（公開課）方程的根與函數(shù)的零點

方程的根與函數(shù)的零點宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。--------華羅庚這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)第三章函數(shù)的應(yīng)用。通過第二章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，而這一章我們就要運用函數(shù)思想，建立函數(shù)模型，去解決現(xiàn)實生活中的一些簡單問題。為此，我們還要做一些基本的知識儲備。方程的根，我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，而我們在初中研究的“方程的根”只是側(cè)重“數(shù)”的一面來研究，那么，我們這節(jié)課就主要從“形”的角度去研究“方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系”。解方程：①

；②

。問題1：16世紀(jì)時，意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞和卡當(dāng)?shù)热?，發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式。這個公式公布沒兩年，卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生費拉里就找到了四次方程的求根公式。當(dāng)時數(shù)學(xué)家們非常樂觀，以為馬上就可以寫出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，時光流逝了幾百年，誰也找不出這樣的求根公式。

這樣的求根公式究竟有沒有呢？年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾作出了回答：“沒有。”阿貝爾從理論上予以證明，無論怎樣用加、減、乘、除以及開方運算，無論將方程的系數(shù)怎樣排列，它都決不可能是一般五次方程的求根公式。

問題2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？思考：判別式

>0

0

<0

y=ax2+bx+c

的圖象ax2+bx+c=0

的根一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根與二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象有如下關(guān)系：xyx1x20xy0x1xy0函數(shù)的圖象與x軸的交點(x1,0),(x2,0)沒有交點有兩個相等的實數(shù)根x1=x2沒有實數(shù)根兩個不相等的實數(shù)根x1、x2(x1,0)即,把使的實數(shù)對于函數(shù)叫做函數(shù)的零點.一、函數(shù)零點的定義：思考:零點是不是點？零點與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？函數(shù)函數(shù)的零點

方程的根

1.函數(shù)的零點是：_____

2.函數(shù)的零點是：_____4.函數(shù)的零點個數(shù)是：_____3.函數(shù)的零點個數(shù)是：_____填空：函數(shù)的零點情況呢？10個1個問題：如何根據(jù)函數(shù)零點的意義求零點？1.f(-2)=

，f(1)=

f(-2)f(1)

0(填“>”或“<”)發(fā)現(xiàn)在區(qū)間(-2，1)上有零點

2.f(2)=

，f(4)=

f(2)f(4)

0(填“>”或“<”)發(fā)現(xiàn)在區(qū)間(2，4)上有零點

觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3圖象

<

5-4-1

<

3-35－2xy0－132112－1－2－3－44探究活動

1.在區(qū)間(a,b)上____(有/無)零點；

f(a)·f(b)____

0（填＜或＞）．2.在區(qū)間(b,c)上____(有/無)零點；

f(b)·f(c)____

0（填＜或＞）．思考：函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在某種關(guān)系？

猜想：若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上圖象是連續(xù)的，如果有

成立，那么函數(shù)在區(qū)間(a,b)上有零點。觀察函數(shù)f(x)的圖像0yx有<有<f(a)·f(b)<

0二、函數(shù)零點存在性定理：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點。即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根。x－2－1.5012f（x）10944．171－8－107例1.已知函數(shù)f（x）=－3x5－6x＋1有如下對應(yīng)值表：函數(shù)y＝f（x）在哪幾個區(qū)間內(nèi)必有零點？為什么？

探求1：如果函數(shù)y＝

f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一

條曲線，并且有f（a）·f（b）>0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒有零點嗎?探求2：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，但是否只一個零點？探求3：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點時一定有f（a）·f（b）<0

？探求4：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點時一定有f（a）·f（b）<0

？練習(xí)1:下列函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有零點的是()(A)f(x)=3x2-4x+5(B)f(x)=x3-5x-5(C)f(x)=lnx-3x+6(D)f(x)=ex+3x-6練習(xí)2: