2023年高考模擬考數(shù)學試卷3（理）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年高考數(shù)學模擬考試卷3（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．若是純虛數(shù)，則a＝（

）A．－1 B．1 C．－9 D．9〖答案〗A〖解析〗,因為是純虛數(shù)，故，得，故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，則.故選：D3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由三視圖還原幾何體，如圖，該幾何體是由兩個四分之一圓（半徑為）組成的圖形作為底面，高為的柱體，所以該幾何體體積為.故選：C..4．如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點在圓上運動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設與的夾角為，則，，因為，所以，故選：C5．已知，則（

）．A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，將，代入化簡得，即，解得（舍去）或，故選；B．6．已知函數(shù)，設，，則成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為R，則函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.若，則，即.A：若，滿足，但，反之也不成立，故選項A錯誤；B：若，滿足，則，反之，若，不一定，故選項B錯誤；C：由可得，但不一定有，所以充分性不成立，故選項C錯誤；D：由可得，但由不一定能推出，故D正確.故選：D.7．小明買了4個大小相同顏色不同的冰墩墩（北京冬奧會吉祥物）隨機放入3個不同袋子中，則每個袋子至少放入一個冰墩墩的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗小明將4個大小相同顏色不同的冰墩墩隨機放入3個不同袋子中，有種不同的放法，若每個袋子至少放入一個冰墩墩，則分2步進行分析：①將4個冰墩墩分為3組，有種分組方法，②將分好的3組放入3個不同的袋子中，有種情況，則有種方法，所以所求的概率為.故選：D8．設函數(shù)（是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則函數(shù)是的最小正周期是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗若在區(qū)間上具有單調(diào)性,則，則的圖象關于點對稱,的圖象關于直線對稱,①，且，②兩式相減,可得,又因為，故或.當時,則結合和①式可得，.當時,則結合和②可得不存在，綜上.故它的最小正周期為，故選：B.9．已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，在上恒成立，所以，設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，在上恒成立，所以，從而有，故選：C.10．已知數(shù)列滿足，且，若存在正偶數(shù)m使得成立，則（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022〖答案〗D 〖解析〗由題意，，故，∴，∵m為正偶數(shù)，∴，∴左邊，此時，，∴．故選：D．11．已知兩點A，M在雙曲的右支上，點A與點B關于原點對稱，交y軸于點N，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖，不妨設A在第一象限，取BM的中點，連接OQ，因為為AB的中點，故，，，，，B，M在雙曲線上，則，兩式相減可得，，即，而，，故，即，又因為，則，即，所以，即，所以，又，則,即，故，所以，而，故,故，則雙曲線的離心率為，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，當A在第四象限時，同理可求得，當A在雙曲線的頂點時，由于，此時AM與雙曲線相切，不合題意，故雙曲線的離心率為，故選：D.12．已知函數(shù)的定義域為，，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗解:因為是偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關于直線對稱.因為是奇函數(shù)，所以，即，故的圖象關于點對稱，所以，，所以，是周期為4的周期函數(shù)，對于，令，得，對于，令，得又是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以，所以，所以.因為，所以，對于，令，得，即，所以所以，，，…，，所以.故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．展開式中不含y的項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為___________.〖答案〗15625〖解析〗展開式中不含y的項，即展開式中y的指數(shù)為0，即的展開式，再令，得展開式中不含y的項的系數(shù)和為=64，∴，求展開式中的常數(shù)項，由，所以展開式中的常數(shù)項為.故〖答案〗為：1562514．已知點，點P在拋物線上運動，點B在曲線上運動，則的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點為，設點坐標，則，由題意當時，，令，則，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立故的最小值為．故〖答案〗為：15．已知數(shù)列的前項和為為數(shù)列的前項積，滿足（為正整數(shù)），其中，給出下列四個結論：①；②；③為等差數(shù)列；④.其中所有正確結論的序號是__________.〖答案〗①③④〖解析〗因為，所以當時，，解得或，又，所以，故，故①正確；因為，易得，所以，當時，，所以，則，所以，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，故④正確；所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；當時，，又不符合上式，所以，故②錯誤.故〖答案〗為：①③④.16．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②．有下列四個結論：①經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為②異面直線AD與CF所成的角的余弦值為③直線AD與平面DEF所成的角為④球離球托底面DEF的最小距離為其中正確的命題是__________請將正確命題的序號都填上〖答案〗②③④〖解析〗取中點N，M，連接，如圖，因為正三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，，因此，四邊形是平行四邊形，有，同理，，外接圓半徑，經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓是的外接圓，其面積為，①不正確；連接，因，則四邊形是平行四邊形，，即有是異面直線AD與CF所成的角或其補角，，中，，，由余弦定理得：，②正確；因平面，則是直線AD與平面DEF所成的角，而，③正確；體積為的球半徑，由得，由①知，球心到平面的距離，由①，同理可得點C到平面的距離為，即平面與平面的距離為，所以球面上的點到球托底面DEF的最小距離為，④正確，所以正確的命題是②③④.故〖答案〗為：②③④三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因為，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因為，所以．（2）由正弦定理得．因為為銳角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范圍為．18．某網(wǎng)絡在平臺開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項活動．