高中數(shù)學(xué)《幾何概型》課件

幾何概型（1）所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)(有限性)（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

復(fù)習(xí)1.古典概型2.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)

問題：（1）若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},則從A中任取出一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)不大于3的概率是多少？（2）若A=(0,9],則從A中任意取出一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)不大于3的概率是多少？它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)分別是什么？怎樣求問題2的概率？創(chuàng)設(shè)情境引入新課0123456789

取一根長(zhǎng)為9米的彩帶，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于3米的概率是多少?

問題1問題情境解：記“剪得兩段彩帶都不小于3m”為事件A.

把彩帶三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于繩子上各點(diǎn)被剪斷是等可能的，且中間一段的長(zhǎng)度等于彩帶的.

某列島周圍海域面積約為17萬平方公里，如果在此海域里有面積達(dá)0.1萬平方公里的大陸架蘊(yùn)藏著石油，假設(shè)在這個(gè)海域里任意選定一點(diǎn)鉆探，則鉆出石油的概率是多少？解：記“鉆出石油”為事件A，則

問題2

有一杯1升的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.

問題3解：記“小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌”為事件A,事件A發(fā)生的概率

（2）試驗(yàn)的概率是如何求得的？（1）類比古典概型,說明以上三個(gè)試驗(yàn)有什么共同點(diǎn)？探究

借助幾何圖形的長(zhǎng)度、面積、體積的比值分析事件A發(fā)生的概率.

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個(gè)；②每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型(geometricmodelsofprobability)，簡(jiǎn)稱幾何概型。特征：（1）、無限性：基本事件的個(gè)數(shù)無限（2）、等可能性：基本事件出現(xiàn)的可能性相同P(A)=構(gòu)成事件A的測(cè)度(區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的測(cè)度(區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積)記為：幾何概型的概率公式：有限性等可能性幾何概型古典概型同異等可能性無限性數(shù)學(xué)理論：

將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型．古典概型的本質(zhì)特征：1、樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，2、每一個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的．幾何概型的本質(zhì)特征：3、事件A就是所投擲的點(diǎn)落在S中的可度量圖形A中．

1、有一個(gè)可度量的幾何圖形S；2、試驗(yàn)E看成在S中隨機(jī)地投擲一點(diǎn)；問題：（1）x的取值是區(qū)間[1,4]中的整數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值不小于2”的概率。古典概型P=3/4（2）x的取值是區(qū)間[1,4]中的實(shí)數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值不小于2”的概率。123幾何概型P=2/34總長(zhǎng)度3

問題2（1）x和y取值都是區(qū)間[1,4]中的整數(shù)，任取一個(gè)x的值和一個(gè)y的值，求“x–y≥1”的概率。1234x1234y古典概型-1作直線x-y=1P=3/8問題2（2）x和y取值都是區(qū)間[1,4]中的實(shí)數(shù)，任取一個(gè)x的值和一個(gè)y的值，求“x–y≥1”的概率。1234x1234y幾何概型-1作直線x-y=1P=2/9ABCDEF例1

取一個(gè)長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率。

解：記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A，例2

在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中取出10mL，含有麥銹病種子的概率是多少？解：記“取出10mL麥種，其中含有病種子”為事件A，

麥銹病種子在這1L種子中的分布可以看做是隨機(jī)的，取得的10mL種子可視為區(qū)域d，所有種子可視為區(qū)域D.則有答：含有麥銹病種子的概率是.例3在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,那么AM小于AC的概率有多大？ABCC’M

在AB上截取AC′=AC.當(dāng)點(diǎn)M位于線段AC′內(nèi)，AM<AC，故線段AC′即為區(qū)域d，于是

答：AM小于AC的概率為

由于點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故可以認(rèn)為點(diǎn)M落在線段AB上任一點(diǎn)是等可能的，可將線段AB看做區(qū)域D.解：記“在斜邊AB上任取一點(diǎn)，AM<AC”為事件A,

CAB練習(xí)：在上一題構(gòu)造的直角三角形ABC的基礎(chǔ)上,過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,那么這時(shí)AM<AC的概率有多大？

C’M在AB上截取AC′=AC,則∠ACC′=60°.

答：這時(shí)AM小于AC的概率為.

