專題06垂直平分線（解析版）

專題06垂直平分線考向考向一：線段平分線的性質(zhì)考向二：線段平分線的判定考向三：線段平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用考向四：作線段平分線一、線段平分線的性質(zhì)1．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，若BC=6，AC=5，則△ACE的周長為（

）A．8 B．11 C．16 D．17【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周長=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故選B．2．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市梅里斯達(dá)斡爾族區(qū)八年級期末）如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝（

）A．50° B．100° C．120° D．130°【詳解】解：∵DE是線段AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝50°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，故選：B．3．（2022·山東青島·八年級期末）如圖，在△ABC中，AC=4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【詳解】∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，∴AN=BN，∵△BCN的周長是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故選C．二、線段平分線的判定1．（2022·湖南衡陽·八年級期末）如圖，分別以線段AB的兩端點A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，在線段AB的兩側(cè)分別交于點E，F(xiàn)，作直線EF交AB于點O．在直線EF上任取一點P（不與O重合），連接PA，PB，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【詳解】由作圖可知，EF垂直平分AB，，故A選項正確；，故B選項正確；，故C選項錯誤；，故D選項正確，故選C．2（2022·遼寧盤錦·八年級期末）在銳角三角形ABC內(nèi)一點P，滿足PA=PB=PC，則點P是△ABC（

）A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條高的交點 D．三邊垂直平分線的交點【詳解】∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分線上，同理P在AC，BC的垂直平分線上．∴點P是△ABC三邊垂直平分線的交點．故選D．3．（2022·北京亦莊實驗八年級期末）如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（

）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【詳解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴點A在CD的垂直平分線上，點B在CD的垂直平分線上，∴AB是CD的垂直平分線．即AB垂直平分CD．故選：A4．（2022·河北·石家莊市欒城區(qū)教育局教研室八年級期末）如圖，直線與線段交于點，點在直線上，且，則下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③；④點在線段的垂直平分線上．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】點在線段的垂直平分線上根據(jù)現(xiàn)有條件無法判斷①；②；③故選：A．三、線段平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用1．（2022·河南·駐馬店市第二初級八年級期末）三名同學(xué)分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模?/p>

）A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點【詳解】解：∵三角形的三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三邊中垂線的交點最適當(dāng)．故選：D．2．（2022·遼寧沈陽·八年級期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【詳解】如圖，可知兩個圓弧交點所連直線為線段MN的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得發(fā)射塔應(yīng)該在C處，故選：C．3．（2022·河北廊坊·八年級期末）如圖．已知在△ABC中，AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E，連接AE．若△ABE的周長為13，則AB＋BC的值為（

）A．10 B．13 C．16 D．18【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∵△ABE的周長是13，即AB+BE+AE=13，∴AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AE=13，∴AB＋BC的值為13．故選：B．四、作線段平分線1．（2022·福建省尤溪縣八年級期末）觀察下列作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的中線是（）A．B．C．D．【詳解】解：作AB邊的垂直平分線，交AB于點D，連接CD，∴點D即為線段AB的中點，∴CD為△ABC的邊AB上的中線．故選：B．2．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，已知直線AB和AB上的一點C，過點C作直線AB的垂線，步驟如下：第一步：以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；第二步：分別以點D和點E為圓心，以為半徑作弧，兩弧交于點F；第三步：作直線CF，直線CF即為所求．下列關(guān)于的說法正確的是（

）A．≥ B．≤ C． D．【詳解】解：由作圖可知，分別以點和點為圓心，以為半徑作弧，兩弧交于點，此時，故選：．3．（2022·吉林·長春外國語八年級期末）下列選項中的尺規(guī)作圖（各圖中的點P都在△ABC的邊上），能推出PA＝PC的是（）A．B．C． D．【詳解】解：A．由此作圖知CA＝CP，不符合題意；B．由此作圖知BA＝BP，不符合題意；C．由此作圖知∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，不符合題意；D．由此作圖知PA＝PC，符合題意；故選：D．一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古·烏拉特前旗第三八年級期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．故①正確．②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正確．③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD．∴點D在AB的中垂線上．故③正確．④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD．∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD．∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD．∴S△DAC：S△ABC．故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個．故選D．2．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如圖，在中，DE是AC的垂直平分線，，的周長為13cm，則的周長為（

