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10第十三講 統(tǒng)籌優(yōu)化問題剛剛過完母親節(jié),馬上就要迎來6月中旬的父親節(jié)了!小朋友們,在這兩個(gè)特別的節(jié)日里你送給爸爸媽媽什么禮物了?呵呵,我們來看看小芳給媽媽送上的母親節(jié)禮物吧!母親節(jié)那天小芳爸爸、媽媽都加班了,小芳想讓爸爸、媽媽下班就能吃上晚飯,送上一份特別的禮物..3分鐘,20115分鐘,做水果沙拉要10分鐘.你知道聰明的小芳是怎樣最合理的安排時(shí)間的嗎?至少需要多長時(shí)間能做好這頓飯?父親節(jié)的時(shí)候你能否也送上這樣一份暖心的禮物?答案提示:聰明的小朋友確定不會(huì)一件一件接著做,那樣會(huì)很鋪張時(shí)間的!合理的安排:先洗米3分鐘,20分鐘〔115分鐘,做水果沙拉要10分鐘,共17分鐘進(jìn)展完,所以至少需要23.當(dāng)有很多事要做時(shí),科學(xué)地安排好先后挨次,就能用較少的時(shí)間完成較多的事情.華羅庚教授在中學(xué)語文課本中,曾有一篇名為《統(tǒng)籌原理》的文章,具體介紹了統(tǒng)籌方法和指導(dǎo)意義.在實(shí)際生活中,我們類型Ⅰ:統(tǒng)籌安排事情類型Ⅰ:統(tǒng)籌安排事情【例1】〔2023〕〔難度系數(shù):★★〕烙餅需要烙它的正、反面,假設(shè)烙熟一塊餅的3221分析:【前鋪】〔奧數(shù)網(wǎng)備選題庫〔難度系數(shù):★★〕用一只平底鍋煎餅,每次能同時(shí)放兩個(gè)餅.假設(shè)煎1個(gè)餅需要2分鐘〔假定正、反面各需1分鐘,問煎1993個(gè)餅至少需要幾分鐘?問煎1994需要幾分鐘?12223個(gè)餅,初學(xué)者看來422324是,這不是最正確方案.最優(yōu)方法應(yīng)當(dāng)是:首先煎第1211號(hào)餅的反31231分鐘;這樣總共只用3分鐘就煎3個(gè)餅.1、2、32、2、3分鐘,我們可以連續(xù)往下分析,煎44分53+2=566÷2×2=673+4÷2×2=7分鐘,1993199319941994分鐘.原題解答;先將兩塊餅同時(shí)放人鍋內(nèi)一起烙,3分鐘后兩塊餅都熟了一面,這時(shí)取出一塊,其次塊翻個(gè)身,3分鐘,其次塊已烙熟取出,第三塊翻個(gè)身,再將第一塊放入烙另一面,再烙3分鐘,鍋內(nèi)的兩塊餅均已烙熟.這樣烙3921-3=1818÷2×6=54(分鐘),所以一共需要54+9=632222÷2×6=66【例2】(01年小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)〔難度系數(shù):★★〕青少年科技活動(dòng)中心工地上,有一批廢舊建筑材料和垃圾需要清理并運(yùn)離現(xiàn)場,由兩位貨車司機(jī)小王和小李負(fù)責(zé)清理、運(yùn)輸.兩人同時(shí)清理廢舊建筑材料20.53小時(shí),貨車將廢舊建筑材料運(yùn)送收購站,來回需1小時(shí).小王和小李完成這項(xiàng)清理、運(yùn)輸工作返回工地最少需幾小時(shí)?請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一個(gè)最正確方案(1車,裝車時(shí)間不計(jì)).0.51小時(shí);最終,一人運(yùn)送垃圾用321小時(shí)運(yùn)送廢舊建筑材料5+1+3=5小時(shí)).【例】〔06年國家公務(wù)員二類考卷〔難度系數(shù):★★★〕某商店汽水做促銷活動(dòng),規(guī)定每5個(gè)空瓶能換1瓶汽水.