【工程力學期末復習】必考知識點

二、剪切〔一〕考試大綱剪切和擠壓的有用計算；剪切面；擠壓面；抗剪強度；擠壓強度。考點主要內容要求：①生疏連接件與被連接件的受力分析；②準確判定剪切面與擠壓面，把握剪切與擠壓的有用計算；③準確理解切應力互等定理的意義，了解剪切胡克定律及其應用。剪切的概念及有用計算剪切的概念PPPPFPS圖5-2-15-2-1所示。件軸線垂直的力作用。②變形特征：構件沿內力的分界面有發(fā)生相對錯動的趨勢。③剪切面：構件將發(fā)生相對錯動的面。FS剪切有用計算名義切應力

或Q表示。假定切應力沿剪切面是均勻分布的。假設As

Fs

為剪力，則名義切應力為(5-2-1)許用切應力

sFAFsn。剪切條件剪切面上的工作切應力不得超過材料的許用切應力(5-2-2)擠壓的概念

F sAs

①擠壓：兩構件相互接觸的局部承壓作用。②擠壓面：兩構件間相系接觸的面。Fb

：承壓接觸面上的總壓力。擠壓有用計算名義擠壓應力(5-2-3)

F bs Absbs式中：Abs

為名義擠壓面面積。當擠壓面為平面時，則名義擠壓面面積等于實際5-2-2所示。dh2dh2hL圖5-2-2鍵的名義擠壓面面積A hLbs 2鉚釘?shù)拿x擠壓面面積為A dtbs許用擠壓應力安全系數(shù)。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力，即FA b Absbs

bs切應力互等定理剪切胡克定律純剪切圖5-2-3剪切引起的剪應變5-2-3圖5-2-3②剪應變：在切應力作用下，單元為正，反之為負。切應力互等定理平面交線的切應力，總是大小相等，且共同指向或背離這一交線〔5-2-，即剪切胡克定律當切應力不超過材料的剪切比例極限時，切應力與剪應變成正比，即GG為剪切彈性模量。對各向同性材料，E、G、間只有二個獨立常數(shù)，它們之間的關系為G三、扭轉

E1〔一〕考試大綱轉的強度條件：扭轉角計算及剛度條件。考點主要內容要求：①了解桿件產生扭轉變形的受力特征與變形特征；②了解傳動軸的外力偶矩計算，把握求扭矩和作扭矩圖的方法；③把握橫截面上切應力分布規(guī)律和切應力的計算；④把握圓截面極慣性矩、抗扭截面系數(shù)計算公式。扭轉的概念扭轉的力學模型5-3-1所示。MeMee圖5-3-1扭轉的力學模型相垂直的外力偶作用。發(fā)生相對轉動。③扭轉角：桿件任意兩橫截面間相對轉動的角度。外力偶矩的計算軸所傳遞的功率、轉速與外力偶矩間有如下關系：(5-3-1)(5-3-2)

Me9.55nrminMe7.02nrminN的單位為千瓦〔kW〕或公制馬力〔PS

，1PS

735.5Nms；n的單位為轉每分〔r/min，Mek·m。扭矩和扭矩圖稱為扭矩，用T5-3-2，其值用截面法求得。②扭矩符號：扭矩T的正負號規(guī)定，以右手法則表示扭矩矢量，當矢量的指向與截面外向的指向全都時，扭矩為正，反之為負。③扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。圓桿扭轉時的切應力及強度條件橫截面上的切應力切應力分布規(guī)律5-3-3。M memMeMeeT外法線T外法線Me圖5-3-2

TMeMe

TT切應力計算公式橫截面上距圓心為的任一點的切應力

T IP(5-3-3)橫截面上的最大切應力發(fā)生在橫截面周邊各點處其值為max

TRTI p t

(5-3-4)切應力計算公式的爭論①公式適用于線彈性范圍〔max≤圓直桿。T為所求截面上的扭矩。③稱為極慣性矩，Ｗp

稱為抗扭截面系數(shù)，其值與截面尺寸有關。d dddDD(b)圖5.3-4d4

d3(5-3-5)

I ，W P 32 t 16〔5-3-4(b)〕(5-3-6)其中：d。D

D4I P 32

14

D3Wt 16

14圓桿扭轉時的強度條件強度條件：圓桿扭轉時橫截面上的最大切應力不得超過材料的許用切應力，即max

max TWT

p(5-3-7)的計算。圓桿扭轉時的扭轉角計算及剛度條件單位長度扭轉角d T(5-3-8)式中：的單位為radm扭轉角

dx GI T dxGI

PradL p(5-3-9)式中：的單位為radLＬT、G、IP均為常量，則TLGIP(5-3-10)公式適用于線彈性范圍，小變形下的等直圓桿。GI 表示圓桿抵抗扭轉彈性P變形的力量稱為抗扭剛度。圓桿扭轉時的剛度條件剛度條件：圓桿扭轉時的最大單位長度扭轉角不得超赤規(guī)定的許可值，即max

