《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第24課 不定積分的積分方法

第24課不定積分的積分方法課題不定積分的積分方法課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)1．熟練掌握不定積分的第一類(lèi)換元積分法（湊微分）2．了解不定積分的第二類(lèi)換元積分法3．掌握不定積分的分部積分法思政育人目標(biāo)：通過(guò)講解不定積分的積分方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，鍛煉學(xué)生的開(kāi)放創(chuàng)新思維；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹(shù)立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：不定積分的第一類(lèi)換元積分法、不定積分的第二類(lèi)換元積分法、不定積分的分部積分法教學(xué)難點(diǎn)：掌握不定積分的第一類(lèi)換元積分法（湊微分）教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（22min）→課堂測(cè)驗(yàn)（10min）→課堂指導(dǎo)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過(guò)文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問(wèn)答題：不定積分的第一類(lèi)換元積分法（湊微分）、第二類(lèi)換元積分法、分部積分法是怎樣的？如何應(yīng)用？被積函數(shù)分別有什么特點(diǎn)？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過(guò)課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好上節(jié)課的復(fù)習(xí)題目，并針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】引入課題——換元積分法和分部積分法利用不定積分的基本積分公式及性質(zhì)可以求出一些不定積分，但這種方法只能求一些簡(jiǎn)單的不定積分，對(duì)于一些復(fù)雜的積分（如等），靠上述方法是解決不了的．為了能求出更多的不定積分，有必要研究求不定積分的其他方法．本節(jié)我們將介紹求不定積分的兩種主要方法：換元積分法和分部積分法．換元積分法可分為第一換元積分法（湊微分法）和第二換元積分法（去根號(hào)法）兩種．【教師】講解不定積分的第一類(lèi)換元積分法（湊微分），將湊微分的方法分成三類(lèi)，針對(duì)每一類(lèi)，從易到難的列舉例題，反復(fù)講解，總結(jié)被積函數(shù)的特點(diǎn)規(guī)律，使學(xué)生達(dá)到熟練掌握的目的定理1（第一換元積分法）設(shè)函數(shù)具有原函數(shù)，且可導(dǎo)，則函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)，即有換元公式．上述積分方法稱(chēng)為第一換元積分法，也稱(chēng)為湊微分法．例1求．例1解將進(jìn)行配湊，因?yàn)?，所以．（?～例4詳見(jiàn)教材）從以上例子可以看出，第一換元積分法的關(guān)鍵在于“配湊”．為方便計(jì)算，下面給出一些常用的湊微分公式供大家參考．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）．替換變量是為了計(jì)算上的方便，在計(jì)算熟練的基礎(chǔ)上，我們可以省略設(shè)中間變量的步驟．例5求．例5解因?yàn)?，所以．（?～例9詳見(jiàn)教材）【教師】講解第二換元積分法，并通過(guò)例題介紹簡(jiǎn)單根式換元法和三角換元法的應(yīng)用通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，我們可以總結(jié)出，第一換元積分法在運(yùn)算過(guò)程中比較適合求解復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題，但有些積分不能通過(guò)第一換元積分法來(lái)求解，我們?cè)撛鯓觼?lái)計(jì)算呢？定理2（第二換元積分法）設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且．又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式，其中，為的反函數(shù)．第二換元積分法主要包括兩種方法：簡(jiǎn)單根式換元法和三角換元法．下面通過(guò)例子來(lái)介紹這兩種方法．1）簡(jiǎn)單根式換元法例10求．例10解求這個(gè)積分的主要困難是，所以令，則，顯然，于是．例11求．例11解為了去掉根號(hào)，設(shè)，則，，于是．2）三角換元法例12求．例12解設(shè)，則．令，于是得．因?yàn)?，，所以．?3求．例13解設(shè)，則．令，于是得，所以．又因?yàn)?，且，所以．一般被積函數(shù)含有時(shí)，宜采用三角換元法．（1）當(dāng)被積函數(shù)含有時(shí)，設(shè)；（2）當(dāng)被積函數(shù)含有時(shí)，設(shè)；（3）當(dāng)被積函數(shù)含有時(shí)，設(shè)．【教師】介紹補(bǔ)充的積分公式利用換元法求得的一些積分結(jié)果，可以作為補(bǔ)充的積分公式，便于今后做題時(shí)使用．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）．【學(xué)生】理解、掌握不定積分的第一類(lèi)換元積分法（湊微分），了解不定積分的第二類(lèi)換元積分法學(xué)習(xí)不定積分的第一類(lèi)換元積分法（湊微分）和第二類(lèi)換元積分法。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（22min）【教師】講解不定積分的分部積分法，通過(guò)由易到難的例題使學(xué)生掌握其應(yīng)用前面在復(fù)合函數(shù)微分法的基礎(chǔ)上得到了換元積分法，現(xiàn)在我們利用函數(shù)乘積的微分運(yùn)算來(lái)推導(dǎo)分部積分法．設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)為，即．對(duì)上式的兩邊求不定積分，有，即，上式可簡(jiǎn)記為．此公式為分部積分公式．在運(yùn)用分部積分公式時(shí)，應(yīng)當(dāng)正確選取函數(shù)和函數(shù)，下面舉例來(lái)說(shuō)明．例14求．例14解設(shè)，于是，所以．（例15～例21詳見(jiàn)教材）【學(xué)生】理解、掌握不定積分的分部積分法學(xué)習(xí)不定積分的分部積分法。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生加入測(cè)試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫(kù)中選擇幾道題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂指導(dǎo)（10min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識(shí)點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，讓答題快且正確的同學(xué)上臺(tái)解答，為同學(xué)們做示范。如果題目比較難，無(wú)人答對(duì)則老師示范【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對(duì)學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了不定積分的第一類(lèi)換元積分法（湊微分），了解了不定積分的第二類(lèi)換元積分法，并掌握了不定積分的分部積分法，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題5-4總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)