中職數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊上冊 語文版)教學(xué)分析：第九單元 立體幾何

第九單元立體幾何一教學(xué)要求1．了解平面的概念，理解平面的基本性質(zhì)．2．了解直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．3．理解直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)．4．了解異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的概念．5．理解直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)．6．理解柱、錐、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及其面積、體積的計算．7．培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，提高運用圖形語言進行交流的能力．二教材分析和教學(xué)建議（一）編寫思路立體幾何是在學(xué)習(xí)平面幾何知識的基礎(chǔ)上，進一步研究空間點、線、面間的關(guān)系、性質(zhì)以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和面積、體積的計算．本單元教材的主要內(nèi)容包括：平面的基本性質(zhì)、直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及他們之間平行與垂直的判定與性質(zhì)定理，柱、錐、球及簡單的組合體的結(jié)構(gòu)特征與表面積和體積的計算．本教材通過實物和模型，在觀察、實驗與思辨的基礎(chǔ)上為學(xué)生提供了一個逐步培養(yǎng)空間想象能力和數(shù)學(xué)思維能力的平臺，并通過對常見幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生進行幾何體面積、體積的計算能力，并進一步體會本單元知識有效地為生產(chǎn)實踐服務(wù)的必要性．本單元共分四節(jié)：空間的直線和平面是立體幾何理論基礎(chǔ)知識的主要內(nèi)容，是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)，第一節(jié)給出平面基本性質(zhì)的三個公理，奠定了立體幾何的基礎(chǔ)，是本節(jié)知識的重點．第二節(jié)介紹了直線、平面之間的相互位置關(guān)系，把直線、平面的相互平行的判定與性質(zhì)作為重點內(nèi)容加以研究．其中直線與直線平行的性質(zhì)，是平面幾何中關(guān)于平行直線知識的拓展，是學(xué)生克服平面幾何學(xué)習(xí)中的思維定勢并轉(zhuǎn)向空間想象思維的關(guān)鍵．異面直線介紹的是空間兩條直線一種全新的位置關(guān)系，對異面直線位置的刻畫——兩條異面直線所成的角，則是通過平移知識轉(zhuǎn)化為平面幾何中角的概念來認(rèn)識，初步滲透了“轉(zhuǎn)化”教學(xué)思想在學(xué)習(xí)立體幾何知識中的作用，直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理通過日常生活實踐知識觀察而得到的．第三節(jié)主要研究直線、平面相互垂直的判定與性質(zhì)，這是直線與直線、直線與平面、平面與平面的一種特殊位置關(guān)系，在介紹了直線與平面所成的角和二面角的概念之后，為我們研究直線、平面的垂直知識提供了方便．第四節(jié)介紹了柱、錐、球及其簡單的幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其面積、體積的計算．教材通過對空間幾何體的整體觀察，幫助學(xué)生認(rèn)識結(jié)構(gòu)特征，運用這些特征去描述現(xiàn)實生活中的一些簡單物體的結(jié)構(gòu)．柱、錐、球及其簡單的幾何體的面積計算是在給出側(cè)面展開圖的基礎(chǔ)上讓學(xué)生領(lǐng)會思路、掌握公式運用．對于體積計算則是給出公式，要求學(xué)生會用即可．常見幾何體的面積與體積計算應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解它們的統(tǒng)一性，加強聯(lián)系與對比，掌握常用簡單幾何體的面積與體積的計算方法．本單元教材的重點內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的判定和性質(zhì)，柱、錐、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及面積、體積計算．