小強(qiáng)家買了80瓶汽水,喝完后再按規(guī)定用空瓶去換汽水,那么他們家前后最多能喝到多少瓶汽水?〔此題主要是讓學(xué)生有興趣把這個(gè)答案試出來,并明白可以借瓶的概念.〕〔03年國家公務(wù)員考試〕〔難度系數(shù):★★〕12元,每瓶汽水3元,每三個(gè)空汽水瓶可以換一瓶汽水,請(qǐng)問怎樣才能每人喝到一瓶汽水?分析:12431134+1+1=6〔法1〕我們依據(jù)實(shí)際換汽水過程分析:808016瓶汽水;161631個(gè)空瓶;3瓶汽水,連上次余下的14個(gè)空瓶.14個(gè)空瓶一起又1瓶汽水,喝完后將空瓶還了.瓶〕.以上方法正確運(yùn)用“5個(gè)空瓶可換1瓶汽水”這個(gè)條件,特別是最終一次換瓶的技巧,你不充分利用有沒有簡便的算法呢?〔法〕留意到“每5個(gè)空瓶可換一瓶汽水〔連汽水帶瓶〕這個(gè)條件,可知每4個(gè)空瓶就能換到一瓶汽水〔不帶瓶,那么喝剩的80個(gè)空瓶共能換到20瓶汽水,所以小強(qiáng)家前后共能喝到80+20=10〔瓶〕80+80÷〔5-1〕=100〔瓶〕.1〔3〕41瓶汽水〔不帶瓶141瓶汽水實(shí)際能喝到1 1〔1+ 4〕瓶汽水,因此他家前后共能喝到80×〔1+ 4〕=100瓶汽水.【例】〔07年期望六年級(jí)杯培訓(xùn)試題〔難度系數(shù):★★★〕學(xué)校師生1140人外出參觀,打算每人發(fā)2瓶汽水,每瓶汽水售價(jià)261汽水,使每人按打算喝到汽水,節(jié)約多少元?1分析:每6個(gè)空瓶就能換到1瓶汽水,即每5個(gè)空瓶就能換到1瓶汽水〔不帶瓶,即1個(gè)空瓶能換5瓶1 1汽水,那么買一瓶汽水實(shí)際能喝到〔1+5〕瓶汽水,因此需要買1140×2÷〔1+5〕=1900〔瓶〕汽水.節(jié)約出來1140×2-1900=380〔瓶〕380×2=760〔元〕.【例5】〔奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫〕〔難度系數(shù):★★★〕有十個(gè)村莊,座落在從縣城動(dòng)身的一條大路上,現(xiàn)要安裝水管,從縣城供各村自來水.可以用粗、細(xì)兩種水管,粗管每千米70002023足夠供給全部各村用水,細(xì)管只能供給一個(gè)村用〔圖中單位是千米分析:由于細(xì)管相對(duì)于粗管來講,價(jià)錢要少一些,因此先假設(shè)都用細(xì)管.那么從縣城到A110根細(xì)管,A1A2970002023413因此,從縣城到A71A7A83A8村到A92A9A10村鋪1根細(xì)管.總費(fèi)用為:7000×〔30+5+2+4+2+3+2〕+2023×〔2×3+2×2+5×1〕=366000〔元〕.類型Ⅱ:沙漠探險(xiǎn)類型Ⅱ:沙漠探險(xiǎn)【例】〔奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫〔難度系數(shù):★★★★1〕有5他們315千米的汽油。明顯,5個(gè)人不行500們打算在保證其余車安全返回動(dòng)身點(diǎn)的前提下,讓一輛車穿越沙漠。固然,實(shí)現(xiàn)這一打算需要幾輛車相互借用汽油。問:穿越沙漠的那輛車最多能穿越多寬的沙漠?〔2〕假設(shè)允許將汽油留在途中供返回的汽車使用,上題其他條件都不變,那穿越沙漠的那輛車最多能穿越多寬的沙漠?1〕5輛車從A點(diǎn)一起動(dòng)身,到B點(diǎn)時(shí)1輛車留下夠自己返回A點(diǎn)的汽油,剩下的汽油全部轉(zhuǎn)給4輛車,留意,B4輛車4輛車連續(xù)前進(jìn),到C2輛車留下夠自己返回A點(diǎn)的汽油,剩下的汽油全部轉(zhuǎn)給其余3輛3輛車連續(xù)前進(jìn)……E4A5輛車.5輛車是加滿汽油的,還能向315千米.5輛車能走多遠(yuǎn)呢?