y2〕在任一給定時刻的位置。相位圖的目標(biāo)：把由兩個微分方程所隱含的動態(tài)轉(zhuǎn)換為一個描述了經(jīng)濟(jì)隨時間的定性行為的箭頭系統(tǒng)。2023/11/815情形1：a11>0且a22>0：系統(tǒng)不穩(wěn)定。情形2：a11<0且a22<0：系統(tǒng)穩(wěn)定。情形3：a11<0且a22>0：鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。y1y2鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定的相位圖穩(wěn)定臂不穩(wěn)定臂原點(diǎn)是穩(wěn)態(tài)。鞍點(diǎn)路徑既不是穩(wěn)定又不是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)只有從穩(wěn)定臂(橫軸)開始才會回到穩(wěn)態(tài)。結(jié)論：對角系統(tǒng)的穩(wěn)定性依賴于系數(shù)的符號。假設(shè)兩者都為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定；假設(shè)兩者都為負(fù)，系統(tǒng)穩(wěn)定；假設(shè)兩者異號，系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。2023/11/816〔2〕非對角系統(tǒng)邊界條件為y1(0)=1和的軌跡是直線y2=0.06y1+1.4在直線的下方，y2<0.06y1+1.4，，即在該區(qū)域y1遞增；同理，在直線的上方區(qū)域y1遞減。的軌跡是直線y1=10在直線的左邊，，y2遞增；右邊遞減。將和聯(lián)立求解，可以得到穩(wěn)態(tài)值：y1*=10,y2*=2。2023/11/817具有鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定性的非對角系統(tǒng)的相位圖y1y2y1*=10穩(wěn)定臂不穩(wěn)定臂y2*=2穩(wěn)定臂和不穩(wěn)定臂對應(yīng)于兩個特征向量2023/11/818非對角系統(tǒng)穩(wěn)定性：結(jié)論1、兩個特征值是正實(shí)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、兩個特征值是負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。3、兩個特征值是實(shí)數(shù)但異號，系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。穩(wěn)定臂對應(yīng)于與負(fù)特征值相關(guān)的特征向量，不穩(wěn)定臂對應(yīng)于與正特征值相關(guān)的特征向量。4、兩個特征值是有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)振蕩收斂。5、兩個特征值是有正實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)振蕩且不收斂。6、兩個特征值是有零實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)軌跡是環(huán)繞穩(wěn)態(tài)運(yùn)動的橢圓。7、兩個特征值相等，解為y(t)=(b1+b2t)eat。a是特征值，假設(shè)a<0，解是穩(wěn)定的；假設(shè)a>0，解是不穩(wěn)定的。2023/11/819兩變量時的特征根及穩(wěn)定性兩變量動態(tài)系統(tǒng)2023/11/820〔3〕非線性系統(tǒng)

解答：的軌跡為：c=k0.3;軌跡為k=10。將k和c的動態(tài)結(jié)合到一起，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是兩條軌跡的交點(diǎn)。穩(wěn)態(tài)值：k*=10,c*=2。系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定的。2023/11/821kc穩(wěn)定臂不穩(wěn)定臂具有鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)的相位圖2023/11/8222、解析解〔1〕線性齊次系統(tǒng)y(t)是一個n×1列向量，A是n×n常系數(shù)矩陣。解法：假設(shè)z(t)=V-1y(t)，那么其中，V是特征向量矩陣，D是特征值對角矩陣。先解出z(t)，然后根據(jù)y(t)=Vz(t)可解出y(t)。2023/11/823〔2〕線性非齊次系統(tǒng)解法與齊次系統(tǒng)相同。練習(xí)1：求解以下線性系統(tǒng)的解。邊界條件：y1(0)=1和limt→∞[e-0.06ty1(t)]=02023/11/8242023/11/825根據(jù)邊界條件可以確定b1和b2的值。根據(jù)初始條件y1(0)=1，得到b1+b2=-9根據(jù)終端條件得到：當(dāng)t趨于無窮大時，上式中第一和第三項都趨于0，除非b1等于0，否那么第二項將趨于無窮大。因此，b1=0。這意味著b2=-9。這個ODE系統(tǒng)的精確解為：y1(t)=10-9e-0.04ty2(t)=2-0.9e-0.04t當(dāng)t=0時，y1=1,y2=1.1；當(dāng)t→∞時，y1*=10,y2*=2。2023/11/826練習(xí)2：求解非線性系統(tǒng)的解邊界條件：y1(0)=1和limt→∞[e-0.06ty1(t)]=0非線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值：k*=10，c*=2。圍繞穩(wěn)態(tài)值將上述系統(tǒng)進(jìn)行線性化：原系統(tǒng)線性化為：系統(tǒng)與練習(xí)1求解方法完全相同。2023/11/827高維系統(tǒng)三維非線性系統(tǒng)根據(jù)得到穩(wěn)態(tài)值在穩(wěn)態(tài)附近進(jìn)行泰勒展開求解系數(shù)矩陣A的特征根以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性2023/11/828判別方法：如果特征根