在教學(xué)中要滲透“轉(zhuǎn)化”的思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生會用“類比”的學(xué)習(xí)方法，會較熟練地運用面積、體積公式進行相關(guān)計算．本單元教材的難點是使學(xué)生建立空間的概念，教學(xué)中要注意從學(xué)生熟悉的事例引出，要多運用教具、模型進行演示分析，指導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識空間圖形的能力，逐步提高學(xué)生的空間想象能力，教材中異面直線的概念和異面直線所成的角、二面角的平面角是學(xué)生難以接受的概念，第三節(jié)中平面與平面平行與垂直的判定和性質(zhì)是本章的難點．（二）課時分配本單元教學(xué)約需14課時，分配如下（僅供參考）：9．1平面的基本性質(zhì) 約1課時9．2直線、平面平行的判定性質(zhì) 約3課時9．3直線、平面垂直的判定性質(zhì) 約4課時9．4空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 約4課時歸納與總結(jié) 約2課時（三）內(nèi)容分析與教學(xué)建議9．1平面的基本性質(zhì)本節(jié)教材首先通過對生活中的一些常見物體的認(rèn)識，抽象出幾何中“平面”的概念．在此基礎(chǔ)上，介紹了平面的畫法以及表示方法．最后，教材詳細介紹了平面的基本性質(zhì)（三個公理）以及如何用集合語言來描述點、直線、平面之間的關(guān)系．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解平面的概念，理解平面的畫法和表示方法，掌握平面的基本性質(zhì)以及集合語言的運用．本節(jié)的重點是平面的基本性質(zhì)．教學(xué)的難點是自然語言與數(shù)學(xué)圖形語言和符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．1．本節(jié)內(nèi)容既是立體幾何的“入門”教學(xué)，又是立體幾何重要的理論基礎(chǔ)部分．通過對“平面”的概念的引進，要讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)觀念上的變化，即今后不再只局限在平面內(nèi)，而是進入了空間研究幾何體．所以建立空間觀念、培養(yǎng)空間想象能力和進一步發(fā)展邏輯思維能力，是這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)之一．2．平面是立體幾何的基本元素，是不加定義的最原始的概念．要使學(xué)生“沖破”日常接觸的很多有限平面實例的局限，抽象、概括出數(shù)學(xué)中的“平面”，指出“平面是無限延展而沒有邊界的”，可以理解成它把整個空間分成了兩個部分．（1）要使學(xué)生真正理解和掌握平面的“無限延展性”決非易事，所以在教學(xué)中不要滿足于通過實例讓學(xué)生承認(rèn)并記住這一性質(zhì)，而應(yīng)當(dāng)使學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣：只要一見到平面的有關(guān)詞語、符號、圖形，就能想到它是可以延展的．（2）平面可以看成是直線運動的軌跡，所以平面也是空間點的軌跡或點的集合．3．在講授平面的畫法時，要引導(dǎo)學(xué)生注意：（1）用平行四邊形表示整個平面．（2）有時根據(jù)需要，可以用其他平面圖形來表示平面，如三角形、矩形等．（3）為增強立體感，當(dāng)一個平面或直線的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫．（4）教學(xué)中要特別強調(diào)：在以前的平面幾何中，凡是后引的輔助線我們都畫成虛線，而在立體幾何中，凡是被平面遮住的線，都畫成虛線，凡是不被平面遮住的線都畫成實線（無論是題中原有的，還是后引的輔助線）．（5）我們所畫的平面的圖形，只是平面的一部分，它可以根據(jù)需要畫的大些或小些，就像畫直線，可以畫的長些、短些一樣．總之，需要用有限的圖形來表示無限的平面．由于學(xué)生剛接受平面的無限延展性，馬上又強調(diào)用有限圖形來表示，這可能會沖淡學(xué)生剛剛形成的概念，教師在教學(xué)中應(yīng)正視這個問題．4．平面的基本性質(zhì)，是通過引入公理的方法來確定的．其性質(zhì)的內(nèi)容是點、直線和平面之間的從屬關(guān)系，而不是平面自身的性質(zhì)．對于平面的基本性質(zhì)，教學(xué)時注意以下幾點：（1）作為平面的基本性質(zhì)的三個公理，是建立在大量的實踐的基礎(chǔ)上，其事理極為明顯，不需要任何論證就能被人們承認(rèn)的真理，因而被用來作為一切推理論證的基礎(chǔ)．