玉溪市重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

玉溪市重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知角的終邊經(jīng)過點，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，2．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.3．過點P(2，1)作直線l，使l與雙曲線－y2＝1有且僅有一個公共點，這樣的直線l共有A.1條 B.2條C.3條 D.4條4．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標(biāo)原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.6．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或7．箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件=“至少有一件次品”，則的對立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒有次品 D.至少一件次品8．在中，若，，，則此三角形解的情況為（）A.無解 B.兩解C.一解 D.解的個數(shù)不能確定9．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.10．某中學(xué)舉行黨史學(xué)習(xí)教育知識競賽，甲隊有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規(guī)則，比賽時現(xiàn)場從中隨機抽出名選手答題，則至少有名女同學(xué)被選中的概率是（）A. B.C. D.11．已知集合，，則（）A. B.C. D.12．若橢圓的一個焦點為，則的值為（）A.5 B.3C.4 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，，，則______14．已知拋物線C的方程為：，F(xiàn)為拋物線C的焦點，傾斜角為的直線過點F交拋物線C于A、B兩點，則線段AB的長為________15．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______16．若數(shù)列滿足，則稱為“追夢數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項公式__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍18．（12分）已知橢圓上的點到焦點的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點，與軸交于點，且滿足,若，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，求證：；（3）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.21．（12分）如圖1，已知正方形的邊長為，分別為的中點，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，點在線段上（含端點）運動，連接（1）若為的中點，直線與平面交于點，確定點位置，求線段的長；（2）若折成二面角大小為，是否存在點M，使得直線與平面所成的角為，若存在，確定出點的位置；若不存在，請說明理由22．（10分）已知點，，線段是圓的直徑.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點，則,，（為坐標(biāo)原點），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點，設(shè)焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.3、B【解析】利用幾何法，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，得出符合條件的結(jié)論.【詳解】由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y＝±x，則點P(2，1)在漸近線y＝x上，又雙曲線的右頂點為A(2，0)，如圖所示．滿足條件的直線l有兩條：x＝2，y－1＝－(x－2)【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與雙曲線的公共點有一個的條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合圖形，得出結(jié)果，屬于中檔題目.4、A【解析】根據(jù)充分、必要條件間的推出關(guān)系，判斷“x>1”與“x>0”的關(guān)系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.5、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】根據(jù)斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設(shè)直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D7、C【解析】利用對立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產(chǎn)品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據(jù)對立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對立事件為：“兩件正品”，即”沒有次品“故選：C8、C【解析】求出的值，結(jié)合大邊對大角定理可得出結(jié)論.【詳解】由正弦定理可得可得，因為，則，故為銳角，故滿足條件的只有一個.故選：C.9、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A10、D【解析】現(xiàn)場選名選手，共種情況，設(shè)，，，四位同學(xué)為男同學(xué)則沒有女同學(xué)被選中的情況，共有6種，利用對立事件進行求解，即可得到答案；【詳解】現(xiàn)場選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設(shè)，，，四位同學(xué)為男同學(xué)則沒有女同學(xué)被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學(xué)被選中的概率為.故選：.11、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運算求.【詳解】∵，，∴故選：B12、B【解析】由題意判斷橢圓焦點在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點在軸上，則，從而，解得：.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.2【解析】根據(jù)二項分布的均值和方差的計算公式可求解【詳解】依題意得X服從二項分布，則，解得，故答案為：14、8【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，再求出點A，B的橫坐標(biāo)和即可計算作答.【詳解】拋物線C：焦點，準(zhǔn)線方程為，依題意，直線l的方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則，于是得，所以線段AB的長為8.故答案為：815、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式求公差d，進而寫出等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時目標(biāo)式有最小值為.故答案為：16、##【解析】根據(jù)題意，由“追夢數(shù)列”的定義可得“追夢數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進而可得若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進而由等比數(shù)列的通項公式可得答案【詳解】根據(jù)題意，“追夢數(shù)列”滿足，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為﹣1，無極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數(shù)法得到，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減∴當(dāng)時，取得極大值﹣1所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減極大值為﹣1，無極小值【小問2詳解】由，得，令，只需.求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取得最大值，∴k的取值范圍為18、(1)(2)，或【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得：，，λ，根據(jù)向量的坐標(biāo)坐標(biāo)，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實數(shù)m的取值范圍【詳解】(1)由已知，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知,設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，由韋達定理得①②因為，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所以.因為，所以，即，解得，所以，或.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，向量的坐標(biāo)表示，不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題19、（1）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)（2）證明見解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結(jié)論，（3）由，故，然后分和討論的最大值與比較可得結(jié)果【小問1詳解】當(dāng)時，（），則，由，解得；由，解得，因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)k＝1時，，故令，則，即，所以【小問3詳解】由，故當(dāng)時，因為，所以，因此恒成立，且的根至多一個，故在(0，1]上單調(diào)遞增，所以恒成立當(dāng)時，令，解得當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；于是，與恒成立相矛盾綜上，的取值范圍為[1，＋∞)【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是利用（1）可得，從而得，然后令，得，最后累加可證得結(jié)論，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題20、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當(dāng)時，，所以當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時函數(shù)有極小值，無極大值.【小問2詳解】因為在上有解，所以在上有解，當(dāng)時，不等式成立，此時，當(dāng)時在上有解，令，則由（1）知時，即，當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍21、（1）是的延長線與延長線的交點，且（2）存在，使得直線與平面所成的角為，且.【解析】（1）通過延長、以及全等三角形確定點的位置并求得線段的長.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷符合題意的點是否存在.【小問1詳解】延長，連接并延長，交的延長線于，由于，所以，所以.所以是的延長線與延長線的交點，且.【小問2詳解】由于，所以平面，，由于平面，所以平面平面.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為