2011第一章 解析函數(shù)

1數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙，忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識，因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根2數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)篇數(shù)學(xué)物理方程篇積分變換篇數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)變函數(shù)微商及解析函數(shù)初等解析函數(shù)本章小結(jié)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算數(shù)的擴(kuò)張（完善化）自然數(shù)（+負(fù)整數(shù)）整數(shù)（+分?jǐn)?shù)）有理數(shù)（+無理數(shù)）實數(shù)（+虛數(shù)）復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)概念：一對有序的實數(shù)（x，y）代數(shù)表示z=x+iyx=Real(z)（實部）,y=Imagine(z)（虛部）,i2=-1(虛單位）復(fù)數(shù)及其運(yùn)算幾何表示關(guān)系x=rcosφy=rsinφφ=Arctan(y/x)特點無序性復(fù)數(shù)無大?。１容^大小）矢量性復(fù)數(shù)有方向復(fù)數(shù)及其運(yùn)算任一復(fù)數(shù)z≠0有無窮多個輻角（相差2kπ），以argz表示其中在2π范圍內(nèi)變換的一個特定值，稱之為輻角的主值，通常取

-π＜argz≤π

則Argz=argz+2kπ（k=0，±1，±2，…）

z處于第一象限：argz=arctan（y/x）；第二象限：argz=arctan（y/x）+π；第三象限：argz=arctan（y/x）-π；第四象限：argz=arctan（y/x）。三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|（模）,ψ=Arg(z)（輻角）指數(shù)表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ代數(shù)表示z=x+iyx=Re(z),y=Im(z)復(fù)數(shù)的表示10

實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例解.,的積是實數(shù)兩個共軛復(fù)數(shù)zz結(jié)論：共軛復(fù)數(shù)11共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)以上各式證明略.12例1證.(2);(1)

:

,

,

2121212121zzzzzzzzzz+￡+=證明為兩個任意復(fù)數(shù)設(shè)13兩邊同時開方得同理可證：14設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個復(fù)數(shù)加減運(yùn)算z1±

z2=(x1±

x2)

+i(y1±

y2)

復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則z1+(-

z2)-

z2復(fù)數(shù)的運(yùn)算交換律、結(jié)合律、分配律成立15乘法運(yùn)算

兩個復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加除法運(yùn)算

兩個復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減乘方運(yùn)算當(dāng)r=1時上式對所有n取整數(shù)，恒成立。17開方運(yùn)算從這個表達(dá)式可以看出：1）當(dāng)k=0,1,2…n-1時，得到n個相異的值；當(dāng)k取其他整數(shù)值時，將重復(fù)出現(xiàn)上述n個值。因此，一個復(fù)數(shù)z的n次方根有且僅有n個相異值。2）上述n個方根具有相同的模，而每個相鄰值的輻角差為2π/n，故在幾何上，w的n個值分布在以原點為中心，r1/n為半徑的圓內(nèi)接正n邊形的頂點上。復(fù)數(shù)及其運(yùn)算運(yùn)算加減法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)乘除法r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]冪和開方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)[rexp(iφ)]1/n=r1/nexp(iφ/n)復(fù)共軛z=x+iy→

z*=x–iyz=rexp(iφ)→

z*=rexp(-iφ)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算模有限的復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)平面上的有限遠(yuǎn)點是一一對應(yīng)的。復(fù)變函數(shù)理論中無窮大也理解為復(fù)數(shù)平面上的一個“點”，稱為無限遠(yuǎn)點，記為∞，其模大于任何正數(shù)，輻角不定。平面上的具體點難以描繪無限遠(yuǎn)點，為此引入復(fù)球面的概念。

把一個球放在復(fù)平面，使其南極S與復(fù)平面相切于原點，復(fù)平面上任一點A與球的北極N連線交與球面A’點，則復(fù)平面上每一有限原點與球面上的點一一對應(yīng)（此對應(yīng)稱測地投影），A無限遠(yuǎn)離o

