上海市上海外國語附屬外國語學校2024屆高二上數學期末監(jiān)測試題含解析

上海市上海外國語附屬外國語學校2024屆高二上數學期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.2．設等差數列前n項和是，若，則的通項公式可以是（）A. B.C. D.3．國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事.某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續(xù)播放5個廣告，其中3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且2個奧運宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有（）A.120種 B.48種C.36種 D.18種4．下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是（）A B.C. D.5．數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.36．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.27．已知直線過點，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.8．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．設函數的導函數是，若，則（）A. B.C. D.10．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.11．在的展開式中，的系數為（）A. B.5C. D.1012．已知橢圓，則下列結論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點M(π，0)處的切線方程為________14．已知等差數列中，，則=_________.15．已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.16．已知B(，0)是圓A：內一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為_________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是數列的前n項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前n項和.18．（12分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調查．將調查數據按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學定義為鍛煉不達標（1）求a的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這6名同學中隨機抽取2名進行調研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率19．（12分）已知E，F分別是正方體的棱BC和CD的中點（1）求與所成角的大??；（2）求與平面所成角的余弦值20．（12分）已知等差數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足：，，求數列的通項公式.21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀22．（10分）已知數列，若_________________（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和從下列三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，然后對題目進行求解①；②，，；③，點，在斜率是2的直線上

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進而轉化為求邊長為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因為在三棱錐中，，所以將三棱錐補形成正方體如圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.2、D【解析】根據題意可得公差的范圍，再逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：設等差數列的公差為，由，得，所以，故AB錯誤；若，則，與題意矛盾，故C錯誤；若，則，符合題意.故選：D.3、C【解析】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，再將另一奧運廣告插入3個商業(yè)廣告之間，最后對三個商業(yè)廣告全排列，即可求解.【詳解】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，有種，另一奧運廣告插入3個商業(yè)廣告之間，有種；再考慮3個商業(yè)廣告的順序，有種，故共有種.故選：C.4、C【解析】根據數列單調性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，B選項對應數列是遞減數列．對于C選項，，故數列是遞增數列．對于D選項，由于．所以數列不是遞增數列故選：C.5、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.6、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.7、C【解析】根據直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C8、B【解析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B9、A【解析】求導后，令，可求得，再令可求得結果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題考查了導數的計算，考查了求導函數值，屬于基礎題.10、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標準方程；2．雙曲線的簡單幾何性質11、C【解析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項12、D【解析】根據已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項錯誤.離心率為，D選項正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得，據此可得切線的斜率，結合切點坐標即可確定切線方程.【詳解】由函數的解析式可得：，所求切線的斜率為：，由于切點坐標為，故切線方程為：.【點睛】導數運算及切線的理解應注意的問題一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點三是復合函數求導的關鍵是分清函數的結構形式．由外向內逐層求導，其導數為兩層導數之積.14、4【解析】由等差數列的通項公式求出公差，進而求出.【詳解】設該等差數列的公差為，則，所以.故答案為：4.15、【解析】根據球的體積公式計算可得；【詳解】解：因為球的半徑，所以球的體積；故答案為：16、【解析】利用橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】連接，由題意，，則，由橢圓的定義可得動點D的軌跡為橢圓，其焦點坐標為，長半軸長為2，故短半軸長為1，故軌跡方程為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）當時，化簡得到，進而得到數列的通項公式；（2）由（1）得到，結合裂項法，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數列的前n項和，且，當時，，當時，，滿足上式，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，可得，所以.18、（1），中位數為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數a，根據中位數的性質，結合頻率直方圖求中位數.（2）首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設，，可得，∴中位數應在之間，令中位數為，則，解得.∴該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數為64.（2）由題設，抽取6名同學中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內的共12種，∴這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率為.19、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的坐標公式即可求出異面直線所成角的余弦值，進而結合異面直線成角的范圍即可求出結果；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的坐標公式即可求出求出線面角的正弦值，進而結合線面角的范圍即可求出結果；【小問1詳解】以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，，，，所以，，設與EF所成角的大小為，則，因為異面直線成角的范圍是，所以與所成角的大小為60°【小問2詳解】設平面的法向量為，與平面所成角為，因為，，所以，，所以，令，得為平面的一個法向量，又因為，所以，所以20、（1）；（2）.【解析】（1）由題設條件，結合等差數列通項公式求基本量d，進而寫出通項公式.（2）由（1）得，應用累加法、錯位相減法及等比數列前n項和公式求的通項公式.【小問1詳解】令公差為d，由得：，解得.所以.【小問2詳解】，則，累加整理，得：，①，②②-①得：，又滿足上式，故.21、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