（1）若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；（2）已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎勵，①假設該闖關活動平均分數(shù)為分，分以上共有人，已知甲的得分為分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為分，分以上共有人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)危剑喝綦S機變量，則；；．解：（1）設：第次通過第一關，：第次通過第二關，甲可以進入第三關的概率為，由題意知.（2）設此次闖關活動的分數(shù)記為．①由題意可知，因為，且，所以，則；而，且，所以前名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分數(shù)為分是小概率事件，可認為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙所說為假．19．如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，是的中點，，如圖②，將沿邊翻折至.（1）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.解：（1）存在點滿足題意，且，理由如下：在圖①中，取的中點，連接，則，在圖②中，，平面，平面，所以平面，且；在線段上取點使，連接，則，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.（2）在圖②中，，平面，所以平面，法一：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，，設平面的法向量為，則，令，則，即，易知平面的一個法向量，若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，則，化簡整理得：，.所以，所以，則三棱錐的高為，.又因為底面積，所以三棱錐的體積為.法二：延長相交于點，事實上點即為點，則平面平面，過作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，則，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，即，所以，即，即，又，所以，在中，設點到的距離為，由等面積法可得，解得，即三棱錐的高，又的面積為，所以三棱錐的體積為.20．P為圓上一動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交直線于點．（1）求點的軌跡方程；（2）在（1）中曲線與軸的兩個交點分別為和，、為曲線上異于、的兩點，直線不過坐標原點，且不與坐標軸平行．點關于原點的對稱點為，若直線與直線相交于點，直線與直線相交于點，證明：在曲線上存在定點，使得的面積為定值，并求該定值．（1）解：直線的垂直平分線交直線于點，，由橢圓的定義可知，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且，、，則，點的軌跡方程為．（2）證明：設、，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，得，則由根與系數(shù)的關系得，，由（1）知，，設，由、、三點共線得，由、、三點共線得，則.所以的斜率，則直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程，可得，解得，因此在定直線上，使得的面積為定值的點一定為過點且與直線平行的直線與橢圓的交點，由，解得或，此時的坐標為或，所以的面積．21．已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)的極大值點是，且函數(shù)的一個零點大于1，求證：.（1）解：當時，則，所以，，即切點坐標為，切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：∵，則，構建，則，構建函數(shù)，則，令，得；令，得；因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，構建函數(shù)，則，令，得，令，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，因為，所以，所以，可得，則，故當時，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以當時，，當時，，即當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，注意到，，因此函數(shù)在上有唯一的零點，設為，當時，則；當時，則；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為函數(shù)的極大值點是，且是函數(shù)的最大值，即，又∵函數(shù)的一個零點大于1，不妨設為，則，即，注意到，因此，故.（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓的極坐標方程為．（1）求的參數(shù)方程；（2）已知點在上，若在處的切線與直線平行，求點的極坐標．解：（1）由，所以，結合，得，化簡得，所以C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（2）由（1）所得的參數(shù)方程，可設點因為在處的切線與直線平行，所以，化簡得，又，所以，所以，所以，，則，所以點的極坐標為.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知，．（1）若，求不等式的解集；（2），若圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積不大于2，求正數(shù)m的取值范圍．解：（1）當時,，由，可得或或，解得或，所以不等式的解集為或；（2）由題可得，可得函數(shù)的大致圖象如圖所示，圖象與兩坐標軸交于點，，所以，依題意，所以，，所以.2023年高考數(shù)學模擬考試卷3（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．若是純虛數(shù)，則a＝（

）A．－1 B．1 C．－9 D．9〖答案〗A〖解析〗,因為是純虛數(shù)，故，得，故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，則.故選：D3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由三視圖還原幾何體，如圖，該幾何體是由兩個四分之一圓（半徑為）組成的圖形作為底面，高為的柱體，所以該幾何體體積為.故選：C..4．如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點在圓上運動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設與的夾角為，則，，因為，所以，故選：C5．已知，則（

）．A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，將，代入化簡得，即，解得（舍去）或，故選；B．6．已知函數(shù)，設，，則成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為R，則函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.若，則，即.A：若，滿足，但，反之也不成立，故選項A錯誤；B：若，滿足，則，反之，若，不一定，故選項B錯誤；C：由可得，但不一定有，所以充分性不成立，故選項C錯誤；D：由可得，但由不一定能推出，故D正確.故選：D.7．小明買了4個大小相同顏色不同的冰墩墩（北京冬奧會吉祥物）隨機放入3個不同袋子中，則每個袋子至少放入一個冰墩墩的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗小明將4個大小相同顏色不同的冰墩墩隨機放入3個不同袋子中，有種不同的放法，若每個袋子至少放入一個冰墩墩，則分2步進行分析：①將4個冰墩墩分為3組，有種分組方法，②將分好的3組放入3個不同的袋子中，有種情況，則有種方法，所以所求的概率為.故選：D8．設函數(shù)（是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則函數(shù)是的最小正周期是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗若在區(qū)間上具有單調(diào)性,則，則的圖象關于點對稱,的圖象關于直線對稱,①，且，②兩式相減,可得,又因為，故或.