我們來算算.5輛車到達(dá)B14輛車消耗掉的汽油補(bǔ)上,加上自己來回AB的汽油,所以應(yīng)3156份,2份供自己來回AB,44輛車每輛加l4輛車都加滿汽油.AB長為:315÷6=52.5(千米);4BC點(diǎn)時(shí),44份〔BC〕2CB返回A,所以第25份BC+1份AB=31〔千米,由上可知6份AB=31〔千米AB=BC26份,3份供自己從B到C,再從C返回A,33輛車加滿汽油,由此知BC52.5千米.同理,CD=DE=52.5(千米).552.5×4+315=525(千米).一般地,假設(shè)有n(n>1)輛一樣的汽車,每輛車帶的油都恰好夠行駛s千米的路程,其它條件不變,那s s1n1千米返回,在最終一輛車“沖刺”之前,最終一輛車已行駛了〔n-1〕n1千米,s所以最終一輛車能行駛:(n1)n1s(千米)這個(gè)問題解決的很完善.提.假設(shè)允許將汽油留在途中供返回的汽車使用,狀況就大不一樣了.〔2〕如右圖所示,5AB點(diǎn)時(shí),第lB3輛車從B返回A的汽油,然后自己返回A.4輛車都已加滿了汽油,并且無“后顧之憂B返回A43輛車返B.同理,C3輛車的狀況,到D2輛車的情形,到E1輛車的情形.AB
S(依照上題思路,將第一輛車的汽油分成9份,留意這里第五輛車不會(huì)來),9BC
S
S,DE
S,E至終點(diǎn)=S,7 5 3S S S S所以第5輛車最遠(yuǎn)能行駛: S354563105315563〔千米〕9 7 5 3【例】〔奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫〔難度系數(shù):★★★★〕甲乙兩個(gè)人要到沙漠中探險(xiǎn),他們每天向沙漠深處走2024天的食物和水,如不允許將局部食物放于途中,那么其中一個(gè)人最多可以深入沙漠多少千米?(要求最終兩人都回到動(dòng)身點(diǎn))〔法一:利用上例思路解答,所以可以往前行走16.〔法二:可以設(shè)走了x天后,乙把食物補(bǔ)給甲,此時(shí)乙還需預(yù)留x天的食物,所以乙還能補(bǔ)給甲2-2x〕天的食物。而甲此時(shí)也已消耗掉了x天的食物,為了給甲補(bǔ)滿,所以需要:24-2x=x,可得x=8,剩24B816B16【例】〔06年期望杯一試〔難度系數(shù):★★★〕有一位探險(xiǎn)家,打算用6天的時(shí)間徒步橫穿沙漠,假設(shè)搬運(yùn)工人和探險(xiǎn)家每人最多只能攜帶1個(gè)人四天所需的食物和水,那么這個(gè)探險(xiǎn)家至少要雇用多少名工人?s s(n1)n1s)s=4(n1)n1s6)得n=,所以要雇傭3-1=〔名〕工人.固然這道題目我們可以通過試出答案,這里主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)規(guī)律總結(jié)的理解應(yīng)用,但同時(shí)請(qǐng)留意條件的變化.類型Ⅲ:排隊(duì)問題類型Ⅲ:排隊(duì)問題【例】〔07年期望杯六年級(jí)培訓(xùn)試題〔難度系數(shù):★★★〕五位顧客,依據(jù)他們所要理的發(fā)型,分別需要10,12,15,20和24分鐘.怎樣安排他們的理發(fā)挨次,才能使這五人理發(fā)和等候所用時(shí)間的總和最少?最少要用多少時(shí)間?分析:【前鋪】〔奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫〕〔難度系數(shù):★★〕5個(gè)人各拿一個(gè)水桶在自來水龍頭前等候打水,他12345安排他們的打水挨次,才能使每個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和最???