時，A‘點無限趨近于N，故可將N看做無限遠(yuǎn)點的代表點。此球面稱為復(fù)球面或黎曼球面，復(fù)平面上只有一個無窮遠(yuǎn)點。AxyoSA‘N21復(fù)平面上的點集

定義

由不等式(δ為任意的正數(shù))所確定的復(fù)平面點集(以后平面點集均簡稱點集)，就是以z0為中心的δ鄰域或鄰域。而稱由不等式

所確定的點集為z0的去心δ鄰域或去心鄰域。δ

無窮遠(yuǎn)點的鄰域22

定義

設(shè)D為點集，z0為D中的一點。如果存在z0的一個鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點都屬于D，則稱z0為D的內(nèi)點；若點z0的某一個鄰域內(nèi)的點都不屬于D，則稱點z0為D的外點。若在點z0的任意一個鄰域內(nèi)，既有屬于D的點，也有不屬于D的點，則稱點z0為D的邊界點，點集D的全部邊界點稱為D的邊界。內(nèi)點，外點，邊界點開集

注意

區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。定義

若點集D的點皆為內(nèi)點，則稱D為開集Dz0開集23

定義

點集D稱為一個區(qū)域，如果它滿足：

(1)

屬于D的點都是D的內(nèi)點，或D是一個開集；

(2)D是連通的，就是說D中任何兩點z1和z2都可以用完全屬于D的一條折線連接起來。

通常稱具有性質(zhì)(2)的集為連通的，所以一個區(qū)域就是一個連通的開集。區(qū)域D加上它的邊界C(p)稱為閉區(qū)域或閉域，記為區(qū)域Dz1z2p24鄰域z復(fù)平面上圓

內(nèi)點的集合內(nèi)點z和它的鄰域都屬于D，則z為D的內(nèi)點外點z

和它的鄰域都不屬于

D，則

z

為

D的外點邊界點不是內(nèi)點，也不是外點的點邊界全體邊界點的集合z區(qū)域內(nèi)點組成的連通集合閉區(qū)域區(qū)域和邊界線的全體區(qū)域區(qū)域概念總結(jié)25xyORxyORxyROr

1xyR-ROxOyxOy

2

1曲線

如果曲線的實部x(t)和虛部y(t)均為t的連續(xù)函數(shù)，那么曲線Г就叫連續(xù)曲線。

對于連續(xù)曲線，則曲線沒有重點（紐結(jié)），則稱Г為簡單曲線。當(dāng)時，則稱簡單閉曲線。

光滑曲線：若連續(xù)曲線在區(qū)間上存在連續(xù)的及，且兩者不同時為零，則在曲線上每點均有切線且切線方向是連續(xù)變化的。簡單閉曲線把擴(kuò)充復(fù)平面分為兩部分，一部分是不含∞的點集，稱為該曲線的內(nèi)部；另一部分是含∞的點集，稱為該曲線的外部。這兩個區(qū)域都以給的簡單閉曲線（也稱若爾當(dāng)曲線）作為邊界。曲線內(nèi)外部區(qū)分（若爾當(dāng)定理）28單連通域與多連通域

設(shè)B為復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B

，則稱B為單連通區(qū)域，否則稱為多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域29舉例指出下列不等式中點z在怎樣的點集中變動？這些點集是不是單連通區(qū)域？是否有界？301.2復(fù)變函數(shù)(一)復(fù)變函數(shù)的定義31映射(函數(shù))的概念1.映射的定義:32332.兩個特殊的映射:34且是全同圖形.3536根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,37(如下頁圖)38

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形.39以原點為焦點,開口向左的拋物線.(圖中紅色曲線)以原點為焦點,開口向右的拋物線.(圖中藍(lán)色曲線)40(四）函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義:注意:41定理一與實變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.2.極限計算的定理42定理二證根據(jù)極限的定義(1)必要性.43(2)充分性.44[證畢]說明45例1證(一)46根據(jù)定理二可知,證(二)4748例2證49根據(jù)定理二可知,50（五）函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義:51定理三例如,52定理四53例3證541.3導(dǎo)數(shù)(微分)1.導(dǎo)數(shù)的定義:55在定義中應(yīng)注意:56例1