TmaxMGIMp

180

m問題的計算。〔三〕例題分析例題1：某傳動軸，承受M 2.0KNm外力偶作用，軸材料的許用切應力為e60MPad0.8的D，內徑為d

，確定軸的截面尺寸，并確定其重量比。1〔A〕d51.9mm D71.9mm d1

49.52mm

G＝0.3G實〔B〕d41.9mm D61.9mm d1

39.52mm

GG實d50mm D70mm d1

56mm

G G實〔D〕d51.9mm D61.9mm d1

49.52mm

GG實〕解析：1〕橫截面為實心圓截面．設軸的直徑為d，則TTWp16

Me所以有16M316M3e162.21033 80106

51.9103

51.9mmD，得D3W p

1416

Me所以有3 16M1 e4163 16M1 e4162.210330.8480截面面積之比，利用以上計算結果得：4G A4＝＝

D2d211

61.9249.5220.54實 G A 4實

52212：某傳動軸，轉速n=300r/min轉/分1P1

=5023kW234P=10kW，P=P4=20kW。23試畫軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩。假設將輪1與論3PPP1PPP1321348008008002解：(1)計算各傳動輪傳遞的外力偶矩；PM9550 11591.7Nm M1 n 2

318.3Nm M M3 4

636.7Nm畫出軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩；1273.636.(+)1273.636.(+)(-)x318.3Tmax

1273.4kNmT(Nm)(-)

636.(+)xTmax

955kNm

636.7

955所以對軸的受力有利。例題3：圖示受扭圓桿，沿平面ABCD截取下半局部為爭論對象，如圖b所示。ABCD上的切向內力所形成的力偶矩將由哪個力偶矩來平衡？ABCD上的切向內力分布及其大小。該bABCD上切向內力的合力偶矩平衡。解：1、計算長為lABCD上切向內力的合力偶矩。如圖c所示，在縱截面上取一微面積dAld，其上切向內力的合力即dF ldTlds IP微剪力對z軸的微力矩為TdM dFz s

ld Ip

2ld積分得到縱截面上切向內力對z軸的合力偶矩為M dM

2R

2ld

2TlR3

，方向豎直向上。z z 0I 3Ip p2、計算兩端橫截面切向內力的水平重量形成的力偶矩如圖d所示，微面積dAdd上切向內力的水平重量為dFddsin

T2sinddIp右端橫截面上剪力的水平重量為2TF2RT2sin2 R32Ts 0 0I 3Ip p左右兩個橫截面上水平剪力形成繞z軸的力偶矩為2TFls 3Ip

lR3，豎直向下。所以，截面ABCD上的切向內力所形成的力偶矩將由左右兩個橫截面上水平剪力形成的力偶矩平衡。4D=60mmd=50mm，功率P=7.46kW，n=180r/mil=40G=80GP[]=40MPa。設土壤對(2)作鉆桿的扭矩圖，并進展強度校核；(3)A、B兩截面的相對扭轉角。在鉆桿上，并沿鉆桿長度方向均勻分布。1M設鉆機輸出的功率完全用于抑制土壤阻力，則有Prmin

7.46180

390Nm單位長度阻力矩 MT3909.75Nmml 402、作扭矩圖，進展強度校核AA截面為危急截面。其上最大切應力為T D2max 390Nm30103T D2max

max I

P 6045041012m432滿足強度要求。3A、B兩截面的相對扭轉角AB lMdx

Txldx T lAB 0GI 0GI GI 2p p p 32390Nm40 80109Pa6045041012m420.148rad8.485：直徑d25mm的鋼圓桿，受軸向拉力60kN作用時，在標距為200mm的0.113mmMe0.2kNm時，在標距為200mm的長度內相對扭轉了0.732E,G和。EL