并求出最小值.分析:55×4×3×2×1=120們不妨先來看一個(gè)簡潔的例子:小理發(fā)用10240分鐘,只有一個(gè)理發(fā)師,那么怎樣使12需3、4、5分鐘的人逐次調(diào)整到第三、四、五位.所以將五人依據(jù)打水所需時(shí)間由少到多的挨次排隊(duì),所費(fèi)時(shí)間最省.這樣得出5人排隊(duì)和打水時(shí)間總和的最小值是:1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35〔分鐘〕.教1015241220102〔10×3〕分;然后,甲給需151〔15×2〕分;最終,甲給需24〔10×3+15×2+24〕〔12×2+20〕〔10×3+15×2+24〕+〔12×2+20〕=128〔分〕.依據(jù)上面的安排,從第一人開頭理發(fā)到五個(gè)人全部理完,用了10+15+24=49〔分〕.假設(shè)題目中再要求從第一人開頭理發(fā)到五人全部理完的時(shí)間最短,那么做個(gè)調(diào)整,甲依次給需10,12,20分鐘的人理15,2412810+12+20=42〔分〕.【例1】 〔101培訓(xùn)試題〔難度系數(shù):★★★★〕車間里有五臺(tái)車床同時(shí)消滅故障,第一臺(tái)到五臺(tái)修復(fù)時(shí)間依次為18,30,17,25,20分鐘,每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元.現(xiàn)有兩名工作效率一樣的修理工,怎樣安排才能使得經(jīng)濟(jì)損失最少?怎樣安排才能使從開頭修理到修理完畢歷時(shí)最短?〔1〕一人修1230,另一人修18255×17×3+22+30+1×2+2〕附加題目=910〔元〕.附加題目〔2〕由于〔18+30+17+25+20〕÷2=55〔分〕,經(jīng)過組合,一人修需18,17和20302555類型Ⅳ:場地設(shè)置問題類型Ⅳ:場地設(shè)置問題【例1】 〔04年我愛數(shù)學(xué)夏令營試題〔難度系數(shù):★★〕一條直街上有5棟樓,從左到右編號(hào)為1,2,3,4,5,相鄰兩樓的距離都是50米.第1號(hào)樓有1名職工在A廠上班,第2號(hào)樓有2名職工在A廠上班……第5號(hào)樓有5名職工在A廠上班A廠打算在直街上建一通勤車站接送這5棟樓的職工上下班為使這些職工到通勤車站所走的路程之和最小,車站應(yīng)建在距1號(hào)樓多少米處?分析:如以下圖4號(hào)樓1150米處.〔人大附中分班考試題〔難度系數(shù):★★★〕10千米有一座倉庫〔如右圖共有五座,圖中數(shù)字表示各倉庫庫存貨物的重量.現(xiàn)在要把全部的貨物集中存放在一個(gè)倉庫里10.9元,那么集中到哪個(gè)倉庫運(yùn)費(fèi)最少?.E60A往EB,B40EEB點(diǎn)集中到CC60噸.此時(shí)C點(diǎn)和E60C、EE點(diǎn)集中到DD是70噸.所以C點(diǎn)也要集中到D10303020+20×10+60×10〕×0.9=1530〔元〕.我們從中可以覺察:對(duì)于集中貨物的問題,集中到何處起打算作用的是貨物的重量,而至于距離,僅僅只是為了計(jì)算.【例12】〔三帆中學(xué)分班考試〕〔難度系數(shù):★★★〕有七個(gè)村莊A1,A2,…,A7分布在大路兩側(cè)〔見右圖〕,由一些小路與大路相連,要在大路上設(shè)一個(gè)汽車站,要使汽車站到各村莊的距離和最小,車站應(yīng)設(shè)在哪里?