這三個公理是整個立體幾何學(xué)的理論基礎(chǔ)，沒有它們，便沒有一整套的立體幾何的理論和思想，所以是這一節(jié)的重點內(nèi)容．教學(xué)中，除了要大量引進實例外，還要充分重視直觀模型的作用，要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生把直觀模型抽象到數(shù)學(xué)上的點、線、面組成的圖形，從而逐步培養(yǎng)空間觀念．（2）公理1告訴我們：只要直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點就都在這個平面內(nèi)，從而這條直線就在這個平面內(nèi)．以公理1為依據(jù)，還可以知道，如果一個多邊形的所有頂點都在同一個平面內(nèi)，那么這個多邊形的各邊也都在這個平面內(nèi)，此多邊形稱之為平面多邊形．反之，如果一個多邊形的所有頂點不都在同一個平面內(nèi)，那么這個多邊形的各邊也不都在這個平面內(nèi)，這樣的多邊形稱之為空間多邊形．（3）公理1告訴我們：如果能夠找到兩個平面的一個公共點，根據(jù)平面的無限延展性，那么這兩個平面就有一條并且只有一條經(jīng)過該點的公共直線，即兩個平面相交與通過該點的一條直線．在公理2中，學(xué)生首次遇到“有且只有一條”一詞，它和“確定一條”是同義詞．“有”說明圖形是存在的，“只有一條”說明圖形是惟一的．所以“有且只有一條”說明圖形是存在的并且是惟一的，這一點必須向?qū)W生交代清楚．對“有且只有一個”，“確定一個”，“可以做并且只能做一個”這樣的數(shù)學(xué)語言，要說明其等效性．它們都同樣包含兩層意思，即存在性與惟一性．（4）公理3給出了確定一個平面的條件．可以幫助學(xué)生做如下分析，過空間一個點、兩個點或在同一條直線上的三個點都可以做無數(shù)個平面，只有過不在同一條直線上的三個點才能確定一個平面，可以確定一個平面的條件是“不在同一條直線上”和“三個點”，二者缺一不可．5．立體幾何中借用集合的符號來表示點、線、面之間的位置關(guān)系，簡單、明了．以點為元素，直線、平面都是由點構(gòu)成的集合．但在讀法上仍然使用幾何語言，而一般不使用集合的語言，如“A∈l”讀成“點A在直線l上”，“α∩β＝l”讀成“平面α與平面β相交于直線l”．9．2直線、平面平行的判定與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容的處理遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—度量計算”的認(rèn)識過程展開．教材首先通過對正方體模型的觀察，得到了空間兩條直線的三種位置關(guān)系，并介紹了平行線公理、異面直線及其所成的角；其次，根據(jù)直線與平面的公共點的個數(shù)，給出了直線與平面的位置關(guān)系，并詳細介紹了直線與平面平行的判定與性質(zhì)；最后，教材介紹了兩個平面的位置關(guān)系以及兩個平面平行的判定與性質(zhì)．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解空間的兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，理解平行線公理以及異面直線及其所成的角，掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)．本節(jié)的重點是異面直線、直線與平面平行以及平面與平面平行的判定與性質(zhì)．教學(xué)的難點是異面直線及其所成的角以及平面與平面平行的判定．1．教材以正方體為載體，介紹空間兩條直線的位置關(guān)系，從而引出異面直線的定義，教學(xué)中，教師可列舉生活中的實例，加深學(xué)生的理解．異面直線的理解是本節(jié)的難點，教學(xué)中注意結(jié)合正反兩方面例子，深刻理解定義中“任何”的含義．可以利用反證法的思想，向?qū)W生指出，兩條直線是異面直線等價于這兩條直線既不平行也不相交．在畫異面直線時，一般要以平面為襯托，可以顯得更加直觀和清楚，否則，就容易畫成兩條直線相交的情況（如圖9－1）．圖9－12．公理4是初中平面幾何中的平行公理在空間的推廣，它表示平行性在空間具有傳遞性．要注意的是由于空間圖形和平面圖形有所區(qū)別，所以平面圖形的性質(zhì)不一定能適合空間圖形，只有經(jīng)過檢驗后確認(rèn)是正確的，才能在空間圖形中使用．初中平面幾何中的平行公理是公理4的特殊情況，三條直線平行，它們即可以在一個平面內(nèi)，也可以兩兩共面．教學(xué)公理4時，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生通過觀察（如三棱鏡的三條棱、教室里的墻縫），經(jīng)過類比，使學(xué)生認(rèn)識到對于空間的三條直線，也存在著平行線的傳遞性，并歸納出公理4：“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”．