上海市寶山區(qū)淞浦中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

上海市寶山區(qū)淞浦中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知三棱柱中，，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.2．設(shè)AB是橢圓（）的長(zhǎng)軸，若把AB一百等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值是（）A. B.C. D.3．在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.4．已知是空間的一個(gè)基底，，，，若四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.5．從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為（）A. B.C. D.6．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.8．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.10．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知線段AB的端點(diǎn)B在直線l：y=-x+5上，端點(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）12．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)，為銳角，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______.14．已知正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，為面內(nèi)一點(diǎn)．若點(diǎn)到面的距離與到直線的距離相等，則三棱錐體積的最小值為_(kāi)_________15．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.16．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點(diǎn)的軌跡方程18．（12分）已知某中學(xué)高二物化生組合學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表：若抽取了名學(xué)生，成績(jī)分為A（優(yōu)秀），B（良好），C（及格）三個(gè)等級(jí)，設(shè)，分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)，例如：表中物理成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的共有（人），數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锽等級(jí)且物理成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的共有8人，已知與均為A等級(jí)的概率是0.07（1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)多的概率19．（12分）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分線交AC于點(diǎn)D，，求CD的長(zhǎng)20．（12分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長(zhǎng)；（2）圓M過(guò)點(diǎn)A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程21．（12分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.22．（10分）已知等比數(shù)列前3項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意恒成立，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計(jì)算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則，由向量的減法運(yùn)算得，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在三棱柱中，，由向量的減法運(yùn)算得，再展開(kāi)利用數(shù)量積運(yùn)算.2、D【解析】根據(jù)橢圓的定義，寫(xiě)出，可求出的和，又根據(jù)關(guān)于縱軸成對(duì)稱分布，得到結(jié)果詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，由橢圓的定義知，2，，，由題意知，，，關(guān)于軸成對(duì)稱分布，又，故所求的值為故選：D3、B【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形OABC如圖，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，所以.所以.故選：B.4、A【解析】由共面定理列式得，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等計(jì)算.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，設(shè)存在有序數(shù)對(duì)使得，則，即，所以得.故選：A5、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長(zhǎng)，再根據(jù)光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長(zhǎng)為，在圖②中，的周長(zhǎng)為，因?yàn)楣馑傧嗤?，且，所以，即，所以，即的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為，故選：D6、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.7、D【解析】求導(dǎo)后，利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：，則，由得，故選：D.8、D【解析】根據(jù)圓心坐標(biāo)及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.9、D【解析】若直線傾斜角為，由題設(shè)有，結(jié)合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程，若其傾斜角為，則，而，∴.故選：D10、A【解析】因?yàn)橹本€和直線垂直，所以或，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因?yàn)椤爸本€和直線垂直，所以或.當(dāng)時(shí)，直線和直線垂直；當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A11、D【解析】設(shè)，AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，代入圓C1：得點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式，代入，求解即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，AB的中點(diǎn)，則，所以，又因?yàn)槎它c(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動(dòng)，所以，即，因?yàn)榍€C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故選：D.12、C【解析】根據(jù)角終邊上有一點(diǎn)，得到，再根據(jù)為銳角，且，求得，再利用兩角差的正切函數(shù)求解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上有一點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐策m合此等式，所以.故答案為：14、##【解析】由題意可知，點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，如圖在底面建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，直線的方程，將直線向拋物線平移，恰好與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)為點(diǎn)，此時(shí)的面積最小，則三棱錐體積的最小【詳解】因?yàn)闉槊鎯?nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到面的距離與到直線的距離相等，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，如圖在底面，以所在的直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，，直線的方程為，即，設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由，得，由，得，所以與拋物線相切的直線為，此時(shí)切點(diǎn)為，且的面積最小，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以的面積的最小值為，所以三棱錐體積的最小值為，故答案為：15、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2.故答案為：16、36【解析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，所以也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過(guò)的定點(diǎn),再根據(jù)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求解.(2)用直譯法求解【小問(wèn)1詳解】直線即,所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),因?yàn)橹本€PC的斜率所以此時(shí)直線的斜率所以當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求直線的方程為,即【小問(wèn)2詳解】設(shè),易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因?yàn)閳A與圓外切,所以即整理得點(diǎn)的軌跡方程為18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)與均為A等級(jí)的概率是0.07，求得值，再根據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30％求得值，最后利用抽取的總?cè)藬?shù)求出值即可；（2）根據(jù)，，，寫(xiě)出滿足條件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小問(wèn)2詳解】由，，，可知，則試驗(yàn)的樣本空間，共9個(gè)樣本點(diǎn)其中包含的樣本點(diǎn)有共4個(gè)，故所求概率19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而在中，由余弦定理即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，所以，即，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】解：由（1）可知，又；所以，，，所以，在，由余弦定理可得，即，解得20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解（2）根據(jù)已知圓的方程，令y＝0，結(jié)合韋達(dá)定理，求出圓心的橫坐標(biāo)，即可求出圓心，再結(jié)合勾股定理，即可求出半徑【小問(wèn)1詳解】∵圓C：，∴，即圓心為(－1,1)，半徑r＝3，∵直線y＝x，即x－y＝0，∴圓心(－1,1)到直線x－y＝0的距離d＝，∴直線y＝x被圓C所截得的弦長(zhǎng)為＝【小問(wèn)2詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴x2－2x－7＝0，則，|x1－x2|＝＝，∴圓心的橫坐標(biāo)為x＝，∵圓心在直線y＝x+1上，∴圓心為(1,2)，∴半徑r＝，故圓M的方程為21、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意可得，從而可證.(2)由題意可得平面，從而可得，由根據(jù)條件可得，從而可得平面，從而可得證.【小問(wèn)1詳解】由分別為線段的中點(diǎn).由中位線定理知，又平面，且平面，所以直線平面【小問(wèn)2詳解】?jī)蓛纱怪保?且所