分析:此題可簡化為“B,C,D,E,F(xiàn)1,1,2,2,1〔見右圖〕,求一點(diǎn),使全部人走到這一點(diǎn)的距離和最小”.明顯D、E最大,靠攏完的結(jié)果變成了D=4,E=3,所以車站設(shè)在D.【附〔奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫〔難度系數(shù):★★★〕有2023問完成任務(wù)后應(yīng)當(dāng)在大路的什么地點(diǎn)集合,可以使他們從各自的宣傳崗位沿大路走到集合地點(diǎn)的路程總和最?。俊彩讕煾街信嘤?xùn)測試題〔難度系數(shù):★★〕如右E為使五棟樓的居民到郵筒的距離之和最短,郵局應(yīng)立于何處?.那么我們先來分析一下AE兩個(gè)點(diǎn),不管這個(gè)郵筒放在AE之間的那一點(diǎn),A到郵筒的距離加上E到郵筒的距離就是AE的長度.也就是說郵筒放在哪兒不會(huì)影響這兩個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和.3B、D兩個(gè)到郵筒的距離之和小,應(yīng)把郵筒放在BD之間.BD之間,B、D到郵筒的BD.C點(diǎn)到郵筒的距離最近就行了.那么固然也就是把郵筒放C點(diǎn)了.這里就表達(dá)了一個(gè)“向中心靠攏的思想”.【前鋪2〔交大附中培訓(xùn)試題〔難度系數(shù):★★〕88送奶站應(yīng)建在哪個(gè)幼兒園?分析:找最中間的那個(gè)幼兒園,可這時(shí)最中間的幼兒園有兩個(gè),這該怎么辦呢?其實(shí)經(jīng)過爭論覺察,建在這兩個(gè)幼兒園都一樣,路程和最短,所以可以建在D或E.假設(shè)我們只要求建在這條道路上的一點(diǎn)即可,DED、E原題解答:向中心靠攏的思想,當(dāng)有偶數(shù)〔2n〕個(gè)人時(shí),集合地點(diǎn)應(yīng)選在中間一段AnAn+1點(diǎn)〔AnAn+1〕;當(dāng)有奇數(shù)〔2n+1〕An+12023=2×1002+1〔奇數(shù)〕個(gè)人,因此集合地點(diǎn)應(yīng)選在從某一端數(shù)起第1003【附2】〔奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫〕〔難度系數(shù):★★★★〕某鄉(xiāng)共有六塊麥地,每塊麥地的產(chǎn)量如右圖.試問麥場設(shè)在何處最好?〔運(yùn)輸總量的千克千米數(shù)越小越好.〕F-E-C-D明顯麥場設(shè)在CF-E-C-AD就靠到C,B移到G,當(dāng)作“干”上一成員.【附3〔奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫〔難度系數(shù):★★〕甲、乙、丙三名車工預(yù)備在同樣效率的3零件,各零件加工所需要的時(shí)間分別為4,5,6,6,8,9,9分鐘,三人同時(shí)開頭工作.問:加工完七個(gè)零件最少需要多長時(shí)間?分析:依據(jù)需要加工的時(shí)間,我們可以把七個(gè)零件大體分成3組,由于4+5+6+6+8+9+9=47.那么可知不管怎么組合,都必定消滅有一組的時(shí)間是17+66+9〔+9〕或〔+66〔598+〕或4+8+9〔9〕所以加工完最少需要17分鐘.4】(06美國數(shù)學(xué)競賽試題)〔難度系數(shù):★★★〕在A國的遙遠(yuǎn)的東部地區(qū),與B接壤處有一個(gè)城鎮(zhèn),這個(gè)鎮(zhèn)上的道路設(shè)計(jì)得如同方格柵欄一樣,有點(diǎn)像美國的曼哈頓.