北京大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法經(jīng)典課件第十三章-變分法

數(shù)學(xué)物理方法經(jīng)典課件第十三章-變分法本章將為您介紹最基本的變分法概念和相關(guān)定理，以及如何使用變分法解決各種實(shí)際問題。函數(shù)的極小值與極大值定義函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值和最大值關(guān)鍵點(diǎn)最值存在的必要條件是定義域閉區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)示例如何用變分法求出一個(gè)函數(shù)的最值變分法的基本思想歷史變分法最早由歐拉提出，用于解決弦的振動問題基礎(chǔ)概念即泛函、變分、變分的充分性條件等適用范圍常用于動力學(xué)、力學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域變分法的求解步驟1確定待求泛函直接用泛函與變量表示問題2建立變分問題用變分得到待求項(xiàng)的求解方程3求解歐拉-拉格朗日方程得到變量的解方程歐拉-拉格朗日方程歐拉方程第一變分E對的變分=0拉格朗日方程對L求取極小值得到變量的解方程歐拉-拉格朗日方程將歐拉方程與拉格朗日方程結(jié)合在坐標(biāo)系中的歐拉-拉格朗日方程名稱公式說明笛卡爾坐標(biāo)系中的歐拉-拉格朗日方程Euler-LagrangeEquationinCartesianCoordinates用于解決笛卡爾坐標(biāo)系中的問題極坐標(biāo)系中的歐拉-拉格朗日方程Euler-LagrangeEquationinPolarCoordinates用于解決極坐標(biāo)系中的問題廣義坐標(biāo)系中的歐拉-拉格朗日方程GeneralizedEuler-LagrangeEquation適用于任意坐標(biāo)系，常出現(xiàn)于復(fù)雜動力系統(tǒng)的求解中變分法在物理學(xué)和天文學(xué)中的應(yīng)用雙擺問題一種常見的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，可以用變分法求解天體軌道問題變分法常用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)在引力場中的軌道哈密頓力學(xué)問題變分法與哈密頓力學(xué)緊密相關(guān)，許多哈密頓系統(tǒng)的解可以通過變分法求出變分法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1變分計(jì)算一種組合數(shù)學(xué)問題，變分法在計(jì)算中扮演了重要角色2強(qiáng)野健次郎猜想猜想的證明中大量使用了變分法3數(shù)學(xué)物理方程許多數(shù)學(xué)物理方程，例如極小表面問題、圖像處理等，可以通過變分法求解變分法在材料力學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)變能的計(jì)算變分法可以用于確定起伏不平的表面的應(yīng)變能塑性問題變分法非常適合求解包含材料的塑性問題，特別是在三維情況下可逆膜過濾器變分法可用于生成優(yōu)化的薄膜結(jié)構(gòu)，從而獲得理想的可逆膜過濾器變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用Schrodinger方程描述微觀體系的狀態(tài)演化和規(guī)律量子力學(xué)許多量子力學(xué)問題需要使用變分法進(jìn)行求解密度矩陣方程在許多物理學(xué)領(lǐng)域中都需要使用變分法求解此問題變分法在非線分析中的應(yīng)用函數(shù)極值變分法可以用于確定一個(gè)局部最優(yōu)解，即使它不是全局最優(yōu)解極化問題變分法可以用于計(jì)算非線性偏微分方程的極化問題局部算子問題變分法可用于尋找局部算子問題中的局部極小解問題Green函數(shù)的應(yīng)用Green函數(shù)在物理力學(xué)和數(shù)學(xué)中都具有廣泛的應(yīng)用。使用變分法，我們可以確定Green函數(shù)，并將其用于一些物理學(xué)和數(shù)學(xué)問題中。變分法與Lagrange變換Lagrange變換將力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為泛函問題，是變分法中重要的概念之一Lagrange乘子通過Lagrange乘子法，我們可以讓變分法在不同價(jià)值的條件下計(jì)算最優(yōu)解哈密頓力學(xué)中的變分法定義哈密頓的主要目標(biāo)是尋找粒子和場的運(yùn)動方程，在這個(gè)過程中變分法幫助尋找優(yōu)化方案使用場景哈密頓力學(xué)中的變分法有著非常廣泛的適用場合，可以用于計(jì)算所有類型的問題。計(jì)算方法使用變分法和哈密頓力學(xué)的極小值原理，我們可以找到研究問題的最優(yōu)解變分法的數(shù)學(xué)形式變分法可以有多種形式。在一些情況下，我們可以將它看作是一個(gè)泛函或一個(gè)微分方程，而在其他情況下，我們可以將它看成是一個(gè)優(yōu)化問題或一個(gè)最大化二次型問題。變分法與最優(yōu)化問題1單目標(biāo)優(yōu)化問題變分法和單目標(biāo)優(yōu)化問題之間有著深入的聯(lián)系2多目標(biāo)優(yōu)化問題變分法可以用于多目標(biāo)問題，例如基于熵優(yōu)化的多目標(biāo)逆運(yùn)動學(xué)問題3約束優(yōu)化問題變分法可以用于解決受多個(gè)限制條件影響的優(yōu)化問題，例如受多種地質(zhì)應(yīng)力影響的裂隙網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)剖分問題。常見問題的變分方法求解拉布拉斯公式通過變分法，我們可以用拉布拉斯公式解決最優(yōu)無約束分割的問題，以及最優(yōu)定向樹形結(jié)構(gòu)的問題。電荷分布問題變分法結(jié)合不等式制約條件，可