3．空間四邊形本節(jié)所給例題第一次涉及到空間四邊形，這是一個非常重要的空間圖形，應(yīng)在教學(xué)中給以足夠重視．首先，要教給學(xué)生畫空間四邊形的方法，一般可先畫一個，再在所在平面外取一點，然后連結(jié)，即得空間四邊形．當(dāng)然，也可以把空間四邊形看做是由不在同一平面的有一條公共邊的兩個三角形拼成的．其中是空間四邊形的一條對角線，另一條對角線一般都不畫出來，為了增強立體感，有時也畫出所在平面．其次，應(yīng)逐步啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識空間四邊形的有關(guān)性質(zhì)：（1）四條線段首尾相接所得的封閉圖形一定是平面圖形嗎？為什么？（得出空間四邊形概念）（2）空間四邊形的四邊中點是否在同一個平面內(nèi)？為什么？（例題所要證明的結(jié)論）（3）空間四邊形的四邊中點是一個平行四邊形的頂點．（由學(xué)生自己證明）在給出異面直線所成的角后，根據(jù)學(xué)生具體情況，可以繼續(xù)研究下述問題：（4）空間四邊形的兩條對角線是異面直線．（5）空間四邊形的對邊是異面直線．（6）如果空間四邊形對角線互相垂直，則四邊中點是一個矩形的頂點．4．由公理4可以推出等角定理，為研究異面直線所成的角打下基礎(chǔ)．等角定理不僅是建立兩條異面直線所成的角的依據(jù)，而且還為研究二面角做了必要的準(zhǔn)備．在等角定理中，如果把角的兩邊反向延長，則可以得到下述結(jié)論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等．這個結(jié)論揭示了兩條相交直線所成的銳角（或直角）在空間進行任意的平移變換，角的大小保持不變．5．異面直線所成的角，是教學(xué)上的一個難點，學(xué)生不易接受．應(yīng)從實際例子引入，通過實例表明客觀存在，而且有研究的必要．（1）在平面幾何中，對于兩條相交直線，可以用它們夾角的大小來確定其相互位置關(guān)系．同樣，在立體幾何中，也需要確定兩條異面直線之間的相互位置關(guān)系．（2）從異面直線所成角的定義知，它是用作圖的方法構(gòu)造出兩條相交直線，把兩條直線所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角．這種方式的定義就是構(gòu)造性定義．在立體幾何中定量地描述兩個元素之間位置關(guān)系的概念經(jīng)常是構(gòu)造性定義．這種定義方式并不直接指出概念的本質(zhì)屬性，而是指出所要定義的對象的構(gòu)造方法．因此應(yīng)在教學(xué)中充分揭示構(gòu)造的過程：①給出異面直線a，b；②在空間任取一點O，過O做直線a′∥a，b′∥b，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③規(guī)定直線a′和b′相交構(gòu)成的一對鄰補角中的銳角（或直角）是異面直線a，b所成的角；④異面直線a，b所成的角的大小，只與a，b的相對位置有關(guān)，而與所取點O的位置無關(guān)；⑤有時為了方便，常把點O取在異面直線中的一條上．（3）應(yīng)從平行線公理及等角定理說明異面直線所成角的定義的合理性與唯一性．（4）兩條異面直線所成的角是專指用來刻畫異面直線相互關(guān)系的角，但不能叫做“交角”，以防止和相交直線的交角混淆．（5）如果兩條異面直線所成的角是直角，則說明兩條異面直線相互垂直．由此可知在立體幾何中，兩條直線相互垂直，但它們不一定是相交的，也可能是異面直線．（6）異面直線所成的角的變化范圍是（0，eq\f(π,2)]．6．異面直線所成的角只作為了解知識向?qū)W生講解，不要求對異面直線所成的角為一般角時的求解．7．空間中直線與平面的位置關(guān)系根據(jù)公共點的情況進行分類，有三種情況：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行．這三種情形的實例處處都可以找到，要充分發(fā)揮實例的作用，并在引用實例后，向?qū)W生指出實例只給我們以某種形象，要善于把它們抽象成數(shù)學(xué)中所說的直線與平面．另外，還可分為以下二種情況：直線在平面內(nèi)，直線在平面外．直線在平面外，用符號表示為a?α，包含a∥α，a∩α＝A，兩種情況．8．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，不要求學(xué)生會證明，只要求學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”，并能簡單應(yīng)用．教學(xué)時，注意使學(xué)生掌握符號語言，并會熟練使用．判定定理是判定直線與平面平行的依據(jù)，它把判定直線與平面平行的問題轉(zhuǎn)化成判定直線與直線平行的問題．