FL FL N E EA LA60103200103E 216GPa2520.113 4 109②計算切變模量Ｇ， Ml

Ml 180由公式

e radGIp

e GI p

，求得Ml 180 0.2103200103 180Ge 81.6109Pa81.6GPaIp③由公式G

E

0.732320.02544計算泊松比 E

1

216109

10.3242G 281.6109例題6：圖示圓軸，MA

1.4kNm，MB

0.6kNm，MC

0.8kNm；d40mm，d1

70mm；l1

0.2m，l2

0.4m；60MPa，1m，G80GPa；試校核該軸的強度和剛度，并計算兩端面的相對扭轉角。解：①計算扭矩并作扭矩圖T MBC c

0.8kNmT MAB B

0.6kNm其扭矩見圖。②計算切應力和強度校核力發(fā)生在哪一段截面上，需分別計算兩段截面上最大切應力值。AB段1

T 1Wt1

16MB B600

47.7MPa401033BC段T 16M 2 2 Wt2

Cd32 16800 11.9MPa(70103)3滿足強度要求。③剛度校核進展剛度校核時，需計算最大單位扭轉角1

T 180 32600 1801.71/m1GI 801094041012 1P12T 180 32800 1800.24/m22 GI P2

801097041012 1.71/mmax 1此軸不滿足剛度條件。⑤計算兩端面的相對扭轉角AB、BC段上的扭矩和截面各自不變，要分別計算兩段的相對扭轉角，然后相加； CB 2 1

Tl 22GIP2

Tl 11GIP132 Tl Tl (22 11)G d4 d42 1 32 (8000.46000.2)

180CB 801090.245

704

404

1012 分析與爭論：角，然后從強度和剛度分別考慮，才能保證軸安全正常工作。扭轉角的正、負號，可由該段扭矩的正、負表示?？紤]。7：圖示圓截面軸，ABBCd1d2，且d1=4d2/3，材料的切變模量GM=1kNm，許用切應力[τ]=80MPa，單位長度的許用扭轉角[θ]=0.50/m，試確定軸徑；C的轉角；d 1假設將BC段設計為空心的，內外徑之比 ，則BC段實心與空心D 2的用材量之比為多少？AlBAlBlC解：(1)確定軸徑①考慮軸的強度條件；1AB 2M 1AB

21103161

80106

d 116 11M 1103161 BCBC

2

80106

d 39.9mm216 2②考慮軸的剛度條件； AB

180

210332 1800.5

d 73.5mmAB GIABT

180

80109d4 11 110332 180 BCBC GIBC

0.580109d4 2

d 61.8mm2綜合軸的強度和剛度條件，確定軸的直徑；d 73.5mm1d 61.8mm2d4d 31 2d 82.4mm1d 61.8mm2(2)C的轉角①畫軸的扭矩圖；2M2MM(+)x②求最大切應力；ABmax

AB 2MTW 1T

18.22MPapAB 16 1 BC 21.59MPaBCmax

WPBC

16 2

2比較得

21.59MPamaxC截面的轉角； C AB BC

T lABGIpAB

T lBCGIpBC2Ml Ml 16.6Ml 1

1.42106radGd4G G 32 1 32 2〔3〕BC段設計為空心的，內外徑之比d1BC段截面尺寸D 2①考慮軸的強度條件； M 1 BC 116

D314

8010D314

D40.8mm②考慮軸的剛度條件； TBC

180

1103

D62.83mmBC GI BC

80109D4

14 D62.83mmd31.41mmBC實心與空心的用材量之比軸的材料、長度一樣，則質量比等于軸的橫截面面積之比4Q4BC＝QBC實

D2d2d2

0.784 2分析與爭論：分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。所以空心軸的重量比實心軸輕。慣性矩愈大，從而提高了軸的搞扭強度和剛度。求等因素。五、彎曲〔一〕考試大綱積分法、疊加法。考點主要內容要求：彎曲內力①了解平面彎曲的概念，生疏具有縱對稱面的梁產生平面彎曲的條件；②嫻熟梁內剪力，彎矩的正負號規(guī)定；③嫻熟把握用截面法求指定截面的剪力、彎矩；依據(jù)這些方程作圖；的正確性。彎曲應力①了解中性軸的概念及其在截面上的位置；適用條件；〔圓形，矩形〕的軸慣性矩、抗彎截面的計算公式；生疏中性軸為截面對稱軸或非對稱軸時的正應力強度條件；④生疏常見截面切應力的分布規(guī)律及切應力計算公式；彎曲變形①生疏列出梁撓曲線近似微分方程的步驟；②用積分法求解濰的位移時，能正確寫出梁的邊界條件和連續(xù)條件；③利用梁在簡潔荷載下的變形結果，會用疊加法求梁的位移。彎曲內力平面彎曲的概念彎曲變形是桿件的根本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。彎曲變形特征任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對轉動，同時桿的軸線也彎成曲線。平面彎曲〔外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面〔軸線彎曲后所在平面〕5-5-1所示。圖5-5-1圖5-5-1〔橫向力或外力偶都作用在此縱對稱面內。〔即橫向力必需通過橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內。梁橫截面上的內力重量——剪力與彎矩剪力與彎矩F表示。s②彎矩：梁橫截面上法向分布內力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以M表示。③剪力與彎矩的符號：考慮梁微段dx，使右側截面對左側截面產生向下相5-5-2(b)所示。pmAmBpmAmBFSS SFSFSMFSMRMMAMFS(a)RB圖5-5-2