解57例2

解58592.可導(dǎo)與連續(xù):

函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).證[證畢]603.求導(dǎo)法則:

由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實變函數(shù)中一樣,因而實變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.求導(dǎo)公式與法則:61624.微分的概念:

復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致.定義63特別地,64解析函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)f(z)在點z0及z0某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(z)在點z0處解析；又若f(z)在區(qū)域B內(nèi)的每一點解析，則稱f(z)在區(qū)域B內(nèi)是解析函數(shù)說明2.稱函數(shù)的不解析點為奇點1.解析與可導(dǎo)的關(guān)系

函數(shù)在某點解析，則必在該點可導(dǎo)；反之不然在區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)必在B內(nèi)可導(dǎo)

5解析函數(shù)例：函數(shù)只在z=0點可導(dǎo)，因而在復(fù)平面上處處不解析f(z)在點z0

無定義或無確定值；f(z)在點z0

不連續(xù)；f(z)在點z0

不可導(dǎo)；f(z)在點z0

可導(dǎo),但找不到某個鄰域在其內(nèi)處處可導(dǎo)由解析函數(shù)的定義和函數(shù)的求導(dǎo)法則可得:（1）如果函數(shù)f（z）在區(qū)域σ中解析，則它在這個區(qū)域中是連續(xù)的。（2）如果f1（z）和f2（z）是區(qū)域σ中的解析函數(shù)，則其和、差、積、商（商的情形要求分母在σ內(nèi)不為零）也是該區(qū)域中的解析函數(shù)。（3）如果函數(shù)ξ=f（z）在區(qū)域σ內(nèi)解析，而函數(shù)w=g（ξ）在區(qū)域G內(nèi)解析，若對于σ內(nèi)的每一點z，函數(shù)f（z）的值ξ均屬于G，則函數(shù)w=g[f(z)]是區(qū)域σ上復(fù)變量z的一個解析函數(shù)。（4）如果w=f（z）是區(qū)域σ上的一個解析函數(shù)，且在點z0∈σ的鄰域中|f’（z）|≠0，則在點w0=f（z）∈G的鄰域中函數(shù)f（z）的值定義一個反函數(shù)z=ψ（w），它是復(fù)變量w的解析函數(shù)。有f’（z0）=1/ψ’（w0）。66可導(dǎo)：對任何方向的，極限都存在并唯一。xyz復(fù)數(shù)復(fù)函數(shù)

z沿任一曲線逼近零?？挛鳌杪匠?實數(shù)實數(shù)：

x沿實軸逼近零。因此，復(fù)函數(shù)的可導(dǎo)性是比實函數(shù)的可導(dǎo)性條件強(qiáng)得多。Q：當(dāng)u，v有偏導(dǎo)時，在什么補(bǔ)充條件下，W=f(z)也有導(dǎo)數(shù)？

設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D上有定義，在D內(nèi)一點z=x+iy可導(dǎo)，有68柯西—黎曼方程

z沿實軸,

y0可導(dǎo)，要求二者相等必要條件

z沿虛軸,

x069可導(dǎo)的充分條件:f(z)的存在，連續(xù)且滿足柯西—黎曼方程。證：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則二元函數(shù)u

和v

的增量可分別寫為隨著則柯西—黎曼方程這一極限是與的方式無關(guān)的有限值703.解析函數(shù)的充分必要條件4.解析函數(shù)的充分條件函數(shù)f(z)

