培優(yōu)專題11分類討論求解等腰三角形的多解問題-解析版

培優(yōu)專題11分類討論求解等腰三角形的多解問題◎類型一：對于頂角和底角的分類討論方法歸納：方法歸納:對于等腰三角形,只要已知它的一個內(nèi)角的度數(shù),就能算出其他兩個內(nèi)角的度數(shù),如果題中沒有確定這個內(nèi)角是頂角還是底角,就要分兩種情況來討論.在分類時要注意:三角形的內(nèi)角和等于180°;等腰三角形中至少有兩個角相等。1．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）若一個等腰三角形有一個內(nèi)角為82°，則它的底角為（

）A．82° B．16° C．82°或49° D．82°或36°【答案】C【分析】分底角為82°與頂角為82°兩種情況討論，當頂角為82°時，底角為×（180°﹣82°）＝49°．【詳解】解：有兩種情況：①底角是82°，②頂角是82°，則底角是×（180°﹣82°）＝49°．所以底角為82°或49°．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論．2．（2022·江西吉安·八年級期末）某等腰三角形的頂角50°，則其每個底角是（

）A．50° B．60° C．65° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：等腰三角形的頂角，每個底角，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西·西安愛知初級八年級階段練習(xí)）若等腰三角形有一個內(nèi)角為40°，則它的頂角度數(shù)為________．【答案】100°或40°【分析】根據(jù)題意可分當頂角為40°時和底角為40°時進行分類求解即可．【詳解】解：①當頂角為40°時，則底角的度數(shù)為：；②當?shù)捉堑亩葦?shù)為40°時，頂角的度數(shù)為；綜上所述：它的頂角的度數(shù)為40°或100°；故答案為：40°或100°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．4．（2021·甘肅·莊浪縣陽川八年級期中）等腰三角形的頂角為36°，它的底角為______．【答案】72°##72度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵（180°-36°）÷2=72°，∴底角是72°．故答案為：72°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021·黑龍江·肇源縣第二九年級期中）以正方形ABCD的邊BC為邊作等邊△PBC，連接AP、DP，則∠APB＝_____．【答案】或【分析】分兩種情況討論：當點P在正方形ABCD內(nèi)部時；當點P在正方形ABCD外部時，即可求解．【詳解】解：如圖，當點P在正方形ABCD內(nèi)部時，∵△PBC是等邊三角形，∴BP=BC，∠PBC=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴BA=BP，∠ABP=∠ABC-∠PBC=90°-60°=30°，∴；如圖，當點P在正方形ABCD外部時，∵△PBC是等邊三角形，∴BP=BC，∠PBC=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴BA=BP，∠ABP=∠ABC+∠PBC=90°+60°=150°，∴；綜上所述，∠APB＝或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．◎類型二對腰長和底長的分類討論方法歸納:在解答已知等腰三角形邊長的問題時,當題目條件中沒有明確說明哪條邊是“腰”,哪條邊是“底”時,往往要進行分類討論。判定的依據(jù)是:三角形的任意兩邊之和大于第三邊;兩邊之差小于第三邊。6．（2020·全國·八年級單元測試）已知等腰三角形的一邊長5cm，另一邊長8cm，則它的周長是A．18cm B．21cm C．18cm或21cm D．無法確定【答案】C【分析】解決本題要注意分為兩種情況,5為底或8為底，還要考慮到各種情況是否滿足三角形的三邊關(guān)系來進行解答.【詳解】等腰三角形有兩邊分別是5cm和8cm，此題有兩種情況：①5為底邊，那么8就是腰，則等腰三角形的周長為5+8+8=21cm；②8為底邊，那么5是腰，則等腰三角形的周長為5+5+8=18cm，∴等腰三角形的周長為21或18cm，故答案為C.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及基本概念，利用等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.7．（2021·山東臨沂·八年級期中）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．7cm或5cm C．5cm D．3cm【答案】D【分析】分3cm長的邊是腰和底邊兩種情況，分別利用三角形的周長，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系進行討論即可求解．【詳解】解：當長是3cm的邊是底邊時，三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；當長是3cm的邊是腰時，底邊長是13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不滿足三角形的三邊關(guān)系．故底邊長是3cm．故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，正確理解題意，分兩種情況討論，并且注意到利用三角形的三邊關(guān)系定理，是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國·七年級開學(xué)考試）一個三角形三個內(nèi)角的比是3：3：6，且最短邊長為10厘米，則該三角形的面積是_____平方厘米．【答案】50【分析】首先根據(jù)題意和三角形的內(nèi)角和確定三角形的形狀，然后根據(jù)確定的形狀求解面積即可．【詳解】解：∵，三角形的內(nèi)角和為180°，∴，，該三角形的三個內(nèi)角分別為45°，45°，90°，∴該三角形為等腰直角三角形，∵該三角形最短邊長為10厘米，∴等腰三角形的腰長為10厘米，∴該三角形面積為：平方厘米，故答案為：50．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，理解并熟記三角形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．