當時,則結合和①式可得，.當時,則結合和②可得不存在，綜上.故它的最小正周期為，故選：B.9．已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，在上恒成立，所以，設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，在上恒成立，所以，從而有，故選：C.10．已知數(shù)列滿足，且，若存在正偶數(shù)m使得成立，則（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022〖答案〗D 〖解析〗由題意，，故，∴，∵m為正偶數(shù)，∴，∴左邊，此時，，∴．故選：D．11．已知兩點A，M在雙曲的右支上，點A與點B關于原點對稱，交y軸于點N，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖，不妨設A在第一象限，取BM的中點，連接OQ，因為為AB的中點，故，，，，，B，M在雙曲線上，則，兩式相減可得，，即，而，，故，即，又因為，則，即，所以，即，所以，又，則,即，故，所以，而，故,故，則雙曲線的離心率為，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，當A在第四象限時，同理可求得，當A在雙曲線的頂點時，由于，此時AM與雙曲線相切，不合題意，故雙曲線的離心率為，故選：D.12．已知函數(shù)的定義域為，，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗解:因為是偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關于直線對稱.因為是奇函數(shù)，所以，即，故的圖象關于點對稱，所以，，所以，是周期為4的周期函數(shù)，對于，令，得，對于，令，得又是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以，所以，所以.因為，所以，對于，令，得，即，所以所以，，，…，，所以.故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．展開式中不含y的項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為___________.〖答案〗15625〖解析〗展開式中不含y的項，即展開式中y的指數(shù)為0，即的展開式，再令，得展開式中不含y的項的系數(shù)和為=64，∴，求展開式中的常數(shù)項，由，所以展開式中的常數(shù)項為.故〖答案〗為：1562514．已知點，點P在拋物線上運動，點B在曲線上運動，則的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點為，設點坐標，則，由題意當時，，令，則，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立故的最小值為．故〖答案〗為：15．已知數(shù)列的前項和為為數(shù)列的前項積，滿足（為正整數(shù)），其中，給出下列四個結論：①；②；③為等差數(shù)列；④.其中所有正確結論的序號是__________.〖答案〗①③④〖解析〗因為，所以當時，，解得或，又，所以，故，故①正確；因為，易得，所以，當時，，所以，則，所以，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，故④正確；所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；當時，，又不符合上式，所以，故②錯誤.故〖答案〗為：①③④.16．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②．有下列四個結論：①經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為②異面直線AD與CF所成的角的余弦值為③直線AD與平面DEF所成的角為④球離球托底面DEF的最小距離為其中正確的命題是__________請將正確命題的序號都填上〖答案〗②③④〖解析〗取中點N，M，連接，如圖，因為正三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，，因此，四邊形是平行四邊形，有，同理，，外接圓半徑，經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓是的外接圓，其面積為，①不正確；連接，因，則四邊形是平行四邊形，，即有是異面直線AD與CF所成的角或其補角，，中，，，由余弦定理得：，②正確；因平面，則是直線AD與平面DEF所成的角，而，③正確；體積為的球半徑，由得，由①知，球心到平面的距離，由①，同理可得點C到平面的距離為，即平面與平面的距離為，所以球面上的點到球托底面DEF的最小距離為，④正確，所以正確的命題是②③④.故〖答案〗為：②③④三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因為，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因為，所以．（2）由正弦定理得．因為為銳角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范圍為．18．某網(wǎng)絡在平臺開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項活動．（1）若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；（2）已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎勵，①假設該闖關活動平均分數(shù)為分，分以上共有人，已知甲的得分為分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為分，分以上共有人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)危剑喝綦S機變量，則；；．解：（1）設：第次通過第一關，：第次通過第二關，甲可以進入第三關的概率為，由題意知.（2）設此次闖關活動的分數(shù)記為．①由題意可知，因為，且，所以，則；而，且，所以前名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分數(shù)為分是小概率事件，可認為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙所說為假．19．如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，是的中點，，如圖②，將沿邊翻折至.（1）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.解：（1）存在點滿足題意，且，理由如下：在圖①中，取的中點，連接，則，在圖②中，，平面，平面，所以平面，且；在線段上取點使，連接，則，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.（2）在圖②中，，平面，所以平面，法一：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，，設平面的法向量為，則，令，則，即，易知平面的一個法向量，若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，則，化簡整理得：，.所以，所以，則三棱錐的高為，.又因為底面積，所以三棱錐的體積為.法二：延長相交于點，事實上點即為點，則平面平面，過作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，則，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，即，所以，即，即，又，所以，在中，設點到的距離為，由等面積法可得，解得，即三棱錐的高，又的面積為，所以三棱錐的體積為.20．P為圓上一動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交直線于點．（1）求點的軌跡方程；（2）在（1）中曲線與軸的兩個交點分別為和，、為曲線上異于、的兩點，直線不過坐標原點，且不與坐標軸平行．點關于原點的對稱點為，若直線與直線相交于點，直線與直線相