上海市楊浦高中2024屆數學高二上期末調研試題含解析

上海市楊浦高中2024屆數學高二上期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，與其準線交于點（點位于之間）且于點且，則等于（）A. B.C. D.2．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.3．如下圖，邊長為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點，下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為14．新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預防該疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯表：患病未患病總計服用藥104555未服藥203050總計3075105下列說法正確的是（）參考數據：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握認為藥物有效B.有95%的把握認為藥物無效C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為藥物無效D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效5．年月日，很多人的微信圈都在轉發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數字叫“回文數”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數，則位的回文數共有（）A. B.C. D.6．以下說法：①將一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設具有相關關系的兩個變量的相關系數為，那么越接近于0，之間的線性相關程度越高；⑤在一個列聯表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關聯的把握就越大。其中錯誤的個數是（）A.0 B.1C.2 D.37．橢圓的長軸長是（）A.3 B.4C.6 D.88．我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.9．在等差數列中，若，則（）A.5 B.6C.7 D.810．雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.5C. D.11．已知是等差數列，，，則公差為（）A.6 B.C. D.212．已知數列滿足，，.設，若對于，都有恒成立，則最大值為A.3 B.4C.7 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩平行直線與間的距離為3，則C的值是________.14．設直線，直線，若，則_______.15．過圓內的點作一條直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是______16．若正實數滿足則的最小值為________________________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的兩焦點分別為，長軸長為6⑴求橢圓C的標準方程;⑵已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點,求線段AB的長度18．（12分）已知圓內有一點，過點作直線交圓于、兩點（1）當經過圓心時，求直線的方程；（2）當弦的長為時，求直線的方程19．（12分）已知正項等比數列的前項和為，滿足，.記.（1）求數列的通項公式；（2）設數列前項和，求使得不等式成立的的最小值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值21．（12分）在中，，，的對邊分別是，，，已知.（1）求；（2）若，且的面積為4，求的周長22．（10分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到、兩點的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過橢圓C的焦點作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題可得，然后結合條件可得，即求.【詳解】設于點，準線交軸于點G，則，又，∴，又于點且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.2、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C3、D【解析】建立空間直角坐標系，進而根據空間向量的坐標運算判斷A,B,C；對D，算出平面MON的法向量，進而求出向量在該法向量方向上投影的絕對值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則.對A，，則，則A正確；對B，，則，則B正確；對C，，則C正確；對D，設平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯誤.故選：D.4、A【解析】根據列聯表計算，對照臨界值即可得出結論【詳解】根據列聯表，計算，由臨界值表可知，有95%的把握認為藥物有效，A正確故選：A5、C【解析】根據“回文數”的對稱性，只需計算前位數的排法種數即可，確定這四位數的選數的種數，利用分步乘法計數原理可得結果.【詳解】根據“回文數”的對稱性，只需計算前位數的排法種數即可，首位數不能放零，首位數共有種選擇，第二位、第三位、第四位數均有種選擇，因此，位的回文數共有個.故選：C.6、C【詳解】方差反映一組數據的波動大小，將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據線性回歸分析中相關系數的定義：在線性回歸分析中，相關系數為r，越接近于1，相關程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.7、D【解析】根據橢圓方程可得到a，從而求得長軸長.【詳解】橢圓方程為，故，所以橢圓長軸長為，故選:D.8、D【解析】計算出每月應還的本金數，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設張華第個月的還款金額為元，則，故選：D9、B【解析】由得出.【詳解】由可得，故選：B10、D【解析】根據漸近線方程求得關系，結合離心率的計算公式，即可求得結果.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則；又雙曲線離心率.故選：D.11、C【解析】設的首項為，把已知的兩式相減即得解.【詳解】解：設的首項為，根據題意得，兩式相減得.故選：C12、A【解析】整理數列的通項公式有：，結合可得數列是首項為，公比為的等比數列，則，，原問題即：恒成立，當時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項點睛：數列的遞推關系是給出數列的一種方法，根據給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數列的各項，由遞推關系求數列的通項公式，常用的方法有：①求出數列的前幾項，再歸納猜想出數列的一個通項公式；②將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【詳解】兩平行直線與間的距離為3，所以，所以故答案為：14、##0.5【解析】根據兩直線平行可得，，即可求出【詳解】依題可得，，解得故答案為：15、【解析】由已知得圓的圓心為，所以當直線時，被該圓截得的線段最短，可求得直線的方程.【詳解】解：由得，所以圓的圓心為，所以當直線時，被該圓截得的線段最短，所以，解得，所以直線l的方程為，即，故答案為：.16、【解析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，，又，，，當且僅當即，等號成立，.故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)由焦點坐標可求c值，a值，然后可求出b的值．進而求出橢圓C的標準方程（2）先求出直線方程然后與橢圓方程聯立利用韋達定理及弦長公式求出|AB|的長度【詳解】解：⑴由，長軸長為6得：所以∴橢圓方程為⑵設,由⑴可知橢圓方程為①,∵直線AB的方程為②把②代入①得化簡并整理得所以又【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查運算能力，屬于中檔題18、（1）；（2）或【解析】（1）求得圓心坐標，由點斜式求得直線點的方程.（2）分成直線斜率存在和不存在兩種情況進行分類討論，由此求得直線的方程.【詳解】（1）圓心坐標為（1，0），，，整理得（2）圓的半徑為3，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，整理得，圓心到直線的距離為，解得，代入整理得當直線的斜率不存在時，直線的方程為，經檢驗符合題意∴直線的方程為或19、（1），.（2）5.【解析】(1)根據數列的遞推公式探求出其項間關系，由此求出的公比，進而求得，的通項公式.(2)利用(1)的結論結合錯位相減法求出，再將不等式變形，經推理計算得解.【小問1詳解】解：設正項等比數列的公比為，當時，，即，則有，即，而，解得，又，則，所以，所以數列，的通項公式分別為：，.【小問2詳解】解：由(1)知，，則，則，兩式相減得：于是得，由得：，即，令，，顯然，，，，，，由，解得，即數列在時是遞增的，于是得當時，即，，則，所以不等式成立的n的最小值是5.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據等腰三角形可得，再由面面垂直的性質得出線面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角.【小問1詳解】因為Q為AD的中點，，所以，又因為平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小問2詳解】由題可知QA、QB、QP兩兩互相垂直，以QA為x軸、QB為y軸、QP為z軸建立空間坐標系，如圖，根據題意，則，，，，，由M是棱PC的中點可知，，設平面MQB的法向量為，，，則，即令，則，，故平面MQB的一個法向量為，所以，所以直線PB與平面MQB所成角的正弦值為21、（1）（2）【解析】（1）根據正弦定理及題中條件，可得，化簡整理，即可求解（2）由的面積為4，結合（1）中結論，可得，結合余弦定理，可得，從而可求的周長【詳解】解：（1）由及正弦定理得，，又，∴，∴，∴.（2）∵的面積為，∴.由余弦定理得，∴.故的周長為.【點睛】本題考查正弦