專題5極值點偏移問題（學(xué)生版）

專題5：極值點偏移問題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>極值點偏移：在函數(shù)中，如果兩零點與極值點并不對稱，這時極值點也就發(fā)生了偏移，偏移分為左偏和右偏.是函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對稱性.函數(shù)fx極值點是其導(dǎo)函數(shù)f'x=0時相應(yīng)的值x0，而函數(shù)fx與x軸的交點橫坐標x1,x2為函數(shù)fx的零點，若函數(shù)fx極值點偏移問題分析求解最重要的是要學(xué)會構(gòu)建“一元差”函數(shù)，先將兩變量變形放在原函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用原函數(shù)的單調(diào)性對變量進行大小比較，再通過對這一元差函數(shù)進行求導(dǎo)，證明其值大于零，結(jié)合二階導(dǎo)函數(shù)的意義，對于一階導(dǎo)函數(shù)是否存在零點進行分析求解最值，這應(yīng)該就是求解極值點偏移正確的解題思路和基本步驟.總結(jié)解決極值點偏移問題的方法.處理極值點偏移問題一般有四種解法:構(gòu)造輔助函數(shù)法,對稱化構(gòu)造函數(shù),對數(shù)均值不等式,雙變量齊次化構(gòu)造.四種方法各有優(yōu)劣,其中構(gòu)造輔助函數(shù)和對稱化構(gòu)造函數(shù)是解決極值點偏移問題的通法,是從"形"的角度解決問題.求極值點偏移的常用方法：方法1.換元、構(gòu)造、化齊次：這種方法是最常見的方法，大致分為3步，第一步：代根作差找關(guān)系，第二步：換元分析化結(jié)論，第三步：構(gòu)造函數(shù)證結(jié)論.方法2.消參構(gòu)建法：含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：x1題設(shè)情境是由函數(shù)的切線方程求參數(shù)的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的“兩不同零點之和”的不等式.第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)與方程思想求參數(shù)的值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本方法，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第（2）問利用函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想確定的取值范圍，然后應(yīng)用極值點偏移的基本方法證明.例1（福建省廈門雙十中學(xué)2023屆高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)，且曲線在處的切線為.（1）求m，n的值和的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：.【思路點撥】（1）由導(dǎo)數(shù)得幾何意義列出方程組即可求得的值，再將帶入原函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)中分別求得解析式，由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）若，要證明：，由（1）可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于典型的極值點偏移問題，由移向構(gòu)造新函數(shù)，求得新函數(shù)的單調(diào)性即可證明.練1（江蘇省泰興中學(xué)、南菁高級中學(xué)、常州市第一中學(xué)三校20222023學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)f(x)=(x-2)e（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是f(x)練2（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)fx(1)證明：0＜(2)若f(x)的兩個零點為x1，x2，且x1＜x2，證明：2a＜x1＋x2＜1．題型二：題型二：f'x1題設(shè)情境是討論含參數(shù)變量的函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)的兩不同零點的平均值偏函數(shù)極值點左側(cè).第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類與整合思想討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；第（2）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，借助數(shù)形結(jié)合思想確定函數(shù)f(x)有兩個不同的零點充要條件求參數(shù)a的取值范圍，然后應(yīng)用函數(shù)零點的充分條件探究零點的方程組,利用“消參、換元、構(gòu)造函數(shù)”等基本方法與技巧證明.例2（遼寧省沈陽市2023屆高三上學(xué)期聯(lián)合考試）已知函數(shù)f(x)=e（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;（2）若a>0，設(shè)f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1【思路點撥】第（1）問由f'(x)=2e2x-a,根據(jù)實數(shù)a的正負取值，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負變化,分類討論進行求解即可；第（2）問根據(jù)零點的定義，由函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,推算出實數(shù)a的取值范圍,然后由f'x1+練3（天津市耀華中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期統(tǒng)練）設(shè)函數(shù)fx=（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；（3）若方程f(x)=c有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，求證：．練4（湖北省荊荊宜三校20222023學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，(1)設(shè)，求證：，恒有.(2)若，函數(shù)有兩個零點，求證.題型三：類題型三：類極值點偏移問題題設(shè)情境是討論含參數(shù)變量的函數(shù)的單調(diào)性，證明與函數(shù)的兩不同零點的不等式.第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和分類與整合思想討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；第（2）問由函數(shù)f(x)有兩個不同的零點的充分條件，得到有關(guān)零點的方程組,利用“消參、換元、構(gòu)造函數(shù)”等基本方法與技巧，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性與轉(zhuǎn)化化歸思想證明不等式ex1例3（浙江省嘉興市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)fx=（1）討論fx（2）當a=3時，函數(shù)fx存在兩個零點x1,【思路點撥】第（1）問由已知得f'x=ex-a+1，,然后分1-a≥0、1-a<0兩類情,推算f'x正負取值,即可研究fx的單調(diào)性；第（2）問由題設(shè)可得ex1-ex2=2x1-練5（江蘇省南通市通州區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)f(x)=ln(1)當a=-2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同零點x1，，①求實數(shù)a的取值范圍；②求證：x1練6（湖北省黃岡市20222023學(xué)年高三上學(xué)期階段性質(zhì)量抽測）設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在三個極值點，，，且，求k的取值范圍，并證明：.練7（湖北省宜昌市協(xié)作體20222023學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)實數(shù)，且，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.（江蘇省蘇州中學(xué)2023屆高三上學(xué)期階段質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx=（1）若曲線y=fx在0,f0處的切線與直線5x+y=0平行，求（2）當a=11時，若f'm=f'x1+f'2.（江西省金溪縣第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)f(x)=ex-ax(1)若f(x)是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點，求證：3.（河北省深州市中學(xué)2023屆高三上學(xué)期月考）已知a∈R，fx=x?（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若a>0，函數(shù)y=fx-a有兩個零點x1,x4.（湖南省長沙市周南中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx=2e-（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若x1,x2∈0,1，且5.（福建省漳州第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期階段考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)=xe(1)若x=-1是函數(shù)F(x)=xex-a((2)令函數(shù)Gx=fx-mx+證明：x16.（四川省內(nèi)江市20222023學(xué)年模擬）已知函數(shù)f(x)=x(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)（?。┤魓=3是函數(shù)f(x)的極大值點，記函數(shù)f(x)的極小值為g(a)，