這種道路設(shè)計(jì)最初在古希臘使用.七個(gè)伙伴住在城鎮(zhèn)七個(gè)不同的地方,城鎮(zhèn)的何處見面?請(qǐng)用△在以以下圖中標(biāo)注出來.分析:七個(gè)人到豎向最近的位置是七個(gè)人中間位置在第4豎街區(qū),七個(gè)人到橫向最近的位置是七個(gè)人中間545橫街區(qū)交匯處見面.【附〔全國小學(xué)奧林匹克〔難度系數(shù):★★★5個(gè)空瓶可以換1瓶汽水,某班同學(xué)喝了161其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的,那么他們至少要買汽水多少瓶?分析:16111)128.8129瓶.4練習(xí)十三練習(xí)十三小強(qiáng)、小明、小紅和小蓉4個(gè)小朋友效游回家時(shí)天色已晚,他們來到一條河的東岸,要通過一座小木橋42212411.522.5那么,4分析:要想用最少的時(shí)間,4人都通過小木橋,可承受讓過橋最快的小強(qiáng)來回走,將手電筒送回,這樣就能保證時(shí)間最短了.第一步:小強(qiáng)與小明一起過橋,并由小強(qiáng)帶手電筒返回,共用:1.5+1=2.5(分鐘);其次步:返回原地的小強(qiáng)與小紅過橋后再返回,共用了2+1=3(分鐘);第三步:最終小強(qiáng)與小蓉一起過橋用了2.5分鐘;所以,42.5+3+2.5=8(分鐘).1113271少買多少瓶汽水,合理籌劃,回收空瓶換汽水后,可以保證每人按打算喝到汽水?分析:1908瓶.有一個(gè)水塔要供給某條大路旁的A~F六個(gè)居民點(diǎn)用水〔見右圖,單位:千米,要安裝水管,有粗細(xì)兩種水管,粗管足夠61個(gè)居民點(diǎn)用水,粗管每70002023才能使費(fèi)用最???費(fèi)用應(yīng)是多少?分析:從水塔到C297000元。提示:當(dāng)長度一樣時(shí),四根細(xì)管的費(fèi)用超過一根粗管,所以最終三個(gè)居民點(diǎn)用細(xì)管.有一位探險(xiǎn)家,徒步橫穿沙漠,假設(shè)搬運(yùn)工人和探險(xiǎn)家每人最多只能攜帶1個(gè)人四天所需的食物和水,2名工人,那么他最遠(yuǎn)可以走幾天?分析:6天.右圖是A,B,C,D,E五個(gè)村之間的道路示意圖,○中數(shù)字是各村要上學(xué)的學(xué)生人數(shù),道路上的數(shù)表示兩村之間的距離〔單位:千米學(xué)校的總距離最短,試確定最合理的方案.A點(diǎn)向C點(diǎn)集中,由于依據(jù)“小往大處靠”的原則,雖然A點(diǎn)40人C20E點(diǎn),所以大方向是向E點(diǎn)的方向靠攏。那么BC攏。C80CD、E的原則,看大方向,EDD85DC80.C變成小勢力了.所以最終要集中在DD5臺(tái)車床同時(shí)消滅故障。第一臺(tái)至第五臺(tái)修復(fù)的時(shí)間依次為15,8,29,7,10分鐘,每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5〕損失最少?〔2〕假設(shè)有兩名修理工,那么修復(fù)時(shí)間最少需多少分鐘?〔1780〕361〕按修復(fù)時(shí)間需,11292〕一人修7298,10,15分的.100千米,有一個(gè)倉庫〔如圖〕共有510噸貨物,二號(hào)倉庫有20噸貨物,五號(hào)倉庫存有40噸貨物,其余兩個(gè)倉庫是空的。現(xiàn)在想把所以的貨物集中存放在一個(gè)倉庫10.5元運(yùn)輸費(fèi),那
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