）A．16cm B．13cm C．19cm D．10cm【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，，∴，，∵的周長為13cm，∴，∴，∴的周長為，故選：C．3．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期末）如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．8【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對稱，設(shè)AC交EF于D，∴當(dāng)P和D重合時，即A、P、C三點共線時，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正確．故選：A．4．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧交于、于，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于，下列四個結(jié)論：①是的平分線；②；③點在的中垂線上；④．其中正確的有（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知是的角平分線，①正確；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正確；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴點D在AB的中垂線上，故③正確；∵∠CAD=30°，∴CD=AD，∵AD=DB，∴CD=DB，∴CD=CB，S△ACD=CD?AC，S△ACB=CB?AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正確，故選D．5．（2022·河北保定·八年級期末）如圖是李老師在黑板上演示的尺規(guī)作圖及其步驟，已知鈍角，尺規(guī)作圖及步驟如下：步驟一：以點為圓心，為半徑畫弧；步驟二：以點為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點；步驟三：連接，交延長線于點．下面是四位同學(xué)對其做出的判斷：小明說：；小華說：；小強說：；小方說：．則下列說法正確的是（

）A．只有小明說得對 B．小華和小強說的都對C．小強和小方說的都不對 D．小明和小方說的都對【詳解】如圖，連接CD、BD，則：CA=CD，BA=BD，∴點C、點B在線段AD的垂直平分線上，即直線BC是線段AD的垂直平分線，∴BH⊥AD，且AH=DH，即小明與小方的說法正確，∵CA不一定平分∠BAH，故小華的說法錯誤，∵點C不一定是BH的中點，故小強的說法錯誤，綜上所述，小明與小方的說法正確，故選：D.6．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足為點H，AD平分∠BAC，與CH相交于點D，過點D作DE∥BC，與邊AB相交于點E，那么下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．DA=DE B．AC=EC C．AH＝EH D．CD＝ED【詳解】解：可以分析出A、B、C選項任何一個成立，那么都可以得到CH是AE的垂直平分線，那么就可以推出其他兩個選項也都成立，但這是不可能的，所以A、B、C都不一定正確，D選項一定正確，證明如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵AD平分，∴，在和中，，∴，∴．故選：D．7．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙壠谀┤鐖D，在中，的垂直平分線交邊于點的垂直平分線交邊于點，若，則的度數(shù)為

．A． B． C． D．【詳解】∵的垂直平分線交邊于點的垂直平分線交邊于點，∴，∴，∵∴∵∴∴∴∴故選：B．二、填空題8．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，在中，，，垂直平分，垂足為Q，交于點P．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊于點D，E；②分別以點D，E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；⑤作射線．若與的夾角為，則________°．【詳解】如圖，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，，，，∵是的平分線，，是的垂直平分線，是直角三角形，，，∵∠α與∠1是對頂角，．故答案為：55°．9．（2022·河北保定·八年級期末）如圖：點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，則△PMN的周長為___________．【詳解】∵P點關(guān)于OA的對稱是點P1，P點關(guān)于OB的對稱點P2，∴OB垂直平分PP1，OA垂直平分PP2，∴PM=P1M，PN=P2N，∴△PMN的周長為PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15，故答案為：15.10．（2022·遼寧·丹東市第十九八年級期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為13cm．分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為27cm，則OA的長為______cm．【詳解】解：連接OB，OC，∵OM是線段AB的垂直平分線，∴，，∵ON是AC的垂直平分線，∴，，∴．∵的周長13cm，∴cm，∴cm．∵的周長為27cm，∴cm，∴cm，∴cm．故答案為：7．11．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙壠谀╀J角中，，AB的垂直平分線與的垂直平分線交于點，則____________【詳解】解：如圖，根據(jù)直平分線的性質(zhì)可得，∵∴∴∴故答案為：136°三、解答題12．（2022·寧夏固原·八年級期末）有公路l1同側(cè)、l2異側(cè)的兩個城鎮(zhèn)A，B，如下圖．電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點C的位置．（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）【詳解】解：連接A,B兩點，作AB的垂直平分線，作兩直線交角的角平分線，交點有兩個．（1）作兩條公路夾角的平分線OD或OE；（2）作線段AB的垂直平分線FG；則射線OD，OE與直線FG的交點C1，C2就是所求的位置．13．（2022·黑龍江大慶·八年級期末）如圖，已知△ABC的BC邊的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB的延長線于點F，EG⊥AC于點G，求證：（1）BF＝CG；（2）AB+AC＝2AG．【詳解】（1）證明：連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點，∴BE＝EC，∵EF⊥AB，EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG；（2）在Rt△AFE與Rt△AGE中，，∴Rt△AF