相似三角形的判定及性質

1.3相似三角形的判定及性質

1.3相似三角形的判定及性質相似三角形的定義對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比值叫做相似比(或相似的系數(shù)).復習回顧BACA

C

B

判定兩個三角形相似的簡單方法(1)兩角對應相等,兩三角形相似;(2)兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似;(3)三邊對應成比例,兩三角形相似.BACA

C

B

如何

證明？EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點，且DE∥BC，則在△ABC中有：∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE為

ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延長線于F△ADE∽△ABC預備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.AECBDEBACD判定定理1

對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似.簡述:兩角對應相等,兩三角形相似CBA已知,如圖,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,

∠B=∠B,求證:△ABC∽△A

B

C

A

B

C

DE證明:

在△ABC的邊AB(或AB的延長線)上,截取AD=A’B’,過點D作DE//BC,交AC于點E.由預備定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B

∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△A

B

C∽△ABCA

B

C

CBADE例如圖,在△ABC,AB=AC,D是AC邊上一點,

BD=BC.求證:BC2=AC

CD分析:

遇到線段的比例問題可以考慮三角形的相似證明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C為公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDACBADE已知:如圖△ABC中,點D、E分別在AB、AC上，且求證：DE//BCE

證明:

作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E與點E

重合即DE

與DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的間接證明引理

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.當一個命題的條件和結論所指的概念唯一存在時，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的逆否命題，然后根據(jù)唯一性的原理斷言命題為真，這種解題方法叫做同一法

用同一法解題一般有三個步驟①先作出一個符合結論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；②根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的；

③從而說明已知圖形符合結論．例如圖,在△ABC內任取一點D,連接AD和BD.點E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求證:△DBE∽△ABC.BACDE分析:好容易得出∠ABC=∠DBE只需要再證明即證只要證明△ABD∽△CBE判定定理3對于任意兩個三角形,如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似.簡述:三邊對應成比例,兩三角形相似A

B

C

CBA已知:如圖,在△ABC和△A

B

C

中求證:△ABC∽△A’B’C’證明:

在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A

B,過點D作DE//BC,交AC于點E.DE△ADE∽△ABC∵AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

例如圖,已知D、E、F分別是△ABC三邊、BC、CA、AB的中點.求證：△DEF∽△ABCFDEBAC證明:∵線段EF、FD、DE都是△ABC的中位線∴△DEF∽△ABC例如圖，已知AD、BE分別是△ABC中BC邊和AC邊上的高，H是AD、BE的交點求證：(1)AD

BC=BE

AC

(2)AH

HD=BH