可以簡單寫成：線、線平行?線、面平行．在理解和應(yīng)用判定定理時，一定要注意兩點：（1）平面外的一條直線一定要平行于平面內(nèi)的一條直線；（2）平面內(nèi)的直線可以是任意的一條，只要能在平面內(nèi)找一條與平面外一條直線平行，就可以證明平面外一條直線與平面平行，這是最基本的方法．判定直線與平面平行主要有以下幾種方法：①利用定義；②利用直線與平面平行的判定定理，從直線與直線平行得到直線與平面平行；③在學(xué)習(xí)了平面與平面平行的性質(zhì)后，通過證明平面與平面平行也可以得到直線與平面平行．9．對直線與平面平行性質(zhì)的研究，就是研究在直線與平面平行的條件下，能夠推出什么結(jié)論．注意防止學(xué)生錯誤地認(rèn)為“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內(nèi)的一切直線”．在理解性質(zhì)定理時，應(yīng)明確下述幾點：（1）當(dāng)a∥α?xí)r，過直線a可以做無數(shù)多個平面和平面α相交，則交線就有無數(shù)多條，且它們和直線a相互平行．（2）若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b，而且在平面α內(nèi)，除了與直線b平行的那些直線外，其他直線都和直線a是異面直線．（3）與平面α平行的任意兩條直線可能相交、平行或是異面直線．性質(zhì)定理是證明直線和直線平行的依據(jù)，它由線、面平行?線、線平行．所以也提供了證明兩條直線平行的又一種方法．10．結(jié)合教材中的“試一試”、“議一議”，給學(xué)生充分的時間動眼、動腦，進行觀察和探索，在學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”的基礎(chǔ)上，歸納出直線與平面平行的判定和性質(zhì)定理．11．兩個平面是指不重合的兩個平面．兩個平面的位置關(guān)系應(yīng)從實際引入，除教材上的方法，還可以讓學(xué)生觀察生活里的其他實例，從中抽象出有且僅有平行與相交兩種，這兩個概念也以有無公共點來劃分．同時，引出定義后，可與直線和直線平行、相交，直線和平面平行、相交進行類比．12．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理是本節(jié)的重點內(nèi)容之一．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，不要求學(xué)生會證明，只要求學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”，并能簡單應(yīng)用．教學(xué)時，注意使學(xué)生掌握符號語言，并會熟練使用．13．對于平面與平面平行的判定，如果按定義去證明很麻煩，可以通過回顧直線與平面平行的判定定理，引發(fā)學(xué)生思考：空間的兩個平面，如果其中一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面平行，是否可以判定這兩個平面平行（不一定）；如果其中一個平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個平面平行，是否可以判定這兩個平面平行（不一定），據(jù)此啟發(fā)學(xué)生提出嚴(yán)格的判定條件：“一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行與另一個平面”才可以推出兩個平面平行．對于這個定理的證明不作要求．講解平面與平面平行的判定定理時，引導(dǎo)學(xué)生注意“兩條相交直線”這個條件．教師可以通過列舉反、正例子加以強調(diào)．在分析判定定理的條件和結(jié)論時，重點突出“相交”和“都”這兩個條件，如果兩個條件不同時具備，兩個平面就一定不平行．14．講完兩個平面平行的性質(zhì)定理后，應(yīng)該向?qū)W生指出：兩個平行平面中的一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是不一定平行于另一個平面內(nèi)的所有直線，他們可能是平行線，也可能是異面直線，但一定不會是相交直線．9．3直線、平面垂直的判定與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容的處理繼續(xù)遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—度量計算”的認(rèn)識過程展開．教材首先給出了直線與平面垂直的定義、判定定理與性質(zhì)定理；然后研究了直線與平面不垂直的情況——直線與平面所成的角的問題．其次，為了描述兩個相交平面所構(gòu)成的角的大小，教材引入二面角的概念，并研究了二面角的平面角的定義及其應(yīng)用．