由于射線CM隨機(jī)地落在∠ACB內(nèi)部,故可以認(rèn)為射線CM落在∠ACB內(nèi)部任一位置都是等可能的.解：記“在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M

，AM<AC”為事件A,

練習(xí)題:2.在等腰直角△ABC中,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求使△ACM為鈍角三角形的概率.3.在等腰直角△ABC中,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM小于AC的概率.1.在等腰直角△ABC中,過直角頂點(diǎn)C任作一條射線L與斜邊AB交于點(diǎn)M,求AM小于AC的概率.例1某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得答：“等待的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為．生活應(yīng)用

練：已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，求乘客到達(dá)站臺(tái)立即能乘上車的概率.012345678910解：記“乘客到達(dá)站臺(tái)立即能乘上車”為事件A,

由于乘客隨機(jī)地到達(dá)站臺(tái)，故可以認(rèn)為乘客在10min內(nèi)到達(dá)站臺(tái)是等可能的.

當(dāng)乘客在地鐵停留的1min內(nèi)到達(dá)站臺(tái)時(shí)，可以立即乘上車.答：乘客到達(dá)站臺(tái)能立即乘上車的概率是.

例2

假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解：設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x,父親離開家的時(shí)間為yABCD試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD事件A包含的區(qū)域?yàn)殛幱安糠諷陰影部分=這是一個(gè)幾何概型則，P(A)=練兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20∶00至21∶00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率．兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即小時(shí)，設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)—≤x—y≤，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解.【解】設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，則可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來表示要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見滿足的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示．1．如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為：P(A)＝2．將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．1．如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計(jì)算公式為：P(A)＝2．“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中常考的題型．3．如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為：P(A)＝

生活中的幾何概型常見的有人約會(huì)問題、船停碼頭、等車等問題，解決時(shí)要注意：(1)要注意實(shí)際問題中的可能性的判斷；(2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長(zhǎng)度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題，構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機(jī)事件的概率，根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域．(2009·山東高考)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cos的值介于0到之間的概率為(

)【解析】在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，cos的值位于[0,1]區(qū)間，若使cos的值位于[0，]區(qū)間，取到的實(shí)數(shù)x應(yīng)在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式可知P=【答案】

A1．在半徑為1的圓周上任取兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)成一條弦，求弦長(zhǎng)超過此圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率．解：記A={弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)}．如圖，取圓內(nèi)接正三角形的頂點(diǎn)B作為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一個(gè)端點(diǎn)E在劣弧上時(shí)，|BE|＞|BC|，而劣弧長(zhǎng)恰為圓周長(zhǎng)的由幾何概型的概率公式有P(A)＝

已知|x|≤2，|y|≤2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．(1)求當(dāng)x，y∈R時(shí)，P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(3)求當(dāng)x，y∈Z時(shí)，P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．

本題第（1）問為幾何概型，可采用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形，然后利用幾何概型的概率公式求解，第（2）問為古典概型只需分別求出|x|≤2，|y|≤2內(nèi)的點(diǎn)以及（x—2）2+(y—2)2≤4的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.【解】(1)如圖，點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足(x—2)2+(y—2)2≤4的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?2,2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界)．∴所求的概率P1＝(2)滿足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的點(diǎn)(x，y)有25個(gè)，滿足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的點(diǎn)(x，y)有6個(gè)，∴所求的概率P2＝2．例2的條件不變，求當(dāng)x，y∈R時(shí)，點(diǎn)P(x，y)滿足x2＋y2≥4的概率．解：如圖，當(dāng)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足x2+y2≥4的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的外部(含邊界)．故所求概率例3．甲、乙兩人約定上午7∶00至8∶00之間到某站乘公共汽車，在這段時(shí)間內(nèi)有3班公共汽車，它們開車時(shí)刻分別為7∶20，7∶40，8∶00，如果他們約定，見車就乘，求甲、乙同乘一車的概率．解：設(shè)甲到達(dá)汽車站的時(shí)刻為x，乙到達(dá)汽車站的時(shí)刻為y，則，即甲乙兩人到達(dá)汽車站的時(shí)刻(x，y)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中畫出(如圖所示)是大正方形．將三班車到站的時(shí)刻在圖形中畫出，則甲乙兩人要想同乘一班車，必須滿足或或即(x，y)必須落在圖形中的三個(gè)帶陰影的小正方形內(nèi)，所以由幾何概型的計(jì)算公式得，即甲、乙同乘一車的概率為古典概型幾何概型相同區(qū)別求解方法基本事件個(gè)數(shù)的有限性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件個(gè)數(shù)的無限性七、課堂小結(jié)幾何概型的概率公式.列舉法幾何測(cè)度法P(A)=構(gòu)成事件A的測(cè)度(區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的測(cè)度(區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積)

用幾何概型解決實(shí)際問題的方法.(1)選