9．（2017·山東煙臺·七年級期末）已知等腰三角形的周長為，其中一邊長為，那么這個等腰三角形的底邊長為____.【答案】或【分析】由于長為5cm的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論．【詳解】由題意知，應(yīng)分兩種情況：(1)當腰長為5cm時，則另一腰也為5cm底邊為18?2×5=8cm，∵0<8<5+5，∴邊長分別為5cm，5cm，8cm，能構(gòu)成三角形；(2)當?shù)走呴L為5cm時，腰的長=(18?5)÷2=6.5cm，∵0<5<6.5+6.5∴邊長為6.5cm，6.5cm，5cm，能構(gòu)成三角形．故答案為5或8.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.10．（2017·新疆·烏魯木齊市第九十八七年級階段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為6和9兩部分，則它的底邊長是_________.【答案】7或3【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，設(shè)等腰三角形的腰長AB=AC=2x，BC=y，∵BD是腰上的中線，∴AD=DC=x，有兩種情況：①若AB+AD的長為6，則2x+x=6，解得x=2，則x+y=9，即2+y=9，解得y=7；②若AB+AD的長為9，則2x+x=9，解得x=3，則x+y=6，即3+y=6，解得y=3；所以等腰三角形的底邊長是7或3.故答案為7或3.點睛：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)和分類討論思想.利用等腰三角形的性質(zhì)并運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵所在.◎類型三：對銳角、直角和鈍角三角形的討論方法歸納:根據(jù)等腰三角形頂角的大小,可以將其分為銳角、直角和鈍角三角形,不同的三角形其高、中線、垂直平分線的交點位置均不同,比如銳角三角形腰上的高在這個三角形的內(nèi)部;直角三角形腰上的高在這個三角形上;純角三角形腰上的高在這個三角形的外部,因此在解答時需要分類討論。11．（2022·山東東營·七年級期末）若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則這個等腰三角形的底角度數(shù)為（）A．75或15° B．75° C．39° D．30°或80°【答案】A【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后分別從等腰三角形一腰上的高在內(nèi)部與在外部去分析，根據(jù)直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，則此直角邊所對的角是30°角，再由等邊對等角的知識，即可求得這個三角形的底角．【詳解】解：如圖①：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵CD=AC，∴∠A=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=；如圖②：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵CD=AC，∴∠CAD=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B=30°，∴∠B=∠ACB=15°．∴這個三角形的底角為：75°或15°，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．12．（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）等腰三角形的一個角是80°，則它底角的度數(shù)是（

）A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°【答案】C【分析】根據(jù)題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個等腰三角形的一個角等于80°，①當這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是80°，②設(shè)該等腰三角形的底角是x，則2x+80°=180°，解可得，x=50°，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°；綜上，該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°或80°．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理；通過三角形內(nèi)角和定理，列出方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．13．（2021·福建·莆田第七八年級期中）在△ABC中，∠A＝70°，AB＝AC，則∠B的度數(shù)是____．【答案】55°##55度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的兩個底角相等解答即可．【詳解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠C＝∠B，又∵∠A=70°，∴，故答案為：55°.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江西吉安·七年級期末）在中，，點P是射線BA上的任意一點，當為等腰三角形時，的度數(shù)為______．【答案】108°或72°或36°【分析】分三種情況討論：當時，推出，推出；當時，推出；當時，推出．【詳解】解：當時，，∴，當時，，當時，．綜上，∠BPC的度數(shù)為108°或72°或36°．故答案為：108°或72°或36°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的存在性，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊對等角的性質(zhì)，三角形的三個角都有可能是頂角，分類討論．15．（2022·福建泉州·七年級期末）“特征值”的定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值稱為