最后，針對兩個相交平面所構(gòu)成的角為直角這一特殊情況，教材給出了平面與平面垂直的定義、平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解直線與平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解直線與平面垂直以及平面與平面垂直的定義、判定與性質(zhì)．本節(jié)的重點是直線與平面垂直以及平面與平面垂直的定義、判定與性質(zhì)．教學(xué)的難點是二面角的平面角的定義及其應(yīng)用．1．直線與平面垂直，是直線與平面相交的一種特殊情況．教材通過旗桿與地面的位置關(guān)系，打開的書直立在桌面上的位置關(guān)系等實例，讓學(xué)生感知直線與平面垂直這種位置關(guān)系，從而引出相關(guān)概念．2．由定義可以判定一條直線與一個平面是否垂直，但要證明一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線垂直并非易事，由此需要尋找一種簡單的判定方法．結(jié)合教材中的“折紙實驗”，給學(xué)生充分的時間動手、動腦，進行探索，在學(xué)生“直觀感知，加以確認(rèn)”的基礎(chǔ)上，歸納出直線與平面垂直的判定定理．3．要使學(xué)生明確“兩條相交直線”的“相交”是判定定理不可忽略的條件．因為如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條、即使是一組平行直線都垂直，也不能斷定這條直線和這個平面垂直（如圖9－2）；而如果一條直線只和一個平面內(nèi)的一條直線垂直，也同樣不能斷定這條直線和這個平面垂直．這可以通過用直角三角板演示的方法，加以說明（如圖9－3）．圖9－2圖9－34．直線與平面垂直的性質(zhì)定理體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系，不要求對此定理進行證明．可以提出下面兩個類似命題，讓學(xué)生進行對比思考：（1）如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線是否平行？（2）如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線是否平行？顯然，兩個問題的答案都是否定的，應(yīng)讓學(xué)生各舉出一個反例加以說明．反例可在正方體模型中尋找．5．直線與平面所成的角是直線和平面位置關(guān)系中的一個重要內(nèi)容，它可以精確地刻畫直線和平面的位置關(guān)系．教材通過足球門的實例引出了相關(guān)概念，直線與平面所成的角的概念是學(xué)生接觸到的第二個空間角的概念，與后面的二面角一起，構(gòu)成了比較完整的空間角的概念，這些概念對于提高學(xué)生的空間位置關(guān)系的認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，起著重要的作用．6．直線與平面所成角變化范圍是[0，eq\f(π,2)]，但斜線與平面所成角變化范圍是（0，eq\f(π,2)）．7．應(yīng)使學(xué)生掌握確定直線與平面所成角的一般步驟，詳見教材．在計算直線與平面所成的角時，教材只限于特殊角，如果是非特殊角，則求該角的某個三角函數(shù)值，而不用反三角函數(shù)表示該角．8．兩個平面相交時，它們的相對位置可由兩個平面所成的“角”確定．講解概念時應(yīng)從實際問題引入或利用模型以減少抽象性，比如教材利用修筑堤壩、使用筆記本電腦這兩個實例，引出二面角概念．教學(xué)時還可以再舉一些實例，例如，教室的門在打開過程中與墻面成一定角度；書本翻開過程中，兩張紙面成一定的角度等，以增加學(xué)生對二面角概念的直觀感知．9．在講解二面角概念時，還要注意多和以前學(xué)過的概念，包括平面幾何中學(xué)過的有關(guān)概念進行類比，比較概念的組成元素、相似點與不同點，這樣就不容易混淆，便于識別．比如：角是從一點引出的兩條射線（半直線）所組成的圖形，表示為：∠AOB；二面角則是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，表示為：二面角α－l－β.10．畫二面角常用的方法有直立式和平臥式兩種（如圖9－4和9－5），要訓(xùn)練學(xué)生會畫各種位置的二面角的平面角，提高空間想象力．圖9－4圖9－511．在講解二面角的平面角時，首先，要啟發(fā)學(xué)生考慮怎樣度量二面角，例如打開教材，隨著張開的角度不同，二面角的大小也就不同，那么能否用角度來度量二面角呢？然后進一步提出，如果這個角的頂點在二面角的棱上，角的兩個邊在二面角的兩個面內(nèi)，那么這樣形成的角非常多，根據(jù)存在性與唯一性，引導(dǎo)學(xué)生得出二面角的平面角的確定方法．其次，在分析二面角平面角的定義時，要緊緊抓住“棱上”、“面內(nèi)”、“垂直”這三個要素，三者缺一不可．