高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第11講 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式章末總結(jié)（教師版）

第04講第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01不等關(guān)系和不等式性質(zhì)的認(rèn)知【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正確；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正確；取，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；∵c＞d＞0，則，又a＞b＞0，則，故D正確．故選：C．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：（1）若，且，則有（2）若，則有．請(qǐng)依據(jù)以上材料解答問(wèn)題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析.【詳解】因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊，則，由材料（1）知，，同理，，由材料（2）得：，所以原不等式成立.【變式1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【詳解】對(duì)于A，由，取，，，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，取，，則不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故，則，故D正確．故選：D．【變式2】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則（）A． B． C．

【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)不等式可加性知，故C錯(cuò)誤.故選：B題型02一元二次（分式）不等式【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集是__________【答案】【詳解】，即或，所以不等式的解集為.故答案為：【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋煽傻?，解得，則，因此，.故選：D.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【詳解】，解得，故解集為，故答案為.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求下列不等式的解集：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)根，.又二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，所以原不等式的解集為.（2）方法一:等價(jià)于①或②解①得,解②得,所以原不等式的解集為.方法二:不等式?所以由二次不等式知所以.所以原不等式的解集為.題型03利用基本不等式求函數(shù)和代數(shù)式的最值【典例1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則取最大值時(shí)x的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C．【典例2】（2023春·陜西咸陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知，且，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.【典例3】（多選）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．的最大值為1【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，，，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，所以的最大值為1，故A正確；當(dāng)，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，即有最大值為2，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BCD．【變式1】（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獮檎龑?shí)數(shù)，且滿足，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】9【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且滿足，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為9.故答案為：9.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】/【詳解】若，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為：.題型04“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值【典例1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二?？计谥校┮阎龜?shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)______.【答案】【詳解】因?yàn)檎龜?shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.【典例2】（2023·山東日照·三模）設(shè)且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得最小值．故答案為：.【典例3】（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由正數(shù)，滿足，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【變式1】（2023春·浙江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．3 B．7 C． D．【答案】C【詳解】由得，所以，由于，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：C【變式2】（2023春·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谥校┮阎龑?shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】/【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：【變式3】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是___________.【答案】4【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值是4，故答案為：.題型05條件最值問(wèn)題【典例1】（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【詳解】可變形為，因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號(hào)成立取到最大值，故選：C.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且滿足，則的最大值為（

）A．9 B．6 C．4 D．1【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為1.故選：D.【典例3】（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】/【詳解】由，且可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，即的最大值為，故答案為：【變式1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）9；（2）16【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.（2）因?yàn)?，，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.【變式2】（2023·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以目標(biāo)式最大值為.故答案為：題型06與基本不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題【典例1】（多選）（2023春·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學(xué)校考期中）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7.5【答案】BC【詳解】由，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，又，結(jié)合選項(xiàng)，可得BC符合題意.故選：.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【詳解】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要的最小值大于等于9即可，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，或舍去，即所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4.故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，這時(shí)改用勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值.【變式1】（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獙?shí)數(shù)滿足，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．9 B．25 C．16 D．12【答案】B【詳解】由得，又因?yàn)椋詫?shí)數(shù)均是正數(shù)，若不等式恒成立，即；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，，即實(shí)數(shù)的最大值為25.故選：B.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【詳解】∵，，不等式恒成立，即恒成立，∴只需,∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，∴，∴m的最小值為，故選：D題型07不等式與實(shí)際問(wèn)題的關(guān)聯(lián)【典例1】（多選）（2023春·河北石家莊·高一石家莊一中校考階段練習(xí)）某單位為了激勵(lì)員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅，第二次漲幅；乙：第一次漲幅，第二次漲幅；丙：第一次漲幅，第二次漲幅.其中，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（

）A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多【答案】BC【詳解】方案甲：兩次漲幅后的價(jià)格為：；方案乙：兩次漲幅后的價(jià)格為：；方案丙：兩次漲幅后的價(jià)格為：；因?yàn)椋删挡坏仁?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，因?yàn)?，所以，，所以方案采用方案乙工資漲得比方案甲多，采用方案甲工資漲得比方案丙多，故選：.【典例2】（2023秋·云南·高一校聯(lián)考期末）某房屋開(kāi)發(fā)公司用37500萬(wàn)元購(gòu)得一塊土地，該地可以建造每層的樓房，樓房的總建筑面積（即各層面積之和）每平方米平均建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層整幢樓房每平方米建筑費(fèi)用提高600元．已知建筑5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為6000元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平米的平均綜合費(fèi)用最低（綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和），公司應(yīng)把樓層建成______層，此時(shí)，該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低為_(kāi)_____元．【答案】【詳解】設(shè)建層，，則平均綜合費(fèi)用：元，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以為了使該樓房每平米的平均綜合費(fèi)用最低（綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和），公司應(yīng)把樓層建成層，該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低為元.故答案為：；【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）近年來(lái)受各種因素影響，國(guó)際大宗商品價(jià)格波動(dòng)較大，我國(guó)某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購(gòu)鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購(gòu)方案.方案一：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購(gòu)鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購(gòu)鐵礦石所花的錢(qián)數(shù)一定，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．方案一更經(jīng)濟(jì) B．方案二更經(jīng)濟(jì)C．兩種方案一樣 D．條件不足，無(wú)法確定【答案】B【詳解】解：設(shè)第一次價(jià)格為，第二次價(jià)格為，方案一：若每次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量，則兩次購(gòu)買(mǎi)的平均價(jià)格為，方案二：若每次購(gòu)買(mǎi)錢(qián)數(shù)為，則兩次購(gòu)買(mǎi)的平均價(jià)格為，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”號(hào)成立，所以方案二更經(jīng)濟(jì).故選：B三、數(shù)學(xué)思想01函數(shù)與方程的思想【典例1】（2023秋·云南西雙版納·高一統(tǒng)考期末）已知不等式的解集是，則__________.【答案】【詳解】由題方程的解為或，則由韋達(dá)定理有：，故故答案為：【典例2】（多選）（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的二次不等式的解集為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．的解集是 D．的解集是【答案】ABC【詳解】因?yàn)榈慕饧?，所以，且的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是或，即，解得：，故A、B正確，選項(xiàng)C：，解得：，故C正確，D不正確.故選：ABC.02分類(lèi)討論思想【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集是全體實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍________．【答案】【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.綜上可得，，故答案為：.【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：．【答案】答案見(jiàn)解析.【詳解】由得或.當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為．綜上：時(shí)，不等式解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為．【典例3】（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知，解關(guān)于的不等式．【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式為，若，不等式為，解得；若，解得或；