天津市寶坻區(qū)高中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

天津市寶坻區(qū)高中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.2．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或3．已知直線在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是（）A或1 B.或C. D.14．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.5．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.26 B.－7C.－10 D.－136．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.8．繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺(tái) B.圓臺(tái)或兩個(gè)圓錐的組合體C.圓錐或兩個(gè)圓錐的組合體 D.圓柱9．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓的切線，A，B為切點(diǎn)，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.10．在等比數(shù)列中,，,則等于A. B.C. D.或11．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)n的值是（）A. B.C. D.12．在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線斜率為___________.14．已知在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若△的面積為2，邊上中線的長(zhǎng)為．且，則△外接圓的面積為___________15．若圓被直線平分，則值為__________16．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作直線（1）若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程（2）若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且交拋物線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)18．（12分）已知橢圓F：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率為，直線和是分別過(guò)橢圓F的左、右焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線，它們與橢圓分別相交于點(diǎn)A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點(diǎn)P，Q，使得為定值．若存在，請(qǐng)求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）在（1）的條件下，證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)；（3）若存在，使得，求的取值范圍20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角正弦值.21．（12分）在二項(xiàng)式展開式中，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為.（1）求n的值及展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).22．（10分）設(shè)函數(shù)（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B2、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.3、A【解析】分截距都為零和都不為零討論即可.【詳解】當(dāng)截距都為零時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，；當(dāng)截距不為零時(shí)，，.綜上：或.故選：A.4、B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從中任取個(gè)不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，解得，故.故選：C.6、D【解析】根據(jù)給定條件利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出作答.【詳解】命題：，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D7、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過(guò)程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B8、C【解析】討論是按直角邊旋轉(zhuǎn)還是按斜邊旋轉(zhuǎn)【詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉(zhuǎn)可得下圖的兩個(gè)圓錐的組合體：故選：C9、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時(shí)即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當(dāng)最小時(shí)，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D10、D【解析】∵為等比數(shù)列，∴，又∴為的兩個(gè)不等實(shí)根，∴∴或∴故選D11、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C12、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對(duì)大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】首先求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：14、或【解析】由已知，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形面積公式、余弦定理列方程求邊長(zhǎng)b、c，應(yīng)用余弦定理求邊長(zhǎng)a，根據(jù)正弦定理求外接圓半徑，再用圓的面積公式求面積.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系有，又，∴，∴，∴．又，∴，即又據(jù)題意，得，且，∴或，故或，∴△外接圓的半徑或，∴△外接圓的面積為或故答案為：或15、；【解析】求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線方程求解即可【詳解】解：的圓心圓被直線平分，可知直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，可得解得；故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，可得適合題意，當(dāng)時(shí)，可求函數(shù)的最小值即得，當(dāng)時(shí)不合題意，即得.【詳解】設(shè)，由題可知，∴，當(dāng)時(shí)，，適合題意，所以，當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，∴，又，∴，∴，即，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故的值有正有負(fù)，不合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最小值，結(jié)合，可得，進(jìn)而通過(guò)解，即得.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）8【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)，則求解.（2）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，再根據(jù)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，解得或，∴直線的方程為：或（2）拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去得，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）存在點(diǎn)，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，橢圓方程為：，橢圓過(guò)點(diǎn)，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問(wèn)2詳解】由題可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為，點(diǎn)，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因?yàn)椋裕?jiǎn)得由題意，知，所以設(shè)點(diǎn)，則，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，也滿足此方程所以點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點(diǎn)，使得為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理法及題設(shè)條件求出點(diǎn)M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問(wèn)題得到解決.19、（1）遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)通分化簡(jiǎn)，求出解得，在列出與在區(qū)間上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而．在對(duì)進(jìn)行分類討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)，在對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，在對(duì)進(jìn)行分情況討論，即可得的得到答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由解得與在區(qū)間上的情況如下：–↘↗所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值，無(wú)極大值【小問(wèn)2詳解】由（1）知，在區(qū)間上的最小值為因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)【小問(wèn)3詳解】設(shè)，①若，則，符合題意②若，則，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增所以，存在，使得的充要條件為，解得③若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意綜上，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、證明給定區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題，以及含參存在問(wèn)題，屬于難題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且連結(jié)因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，且由知由知平面?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系由已知得取平面的法向量設(shè)，則設(shè)平面的法向量為由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”21、（1），常數(shù)項(xiàng)為（2）5【解析】（1）求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，求出第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再利用已知條件列方程求出的值，從而可求出常數(shù)項(xiàng)，（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，則，從而可求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈?項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以，令，