并要讓學(xué)生體會以下幾點：（1）二面角的大小是用平面角來度量的；（2）二面角的平面角的大小由兩個面的位置唯一確定，與棱上點的選擇位置無關(guān)；（3）二面角的平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)，且都與棱垂直，由這個角所確定的平面與二面角的棱垂直．12．在講解教材中的例題時，應(yīng)使學(xué)生明確，凡涉及到二面角的問題，都要根據(jù)題目條件，在圖形的恰當(dāng)位置作出二面角的平面角，隨著學(xué)習(xí)的深入，應(yīng)幫助學(xué)生積累做二面角平面角的方法，比如常用作法有：利用二面角的平面角的定義，做棱的垂面等等．并通過學(xué)習(xí)使學(xué)生明確二面角平面角變化范圍是[0，π]．13．兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情況，教材通過引導(dǎo)學(xué)生觀察教室相鄰的兩個墻面與地面構(gòu)成的二面角的大小，從而引出兩個平面垂直的位置關(guān)系．日常生活中，兩個平面互相垂直的實例大量存在，教學(xué)時要多結(jié)合實例，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知和總結(jié)學(xué)習(xí)．14．兩個平面垂直的判定定理是由線、面垂直?面、面垂直，而兩個平面垂直的性質(zhì)定理則是它的逆定理，是由面、面垂直?線、面垂直．要注意分清它們各自的條件和結(jié)論．15．到本小節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生思考這些定理之間的相互聯(lián)系和如何相互轉(zhuǎn)化．9．5空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（一）本節(jié)先展示大量幾何體的實物、模型、圖片等，讓學(xué)生感受空間幾何體的整體結(jié)構(gòu)，然后再引導(dǎo)學(xué)生抽象出空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．這樣安排，可以先從整體上認(rèn)識空間幾何體，再深入到細節(jié)的認(rèn)識，更符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生了解柱體、錐體和球的結(jié)構(gòu)特征，并能夠描述空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．柱體、錐體和球的結(jié)構(gòu)特征，既是本節(jié)的重點也是教學(xué)的難點．1．講棱柱的概念時，應(yīng)讓學(xué)生多看模型和實物，然后抽象出棱柱的兩個本質(zhì)特征：（1）有兩個面互相平行；（2）其余的面都是四邊形，每相鄰兩個面的交線都互相平行且相等．2．要讓學(xué)生了解棱柱的對角線與它的各面上的對角線的區(qū)別．3．講棱錐的概念時，也應(yīng)讓學(xué)生多看模型和實物，并抽象出棱錐的兩個本質(zhì)特征：（1）一個面是多邊形；（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形．4．由于實際中遇到的往往都是正棱錐，所以在講正棱錐的概念時，應(yīng)拿各種棱錐模型啟發(fā)學(xué)生，強調(diào)正棱錐必須具備兩個條件：（1）底面是正多邊形；（2）頂點在底面上的射影是底面正多邊形的中心．5．對于正棱錐要讓學(xué)生了解它的高與斜高的區(qū)別，指出只有正棱錐才有斜高．6．圓柱、圓錐、球等都是旋轉(zhuǎn)體，都是由平面圖形繞平面圖形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成．由圓柱、圓錐的生成過程，可以給出軸、底面、側(cè)面、母線等概念．教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生了解圓柱、圓錐的生成過程，由生成過程可以得出它們的幾何結(jié)構(gòu)特征．7．關(guān)于球的定義，可以先啟發(fā)學(xué)生，球是由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)而來的，它的旋轉(zhuǎn)軸是什么，可以用模型進行演示．講完定義后，可向?qū)W生指出：由于球面上任何一點到球心（即半圓的圓心）的距離都等于定長；反過來，凡是與球心距離等于定長的點都在球面上，所以從軌跡的角度看，就是“和一定點有等距離的點的集合是一個球面”．8．要讓學(xué)生了解球面和球體的區(qū)別：球面僅指球的表面，而球體不僅包括球的表面，同時還包括球面所包圍的空間．9．