(b)由截面法可知以下兩點?！不蛴覀让娣较虻耐队按鷶?shù)和；且左側梁上向上的外力或右側梁上向下的外力引起正剪5-5-2(a)。F Rs i左〔右〕②橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左側〔或右側〕梁上全部外力對該截5-5-2(a)所示。M MCi左〔右〕剪力方程與彎矩方程方程，表示為F Fs s

x方程，表示為MMx剪力圖與彎矩圖荷載集度與剪力、彎矩間的關系及應用qFs

、M間的微分關系設荷載集度q(x)為截面位置x(5-5-1)

F

x

dF sdx

qxdx s(5-5-2)F

x s qx(5-5-3)

dx2 dx應用5-5-1和式5-5-2說明剪力圖上某點的切線斜率等于梁上相應點處的荷載集度，彎矩圖上某點的切線斜率等于梁上相應截面上的剪力。由式5-5-3的幾何意義可依據(jù)M(x)對xM(x)圖的凸凹q(x)>0Mq(x)<0Mq(x)＝0M圖為直線。5-5-1可得(5-5-4)

dFxqxdxA s A

F F SB SA AB即截面B上的剪力與截面A上的剪力之差等于梁上AB間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必需無集中外力作用。5-5-2可得BdMxBFxdxA A sM M B A AB(5-5-5)AB間剪力圖的面積，但兩截面之間必需無集中力偶作用。5-5-15-5-2，依據(jù)梁上的荷載集度，判定剪力、彎矩圖5-5-45-5-5Fs

Ri左〔右〕

MCi左〔右〕確定掌握截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。特別截面上的剪力、彎矩值Fs

圖有突變，M圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向全都。Fs

M圖有突變。其突變值等于該力偶則向正方向突變，否則反之。5-5-1，以供參考。表5-5-1 幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征力的狀況向下的均布荷q無荷載集中力PC集中力偶Me向下方傾斜的剪力圖上的特 直線征 或般為或處有突變在C處無變化CPC征物線或一般為斜直線C處有尖角C處有突變或CMe截面F0的截s面在剪力變號的在緊靠C點的截面 某一側的截面彎曲正應力彎曲正應力和正應力強度條件純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而無剪力時的彎曲，稱為純彎曲。中性層與中性軸①中性層：桿件彎曲變形時既不伸長也不縮短的一層。②中性軸：中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應力為零的各點的連線。面形心，且垂直于荷載作用平面。〔關系為1M EIz為變形后中性層〔或桿軸〕的曲率半徑；EI為桿的抗彎剛度，軸z為z橫截面的中性軸。平面彎曲桿件橫截面上的正應力zzbhhxy圖5-5-35-5-3。②計算公式：任 一 點 應 力

MyI(5-5-7)最 大 應 力(5-5-8)

max

MyIz

zMmax Wz式中：M為所求截面的彎矩；Iz截面對中性軸的慣性矩；Wz為抗彎截面系數(shù)。IW z ，它是一個只與橫截面的開關和尺寸有關的幾何量。對于矩形截z ymaxI bh3,yz 12

max

h,W2

bh26〔5-5-4〔b〕d4 d d3I z 64

,ymax

,W 2 z 32dczdczyhzy(a)

圖5-5-4

爭論：①公式適用于線彈性范圍且材料在拉伸和壓縮時彈性模量相等的狀況。由于切應力在存在，橫截面發(fā)生翹曲，但準確爭論指出，工程實際中的梁，只要跨度與截面高度之比Lh5，純彎曲時的正應力公式仍適用。梁的正應力強度條件強度條件：梁的最大工作正應力不得超過材料的許用正應力，即max

W(5-5-9)到滿足。

c,min

t

c

z時，梁的拉伸與壓縮強度均就得彎曲切應力和切應力強度條件矩形截面梁的切應力〔5-5-。①計算公式F* sSzF*bIz(5-5-10)Fs為橫截面上的剪力；b為橫截面的寬度；Iz為整個橫截面對中性軸的慣S*y處橫線一側的局部截面對中性軸的靜矩。z②最大切應力：發(fā)生在中性軸處zbQzbQyhy圖5-5-5ss 3F 3Fss(5-5-11)其它常用截面圖形的最大切應力

max 2bh 2AF工 字 形 截 F

s

S*zmax(5-5-12)式中：dIz

S*

Idz可查型鋼表。圓(5-5-13)環(huán)(5-5-14)

形 截 面 形 截 面

4Fsmax 3A1Fsmax 2A最大切應力均發(fā)生在中性軸上。切應力強度條件

F S* smax zmaxIbz(5-5-15)F

smax

S*zmax

為中性軸一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩；b為橫截面在中性軸處的寬度；Iz為整個橫截