在區(qū)域B內(nèi)解析當(dāng)且僅當(dāng)(1)實部和虛部在B內(nèi)可微；(2)實部和虛部在B內(nèi)每一點滿足Cauchy-Riemann條件設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B內(nèi)滿足那么f(z)在B內(nèi)解析。調(diào)和函數(shù)微商及解析函數(shù)基本概念實變函數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)71微商及解析函數(shù)高數(shù)中學(xué)習(xí)的所有求導(dǎo)和微分法則都可以推廣到復(fù)變函數(shù)中來，見書P1472微商及解析函數(shù)解析函數(shù)的實部和虛部通過C-R條件聯(lián)系著，因此，只要知道解析函數(shù)的實部（或虛部），就能求出相應(yīng)的虛部（或?qū)嵅浚?。具體可以用以下兩種方法求：（1）已知u求v，可以從全微分出發(fā)：73微商及解析函數(shù)（2）已知u求v，還可以由關(guān)系，對y積分來求：當(dāng)然也可以由關(guān)系兩邊對x積分，類似上述過程求v。例題（見書p20）像解析函數(shù)的實部和虛部這樣的兩個由C-R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù)u和v，稱為共軛調(diào)和函數(shù)。74例：試證在復(fù)平面上解析，且證：這四個偏導(dǎo)在復(fù)平面處處連續(xù)，且：所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)解析，同時75761.4初等解析函數(shù)1指數(shù)函數(shù)這里的ex是實指數(shù)函數(shù)實的正余弦函數(shù)性質(zhì)：77三角正弦與余弦函數(shù)將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.2三角函數(shù)78三角函數(shù)79(注意：這是與實變函數(shù)完全不同的)sinz的零點(i.e.sinz=0的根)為z=n

cosz的零點(i.e.cosz=0的根)為z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(4)(5)sinz,cosz在復(fù)數(shù)域內(nèi)均是無界函數(shù)80其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義813雙曲函數(shù)824對數(shù)函數(shù)因此83對數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)下面等式不再成立而應(yīng)該是84初等解析函數(shù)85865冪函數(shù)冪函數(shù)的基本性質(zhì)

3）當(dāng)a取整數(shù)n時，冪函數(shù)是一個單值函數(shù)。4）當(dāng)a取1/n（n為整數(shù)）時，冪函數(shù)是一個n值函數(shù)。

87本章小結(jié)復(fù)數(shù)的概念（由實數(shù)擴(kuò)展而來）復(fù)變函數(shù)的概念（由實變函數(shù)擴(kuò)展而來）定義：兩個復(fù)數(shù)集合之間的映射；特點：定義域和值域為2維；定義域出現(xiàn)復(fù)連通現(xiàn)象；不能用一個圖形完全描述；極限存在的要求提高；分析：可以分解成2個二元實函數(shù)；解析函數(shù)滿足C-R條件；實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，相互正交。88初等解析函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)

=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性質(zhì)不對稱性周期性exp(z+2kπi)=exp(z)無界性單值性初等解析函數(shù)如果取z=±iθ，則得到歐拉公式：

一般寫成：初等解析函數(shù)三角函數(shù)定義w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)

=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性質(zhì)對稱性周期性無界性單值性初等解析函數(shù)對任何復(fù)數(shù)z，前述Euler公式成立：

復(fù)三角函數(shù)在復(fù)平面解析，且有下面的基本運(yùn)算性質(zhì)：（1）cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù)；初等解析函數(shù)

（2）cosz和sinz是以2π為周期的周期函數(shù)；

（3）初等解析函數(shù)

（4）

（5）（6）cosz在復(fù)平面的零點是:sinz在復(fù)平面的零點是:(7)|sinz|和|cosz|可大于任何正數(shù)（與實函數(shù)情形不同），例如，當(dāng)z=2i時：初等解析函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義w=Ln(z)分析u+iv=Ln[r×

exp(iφ)]

=lnr+iφ

u=lnr,v=φ性質(zhì)對稱性非周期性無界性多值性初等解析函數(shù)多值函數(shù)的概念初等復(fù)變多值函數(shù)的多值性是由于輻角的多值性引起的，所以我們先研究輻角函數(shù)：

w=Argz函數(shù)有無窮個不同的值：