在學(xué)習(xí)了柱體、錐體和球體的基礎(chǔ)上，運用它們的結(jié)構(gòu)特征可以來描述簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征．教學(xué)中，可以利用學(xué)生身邊的實物進行說明，特別是要讓學(xué)生自己舉出生活中一些熟悉的簡單組合體的實例，并說明它們的結(jié)構(gòu)特征．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（二）1．本節(jié)的主要內(nèi)容是柱、錐、球的表面積計算公式和體積計算公式（不要求記憶公式）．本節(jié)的重點是學(xué)生能夠運用公式計算并會解決一些簡單的實際問題．注意滲透把有關(guān)立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來處理的數(shù)學(xué)思想和類比的思想方法．了解有關(guān)側(cè)面積公式的推導(dǎo)過程及其主要思想．2．柱、錐的側(cè)面積公式?jīng)]有列出詳細的推導(dǎo)過程，而是只提供了直觀形象的側(cè)面展開圖，在直觀上用實驗對公式加以驗證，著重于體現(xiàn)空間向平面轉(zhuǎn)化的思想．教學(xué)時可以通過演示一些多面體的平面展開圖的過程，讓學(xué)生了解平面展開圖的概念．3．多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面積，除球面外，都是通過它們的側(cè)面展開圖求得的．教學(xué)中應(yīng)運用多種媒體，再現(xiàn)展開過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也便于知識的理解、記憶和遷移．這些公式不但互相區(qū)別，而且相互聯(lián)系，教學(xué)中要加強類比，有條件的還可借助多媒體手段（比如幾何畫板）提供的動態(tài)的數(shù)形世界，觀察棱柱、棱錐和圓柱、圓錐之間的相互轉(zhuǎn)化，可以生動、直觀地滲透類比與轉(zhuǎn)化思想，這也是人們認(rèn)識和研究客觀世界時的一般規(guī)律．4．對于球面的表面積公式是直接給出的，對這個公式的證明教師可以根據(jù)學(xué)生的情況進行簡要的說明．有關(guān)球的表面積的計算，要求學(xué)生會用公式即可．5．柱、錐、球的體積的計算公式，教材是直接給出的，沒有在理論上進行證明，只要求學(xué)生理解公式所表示的意義，著重讓學(xué)生把柱、錐、球的體積計算公式統(tǒng)一起來認(rèn)識，加強聯(lián)系和對比，會利用公式進行計算和簡單應(yīng)用．6．柱、錐體積公式的引出，是從學(xué)生熟悉的長方體引入，運用祖暅原理，采用由特殊到一般的方法類比給出棱柱和圓柱的體積公式．而錐體的體積公式的由來教師不必講解，只要求學(xué)生記住，會算即可．7．對于圓柱、圓錐和底面半徑相關(guān)的體積公式：V圓柱＝πr2h，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h，沒有在教材中給出，原因是為了降低難度，讓學(xué)生掌握一般通用公式即可．教師可以根據(jù)學(xué)生實際情況進行補充．8．例題的選取盡量體現(xiàn)公式在實際生活中的運用，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識．在教學(xué)中，教師可結(jié)合日常生活中的具體例子，讓學(xué)生明白體積在實際生活中的運用．（四）復(fù)習(xí)建議1．基礎(chǔ)知識的梳理本單元主要研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的三種位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究簡單多面體，并討論簡單多面體及球的表面積與體積計算．要求學(xué)生能夠熟練運用公理、推論和定理來判斷有關(guān)空間位置關(guān)系的命題真假，能對一些真命題進行證明或?qū)倜}舉出反例．培養(yǎng)學(xué)生善于利用身邊的工具與情境（如紙筆、桌面、墻角等）構(gòu)造具體模型，將抽象問題具體化處理，提高他們的空間想象能力．證明或探究空間中線線、線面與面面平行與垂直的位置關(guān)系，一要熟練掌握所有判定與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行；二要掌握解題時由已知想性質(zhì)、由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來尋找證明的思路；三要嚴(yán)格要求學(xué)生注意表述規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論．2．基本技能訓(xùn)練（1）通過位置關(guān)系的判斷與論證，培養(yǎng)學(xué)生以下幾方面