余角與補(bǔ)角 市賽獲獎(jiǎng)

上水水庫(kù)大壩要修復(fù)加固，施工前要求先測(cè)大壩的傾斜角（即圖中的∠1），壩底是石塊堆積而成,量角器無(wú)法伸入大壩底部測(cè)量,聰明的你有什么簡(jiǎn)單的方法？1βααβ陽(yáng)東縣合山二中岑榮開(kāi)余角和補(bǔ)角4畫(huà)出一個(gè)平角∠AOB，畫(huà)一個(gè)直角∠CDE，并標(biāo)出這兩個(gè)角的度數(shù)，然后過(guò)這個(gè)角的頂點(diǎn)任意畫(huà)一條射線OM和ON，并記為∠AOM=∠1，∠BOM=∠2，∠CDN=∠3，∠EDN=∠4。觀察這兩個(gè)圖形中的兩個(gè)角各有什么關(guān)系。21M180°90°CEN3ABO···D動(dòng)動(dòng)手，畫(huà)一畫(huà)。90°END3畫(huà)出一個(gè)平角∠AOB，畫(huà)一個(gè)直角∠CDE，并標(biāo)出這兩個(gè)角的度數(shù)，然后過(guò)這個(gè)角的頂點(diǎn)任意畫(huà)一條射線OM和ON，并記為∠AOM=∠1，∠BOM=∠2，∠CEN=∠3，∠EDN=∠4。觀察這兩個(gè)圖形中的兩個(gè)角各有什么關(guān)系。

探究1BOM··180°AOM24CCDN發(fā)現(xiàn)：∠1+∠2=∠AOB=180°

，∠3+∠4=∠CDE=90°如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角12那么∠1＋∠2＝180°2.如果∠1與∠2互為補(bǔ)角那么∠1與∠2互為補(bǔ)角1.如果∠1＋∠2＝180°2112如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角311.如果∠1＋∠3＝90°那么∠1與∠3互為余角2.如果∠1與∠3互為余角那么∠1＋∠3＝90°311313問(wèn)題3：互為余角、互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是否一定有公共頂點(diǎn)？

問(wèn)題1：以上定義中的“互為”是什么意思？問(wèn)題2：若，那么∠1、∠2、∠3互為補(bǔ)角嗎？練習(xí)：如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC是∠AOB的平分線①∠AOD的補(bǔ)角是____________②∠AOD的余角是____________③∠DOB的補(bǔ)角是____________∠COD∠AOB∠AOD若∠1+∠2=180°,(已知)

則

.()

若∠1和∠2互補(bǔ),(已知)則

.()若∠3+∠4=90°,(已知)則

.()若∠3和∠4互余,(已知)則

.()3412∠1和∠2互補(bǔ)互補(bǔ)定義∠1+∠2=180°互補(bǔ)定義∠3和∠4互余互余定義∠3+∠4=90°互余定義練習(xí)：（概念理解）找朋友:圖中給出的各角中,哪些互為余角?哪些互為補(bǔ)角?°°°°°°°°ABCDEFGH2（(1)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)：已知∠α(如圖)，請(qǐng)利用三角尺畫(huà)的∠α的余角(2)圖中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么關(guān)系？為什么？(3)這一結(jié)論用文字怎么敘述？同角的余角相等A(等)α2β11又因?yàn)椤夕?∠β(1)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)：已知∠α(如圖)，請(qǐng)利用三角板畫(huà)的∠α的余角COBα（D同角的補(bǔ)角相等(等)COBα1AD2αβ12(2)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)

已知∠α(如圖)，請(qǐng)利用三角板畫(huà)的∠α的補(bǔ)角圖中∠α的補(bǔ)角∠1，∠2的大小有什么關(guān)系？為什么？比一比:看誰(shuí)快

1.如圖A、O、B在同一直線上,∠AOC=∠DOE=９０度找出圖中

互余的角：CAOBDE））（）4312∠3與∠4

互補(bǔ)的角：∠AOC=∠BOC=∠DOE=900

相等的角：∠1與∠2，∠1與∠4，∠4與∠AOE∠1與∠DOB，∠2與∠3，

∠2=∠4,

∠1=∠3∠3與∠DOB，∠2與∠AOE，∠AOC與∠BOC，∠AOC與∠DOE，∠BOC與∠DOE

1.如圖A、O、B在同一直線上,∠AOC=∠DOE=９０度找出圖中

海塘大壩要修復(fù)加固，施工前要求先測(cè)出大壩的傾斜角（即圖中的∠1），壩底是石塊堆積而成,量角器無(wú)法伸入大壩底部測(cè)量,聰明的你有什么簡(jiǎn)單的方法？11311上水大壩要修復(fù)加固，施工前要求先測(cè)出大壩的傾斜角（即圖中的∠1），壩底是石塊堆積而成,量角器無(wú)法伸入大壩底部測(cè)量,聰明的你有什么簡(jiǎn)單的方法？21

點(diǎn)滴收獲●本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？●通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)后,你有什么感受?

1221back∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°等角的余角相等等角的補(bǔ)角相等．互余互補(bǔ)數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)圖形性質(zhì)1、理一理今天學(xué)習(xí)的知識(shí)2、比一比:看誰(shuí)快CAOBDE））（）4312解：設(shè)∠4=x，則∠1=2x∵∠1+∠DOE+∠4=1800∴∠2=∠3(同角的余角相等)答：∠2的度數(shù)為30度。即∠4＝30°解得x＝30°∴2x＋90°＋x＝180°又∵∠2＋∠COE＝90°，∠4＋∠COE＝90°1.如圖A、O、B在同一直線上,∠AOC=∠DOE=90°，

若∠1＝2∠4，求∠2的度數(shù)。如圖：∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∠A與∠BCD有什么大小關(guān)系？為什么？BCAD答：∠A=∠BCD因?yàn)椤螦+∠B=90°∠BCD+∠B=90°所以∠A=∠BCD（同角的余角相等）所以∠A=90°-∠B

∠BCD=90°-∠B3、練一練4、游戲：折一折算一算1、如圖1，把三角形的一角折疊得到折痕EF，已知:∠EFB=，求:∠EFC的度數(shù)（（FEDCBA如圖15、填表∠α∠α的余角∠α的補(bǔ)角5°32°45°97°62°23′x27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°83°90°x180°x注意：1、只有銳角有余角；

2、一個(gè)角的余角與它的補(bǔ)角相差90°.從上面這張表格中,你還能得到什么信息?

用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題是常用的一種策略。例1

若一個(gè)角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)。解：設(shè)這個(gè)角是x°，則它的補(bǔ)角是（180-x）°,

余角是(90-x)，根據(jù)題意得:

（180-x）°=4(90-x)°

解得：x=60

答：這個(gè)角的度數(shù)是60°。解：設(shè)這個(gè)角為x°，則補(bǔ)角是（180-x）°,請(qǐng)你試一試1、已知：一個(gè)銳角的補(bǔ)角加上20°后等于這角的3倍。求：這個(gè)角的度數(shù)答：這個(gè)角為50°。設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x度請(qǐng)你試一試2、已知：一個(gè)銳角的補(bǔ)角加上20°后等于這個(gè)角余角的3倍。求：這個(gè)角的度數(shù)解：

解得：x=40

答：這個(gè)角是40°。AOBEDC∠1=120°,∠1與∠2互補(bǔ)