第三章習(xí)題課圓錐曲線中的綜合問題高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

習(xí)題課圓錐曲線中的綜合問題第三章

圓錐曲線的方程1.通過圓錐曲線方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.能根據(jù)圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì)解決綜合問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、范圍與最值問題二、定點(diǎn)與定值問題三、探索性問題內(nèi)容索引一、范圍與最值問題(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)(1,0)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，P為線段MN的中點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，求直線PA的斜率k的取值范圍.解當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，AP的斜率k＝0.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，得(m2＋4)y2＋2my－3＝0.Δ>0顯然成立.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2,0)，①當(dāng)m＝0時(shí)，k＝0.反思感悟圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何圖形特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值與范圍，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.(1)求橢圓C的方程；解當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，不妨令A(yù)(－2,0)，B(2,0)，當(dāng)直線l的傾斜角不為0°時(shí)，設(shè)其方程為x＝my＋4，由Δ>0?(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0?m2>4，設(shè)A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2).二、定點(diǎn)與定值問題證明∵M(jìn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，∴λ2＋μ2＝1，現(xiàn)在需要證明λ2＋μ2為定值1.A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，①②∴a2＝3b2，∴橢圓方程為x2＋3y2＝3b2，又直線方程為y＝x－c.代入橢圓方程整理得x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2為定值.反思感悟解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題需要合理選擇參數(shù)(坐標(biāo)、斜率等)表示動(dòng)態(tài)幾何對(duì)象和幾何量，探究、證明動(dòng)態(tài)圖形中的不變性質(zhì)(定點(diǎn)、定值等)，體會(huì)“設(shè)而不求”“整體代換”在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；解設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.(2)若λ1＋λ2＝－3，試證明：直線l過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).證明由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l的方程為x＝t(y－m)，∴y1－m＝－y1λ1，由題意得y1≠0，∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0. ①消x得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，

②③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由題意，得mt<0，∴mt＝－1，滿足②，得l的方程為x＝ty＋1，故直線l過定點(diǎn)(1,0).三、探索性問題(1)求圓C的方程；解由題意知圓心在直線y＝－x上，設(shè)圓心坐標(biāo)是(－p，p)(p>0)，則圓的方程為(x＋p)2＋(y－p)2＝8，由于O(0,0)在圓上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng).若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.∴橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0).假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)使|QF|＝|OF|，反思感悟(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.跟蹤訓(xùn)練3

試問是否能找到一條斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓

＋y2＝1交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且使M，N到點(diǎn)A(0,1)的距離相等？若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.解設(shè)直線l：y＝kx＋m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只需AP⊥MN即可.消y得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵AP⊥MN，由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1<k<1，且k≠0.故當(dāng)k∈(－1,0)∪(0,1)時(shí)，存在滿足條件的直線l.1.知識(shí)清單：(1)最值或范圍問題.(2)定點(diǎn)與定值問題.(3)探索性問題.2.方法歸納：定義法、函數(shù)法、整體代換.3.常見誤區(qū)：直線與圓錐曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)不正確.課堂小結(jié)隨堂演練解析由拋物線x2＝16y，得到準(zhǔn)線方程為y＝－4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，∵動(dòng)圓的圓心在拋物線x2＝16y上，且動(dòng)圓恒與直線y＝－4相切，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|，如圖所示，即動(dòng)圓必經(jīng)過定點(diǎn)F(0,4).1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線x2＝16y上，且該動(dòng)圓恒與直線y＋4＝0相切，則動(dòng)圓必經(jīng)過的定點(diǎn)為A.(0,4) B.(4,0)C.(2,0) D.(0,2)√12342.已知點(diǎn)P是橢圓C：

上一點(diǎn)，M，N分別是圓(x－6)2＋y2＝1和圓(x＋6)2＋y2＝4上的點(diǎn)，那么|PM|＋|PN|的最小值為A.15 B.16 C.17 √1234圓(x－6)2＋y2＝1和圓(x＋6)2＋y2＝4的圓心為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則當(dāng)M，N為如圖所示位置時(shí)，|PM|＋|PN|的最小值為2a－(2＋1)＝17.3.直線l與拋物線C：y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率k1，k2滿足k1k2＝

