江西省九江市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理）試題

2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷（理科）第I卷（選擇題）一、單選題(本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分)1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．某企業(yè)有職工150人，中高級(jí)職稱15人，中級(jí)職稱45人，一般職員90人，現(xiàn)抽取30人進(jìn)行分層抽樣，則各職稱人數(shù)分別為（）A．5，10，15 B．5，9，16 C．3，10，17 D．3，9，183．在正方體中，下列直線與成60°角的是（）A． B． C． D．4．下列結(jié)論正確的是（）A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線5．如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)A、D1、E的截面過（）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)C．CD中點(diǎn) D．BB1中點(diǎn)年份年份代碼年銷量/萬斤6．山竹，原產(chǎn)地在印度尼西亞東北部島嶼的一組群島馬魯古，具有清熱瀉火?生津止渴的功效，被譽(yù)為夏季的“水果之王”，受到廣大市民的喜愛.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出某水果經(jīng)銷商近年的山竹銷售情況，如下表所示.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，若年的年份代碼為，則可以預(yù)測(cè)年該經(jīng)銷商的山竹銷量大約為（）A．萬斤 B．萬斤 C．萬斤 D．萬斤7．已知空間向量，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．與夾角的余弦值為8．已知圓臺(tái)的上下底面的半徑分別為3，4，母線長(zhǎng)為，若該圓臺(tái)的上下底面圓周均在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．50π B．100π C．150π D．200π9．已知為三條不同的直線，為三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若且，則C．，，則D．若且，則10．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，若正（主）視圖（等腰三角形）與俯視圖（半圓加等腰三角形）的面積分別為，，則該幾何體的體積為（）第10題第11題A． B． C． D．11．運(yùn)行下圖所示的算法框圖，若輸出結(jié)果為，則判斷框中應(yīng)該填的條件是（）A．k>1009 B．k>1010C．k>1011 D．k>101212．已知球O的半徑為2，三棱錐P－ABC四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，球心O在平面ABC內(nèi)，△ABC是正三角形，則三棱錐P－ABC的最大體積為（）A．3 B．2 C． D．3第II卷（非選擇題）二、填空題(本大題4個(gè)小題，每題5分，共20分)13．已知平均數(shù)為a，標(biāo)準(zhǔn)差是b，則的平均數(shù)是________，標(biāo)準(zhǔn)差是________．14．已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)到平面的距離為，則________.15．已知正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若一個(gè)半徑為的球與此三棱錐所有面都相切，則該三棱錐的側(cè)面積為___________.16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是____.①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③的面積不可能等于；④若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分)17．(本題10分)如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且．求證：（1）、、、四點(diǎn)共面；（2）與的交點(diǎn)在直線上．18．在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2．求：（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF．19．(本題12分)撫州市為了了解學(xué)生的體能情況，從全市所有高一學(xué)生中按80：1的比例隨機(jī)抽取200人進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分為組畫出頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)一，二兩組數(shù)據(jù)丟失，但知道第二組的頻率是第一組的3倍．（1）若次數(shù)在以上含次為優(yōu)秀，試估計(jì)全市高一學(xué)生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)約為多少？（2）求第一組、第二小組的頻率是多少？并補(bǔ)齊頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該全市高一學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)？20．(本題12分)如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是菱形，平面平面.（1）證明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE與平面CDF所成的二面角的正弦值.21．(本題12分)某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的歷年?duì)I業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號(hào)x12345678910營(yíng)業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點(diǎn)圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關(guān)系.這時(shí)，可以對(duì)年份序號(hào)做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2t149162536496481100y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入，以及營(yíng)業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：.22．(本題12分)如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點(diǎn)N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由？數(shù)學(xué)（理科）答案1．B2．D3．B4．D5．B6．A7．B8．B9．D10．A11．B12．B13．14．-1或-1115．16．①②④①如圖當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，可知也是中點(diǎn)且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正確；②如圖取靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)記為，記，，因?yàn)?，所以，所以為靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正確；③如圖作，在中根據(jù)等面積得：，根據(jù)對(duì)稱性可知：，又，所以是等腰三角形，則，故錯(cuò)誤；④如圖設(shè)，在平面內(nèi)的正投影為，在平面內(nèi)的正投影為，所以，，當(dāng)時(shí)，解得：，故正確.故填：①②④.17．（1）證明見解析；（2）證明見解析．證明（1）∵，∴．--------1分∵，分別為，的中點(diǎn)，--------3分∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共面．--------5分（2）∵，不是，的中點(diǎn)，∴，且，故為梯形．∴與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，-------6分∴平面，平面，∴平面，且平面，-------8分∴，即與的交點(diǎn)在直線上．-------10分18．(1)(2)見解析.試題解析：（1）在中，.在中,---------2分--------4分.則.---------6分（2），為的中點(diǎn)，.平面.---------8分平面.為中點(diǎn)，為為中點(diǎn)，，則.--------10分平面.--------12分考點(diǎn)：四棱錐的體積公式；直線與平面垂直的判定與證明.19．（1）8640；（2）第一組頻率為，第二組頻率為．頻率分布直方圖見解析；（3）中位數(shù)為，均值為121.9（1）由頻率分布直方圖，分?jǐn)?shù)在120分以上的頻率為，因此優(yōu)秀學(xué)生有（人）；-------4分（2）設(shè)第一組頻率為，則第二組頻率為，所以，，第一組頻率為，第二組頻率為．-------6分頻率分布直方圖如下：-------8分（3）前3組數(shù)據(jù)的頻率和為，中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為，則，．------10分均值為．------12分20．（1）證明見解析；（2）.（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接．四邊形為正方形，，且為的中點(diǎn)．又四邊形為菱形，．-------2分平面平面-------4分又平面OAE．--------6分（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則．由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，．------8分設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，則故可取，同理故可取，-------10分所以．設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為．-------12分21．（1）；（2）估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入約為2518億元，估計(jì)營(yíng)業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2024年.（1），--------3分，--------5分故回歸方程為.--------6分（2）2021年對(duì)應(yīng)的t的值為121，營(yíng)業(yè)收入，所以估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入約為2518億元.-------8分依題意有，解得，故.因?yàn)椋?------10分所以估計(jì)營(yíng)業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號(hào)為14，即2024年.--------12分22．（1）證明見解析；（2）存在，的值為.（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，------2分∴平面，∵平面，∴，-------4分∵，∴平面.