，則l的橫截距A.為定值－3 B.為定值3C.為定值－1 D.不是定值√1234解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234∴y1y2＝6，設(shè)直線l：x＝my＋b，代入拋物線方程可化為y2－2my－2b＝0，∴y1y2＝－2b，∴－2b＝6，∴b＝－3，∴l(xiāng)的橫截距為－3.4.已知點(diǎn)P為直線l：x＝－2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線y2＝2px(p＞0)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1·x2＝_____.41234解析不妨設(shè)P(－2,0)，過P的切線方程設(shè)為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程y2＝2px(p＞0)，得k2x2＋(4k2－2p)x＋4k2＝0，又k≠0，故x1x2＝4.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.AB為過橢圓

(a>b>0)中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則△AFB面積的最大值為A.b2

B.abC.ac

D.bc√解析由橢圓的對(duì)稱性知，A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·|yB|，故當(dāng)|yB|＝b時(shí)，△AFB面積最大，最大面積為bc.基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.已知P為拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，Q為圓(x－6)2＋y2＝1上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為√12345678910111213141516∵Q是圓(x－6)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，√123456789101112131415164.拋物線y2＝4x上不同兩點(diǎn)A，B(異于原點(diǎn)O)，若直線OA，OB斜率之和為1，則直線AB必經(jīng)過定點(diǎn)A.(0,2) B.(0,4) C.(－4,0) D.(－2,0)√解析設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋b(b≠0)，并代入拋物線方程，消去x得y2－4ty－4b＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，12345678910111213141516∴b＝－4t，所以直線AB的方程為x＝ty－4t＝t(y－4)，過定點(diǎn)(0,4).√12345678910111213141516又因?yàn)橹本€PA斜率的取值范圍是[1,2]，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析聯(lián)立兩個(gè)方程化為5x2＋8tx＋4t2－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516而Δ＝(8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得0≤t2<5.12345678910111213141516312345678910111213141516解析如圖，可設(shè)A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，12345678910111213141516解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴l(xiāng)AB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C，則C(2,0).故△ABO與△AFO面積之和的最小值為3.123456789101112131415169.已知△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y2＝2x的頂點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)都在拋物線上，且∠AOB＝90°.(1)求證：直線AB必過一定點(diǎn)；12345678910111213141516證明設(shè)OA所在直線的方程為y＝kx(k≠0)，12345678910111213141516∴直線過定點(diǎn)P(2,0).(2)求△AOB面積的最小值.解由于直線AB過定點(diǎn)P(2,0)，∴可設(shè)直線AB的方程為x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2).12345678910111213141516∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4，∴當(dāng)m＝0時(shí)，△AOB面積的最小值為4.10.已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.(1)證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；12345678910111213141516把y＝kx＋2代入y＝2x2得2x2－kx－2＝0，12345678910111213141516∵直線l與拋物線C相切，123456789101112131415161234567891011121314151611.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：

(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為A.4 B.8 C.16 √12345678910111213141516綜合運(yùn)用不妨設(shè)D在第一象限，E在第四象限，12345678910111213141516∴|ED|＝2b，12345678910111213141516∴C的焦距的最小值為8.√12345678910111213141516則|PQ|的值要最大，即點(diǎn)P到圓心的距離加上圓的半徑為|PQ|的最大值，解析設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，由于點(diǎn)P是拋物線x2＝8y上任意一點(diǎn)，12345678910111213141516由于點(diǎn)Q是圓x2＋(y－2)2＝1上任意一點(diǎn)，1234567891011121314151612345678910111213141516√解析設(shè)直線l的方程為x＝my＋n，代入橢圓方程，消去x可得(m2＋4)y2＋2mny＋n2－16＝0，12345678910111213141516x1x2＝m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2n，由PA⊥PB，P(4,0)，可得(x1－4，y1)·

(x2－4，y2)＝0，可得x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋16＝0，m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2－4m(y1＋y2)－8n＋y1y2＋16＝0，化簡(jiǎn)整理可得5n2－32n＋48＝0，123456789101112131415165解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2